以數(shù)列證明問題為例談邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)

☉江蘇省啟東市匯龍中學(xué) 沈 輝

數(shù)學(xué)證明指的是在一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系中，根據(jù)一定的規(guī)則或標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)確定其為真的命題推出另一命題真假的數(shù)學(xué)推理過程.數(shù)學(xué)證明是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、命題、推理的關(guān)鍵活動(dòng)，也是高考中考查考生邏輯推理素養(yǎng)的重要手段.數(shù)學(xué)證明問題在高考試卷中經(jīng)常以函數(shù)導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式為知識(shí)載體，給出某些條件證明結(jié)論成立，條件是起點(diǎn)，結(jié)論是終點(diǎn)，依據(jù)學(xué)過的真命題（公理、定理、性質(zhì)等），按照演繹推理的形式把起點(diǎn)和終點(diǎn)連接起來.在命題者所提供的標(biāo)準(zhǔn)答案中，從條件到結(jié)論，證明的是那么自然流暢、順理成章，但學(xué)生在做題的時(shí)候卻步履維艱、困難重重，要用到哪些命題？怎么想到的？如何組織語言？所以，要真正讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題完成證明，提高學(xué)生的推理論證能力，教學(xué)中教師應(yīng)著重從學(xué)生的這些困惑之處設(shè)計(jì)，展開分析.下面，筆者以“高考中數(shù)列的證明問題”為例，談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的一些做法和體會(huì).

一、等差數(shù)列的證明問題

例1（2011年江蘇高考題改編）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意整數(shù)k∈M，當(dāng)n＞k時(shí)，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）都成立.設(shè)M={3，4}，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

分析：第一步，看求證，我們會(huì)問：證明等差數(shù)列有哪些依據(jù)？

證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列有兩個(gè)依據(jù)：（1）等差數(shù)列定義an-an-1=d（n≥2，n∈N*）；（2）等差中項(xiàng)定義2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N*）.

第二步，看條件，已知關(guān)系式與上述依據(jù)有差距，需要轉(zhuǎn)化，怎么轉(zhuǎn)化？為什么要這樣轉(zhuǎn)化？

注意到等差數(shù)列的兩條證明依據(jù)里都是{an}中連續(xù)的項(xiàng)的關(guān)系，而已知關(guān)系式給出的是{Sn}中項(xiàng)的關(guān)系，所以要轉(zhuǎn)化到{an}中去.常見的轉(zhuǎn)化方法是“差分法”，即以n+1代替n構(gòu)造一個(gè)式子，再兩式相減.為什么要兩式相減呢？因?yàn)镾n是數(shù)列{an}的項(xiàng)相加得到的，所以{Sn}的項(xiàng)相減就變成了{(lán)an}的項(xiàng)之間關(guān)系.

因?yàn)楫?dāng)n>k時(shí)，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk），①

所以以n+1代替n得，Sn+1+k+Sn+1-k=2（Sn+1+Sk）.②

②-①得，an+1+k+an+1-k=2an+1.

所以，令k=3有an+4+an-2=2an+1，n＞3；③

令k=4有an+5+an-3=2an+1，n＞4.④

第三步，看③和④式中的項(xiàng)數(shù)（下標(biāo)），能用自己的語言描述它們的數(shù)學(xué)意義嗎？

③式中的三個(gè)項(xiàng)數(shù)按從小到大排列為n-2，n+1，n+4，相隔3項(xiàng).

又n從4開始，所以③式表示數(shù)列{an}從第2項(xiàng)開始每隔3項(xiàng)是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d1，則有：

an+4-an+1=d1，n≥2.⑤

類似的，④式表示數(shù)列{an}從第2項(xiàng)開始每隔4項(xiàng)是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d2，則有：

an+4-an=d2，n≥2.⑥

⑥-⑤，并記d2-d1=d得，an+1-an=d，n≥2.⑦

第四步，⑦式能說明數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？如果不能，還要證明什么？

⑦式只能說明數(shù)列{an}從第2項(xiàng)開始是等差數(shù)列，所以還要證明首項(xiàng)滿足等差規(guī)律，即a2-a1=d.因?yàn)樵谧鞑钸^程中，n的范圍不斷縮小，所以首項(xiàng)要看初始的關(guān)系式.

由①得，（Sn+k-Sn）-（Sn-Sn-k）=2Sk，分別令k=3，4得：

2S3=（an+3+an+2+an+1）-（an+an-1+an-2）=9d；⑧

2S4=（an+4+an+3+an+2+an+1）-（an+an-1+an-2+an-3）=16d.⑨

所以an-an-1=d（n≥2，n∈N*），故數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列.

第五步，解后反思：（1）利用“差分法”，先差分將含Sn的式子化成只含有an，再差分得到an-an-1=d（n≥2，n∈N*）或2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N*），從而證得{an}是等差數(shù)列；（2）注意差分時(shí)表示項(xiàng)數(shù)的n的范圍變化，每次相減應(yīng)取n的公共范圍；（3）數(shù)學(xué)證明是要給別人看的，書寫要清晰、簡潔.

變式：（2006年江蘇高考題改編）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2，若數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，且bn≤bn+1，n∈N*，求證：{an}是等差數(shù)列.

證明：設(shè){cn}的公差為D，則有

①-②得，bn+2bn+1+3bn+2=-2D.③

將n+1代替n，由③得，bn+1+2bn+2+3bn+3=-2D.④

③-④得，（bn-bn+1）+2（bn+1-bn+2）+3（bn+2-bn+3）=0.

因?yàn)閎n≤bn+1，n∈N*，所以bn-bn+1≤bn+1-bn+2≤bn+2-bn+3≤0.

所以bn-bn+1=0，即{bn}是常數(shù)列，不妨設(shè)bn=-2d，則an+2-an=2d.

所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2d為公差的等差數(shù)列.

因此只需證明a2-a1=d.

根據(jù)題意有，c1=a1+2a2+3a3=4a1+2a2+6d；

c2=a2+2a3+3a4=2a1+4a2+10d；

c3=a3+2a4+3a5=4a1+2a2+18d.

上述三個(gè)式子代入2c2=c1+c3得a2-a1=d.因此，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

二、等比數(shù)列的證明問題

例2（2016年江蘇高考題）記U={1，2，…，100}，對(duì)數(shù)列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=?，定義ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定義ST=at1+at2+…+atk.例如：T={1，3，66}時(shí)，ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè)公比為3的等比數(shù)列{an}（n∈N*），且當(dāng)T={2，4}時(shí)，ST=30.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意正整數(shù)k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求證：ST＜ak+1；

（3）設(shè)C?U，D?U，SC≥SD，求證：SC+SC∩D≥2SD.

分析：讀懂題目后，第（1）問容易解得an=3n-1，過程略；第（2）問中，集合T是{1，2，…，k}的子集，所以ST≤Sk，要證ST＜ak+1，則只須證Sk＜ak+1成立.那么對(duì)于一般的正項(xiàng)等比數(shù)列，an+1與Sn之間有什么關(guān)系呢？

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，因?yàn)椋╭-1）Sn=a1qn-a1＜an+1，所以an+1＞（q-1）Sn.等比數(shù)列的這一性質(zhì)，不僅可以提高我們對(duì)等比數(shù)列增長特征的認(rèn)識(shí)，而且在等比數(shù)列的推理論證中也很有用.

當(dāng)q＞2時(shí)，an+1＞（q-1）Sn＞Sn，第（2）問得證.

對(duì)于第（3）問，若D=?，則C∩D=?，結(jié)論顯然成立.

若D≠?，則C≠?，設(shè)集合C中最大元素為i，集合D中最大元素為j.因?yàn)閝-1=2，利用上述性質(zhì)，SC≤Si＜2ai、SD≤Sj＜2aj.所以看SC，SD的大小，關(guān)鍵是抓住兩個(gè)最大項(xiàng)ai，aj的大小.

①若SC=SD，則i=j.否則i≠j，不妨設(shè)i＞j，則i≥j+1，所以SC≥ai≥aj+1＞2Sj＞SD，矛盾.在集合C、D中去掉元素i、j后得到集合C1、D1，則SC1=SD1，設(shè)集合C1、D1的最大元素分別為i1、j1，同理可知i1=j1.依次類推，得C=D，所以SC+SC∩D=2SD，結(jié)論成立.

②若SC＞SD，則i＞j，即i≥j+1?SC≥ai≥aj+1=3aj；由上述性質(zhì)繼續(xù)推理，3aj=2aj+aj＞2aj+2Sj-1=2Sj≥2SD，因此SC≥2SD.又SC∩D≥0，所以結(jié)論成立.

三、體會(huì)與感悟

數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)本身的有機(jī)組成部分，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一.通過對(duì)數(shù)學(xué)證明的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，鍛煉從繁雜的信息中讀出聯(lián)系、形成自己的認(rèn)識(shí)，提高邏輯推理素養(yǎng)，塑造理性的品格.通過數(shù)學(xué)證明問題的教學(xué)，師生在共同探求由條件到結(jié)論的分析、推理過程中，促進(jìn)學(xué)生積極思考，在更高層次上發(fā)展學(xué)生的思維能力，在追求證明的表達(dá)簡潔的過程中，使學(xué)生學(xué)會(huì)演繹推理的一般規(guī)則，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的思維成果，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.