例談分類討論思想在高考函數(shù)壓軸題中的滲透

☉?？谥袑W(xué) 劉 兵

分類是我們認(rèn)知事物的必要過(guò)程和手段，是自然科學(xué)研究中的基本邏輯方法.當(dāng)我們研究的對(duì)象不能按照某一個(gè)特定的規(guī)則來(lái)統(tǒng)一衡量時(shí)，就需要對(duì)所研究的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，分別研究每一類對(duì)象的性質(zhì)特征，把整體問(wèn)題分割化，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，最后再進(jìn)行整合.因此，分類討論的本質(zhì)是辯證法中一分為二、一分為多的唯物主義思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生客觀、科學(xué)、辯證地認(rèn)知事物大有裨益.

下面結(jié)合高考中常遇到的含參問(wèn)題進(jìn)行剖析，并闡述如何進(jìn)行分類討論.

考查方向一、討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)壓軸題中的重點(diǎn)問(wèn)題、熱點(diǎn)問(wèn)題以及難點(diǎn)問(wèn)題.這類問(wèn)題往往是討論不等式f′（x）＞0與f′（x）＜0的解的情況，其中會(huì)涉及的主要類型有：（1）方程f′（x）=0有無(wú)（增）根；（2）方程f′（x）=0的根的大小比較.

例1（2017年全國(guó)卷Ⅲ節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性.

分析：先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并進(jìn)行因式分解，再根據(jù)各個(gè)因式的符號(hào)變化來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性.

解：由題意可知f（x）的定義域?yàn)?/p>

（1）若a≥0，則f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

綜上可知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

評(píng)析：本試題第（Ⅰ）問(wèn)的設(shè)計(jì)主要針對(duì)大部分考生，只要會(huì)準(zhǔn)確運(yùn)用求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)及因式分解，從而找到導(dǎo)函數(shù)f′（x）的零點(diǎn)即可.本題的關(guān)鍵是在求導(dǎo)后的因式分解部分，這決定了后面能否正確地進(jìn)行分類討論.考慮到x＞0，因式（x+1）＞0恒成立，故f′（x）的符號(hào)完全受因式（2ax+1）控制.在令f′（x）=0后得到2ax+1=0，進(jìn)而得到x=

解此方程過(guò)程中就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)問(wèn)題：

考查方向二、討論函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是近年高考?jí)狠S題中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，它涵蓋了函數(shù)作圖、圖像變換及等價(jià)轉(zhuǎn)化等基本的技能，也考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，能充分檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)有關(guān)函數(shù)章節(jié)知識(shí)的理解和數(shù)學(xué)基本功.函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題主要涉及以下幾個(gè)方面的相互轉(zhuǎn)化：函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、曲線的交點(diǎn).而轉(zhuǎn)化的方向往往是將一個(gè)復(fù)雜的超越函數(shù)拆分為兩個(gè)初等函數(shù)，或者是將一個(gè)含參函數(shù)通過(guò)分離參數(shù)等手段變成一個(gè)常數(shù)函數(shù)與一個(gè)不含參的普通函數(shù).解決這類問(wèn)題的一般模式是：確定函數(shù)的定義域→討論函數(shù)的單調(diào)性→探究函數(shù)極值的符號(hào)→結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得出最后的結(jié)論.這類題一般以中高檔題為主.

例2（2018年全國(guó)卷Ⅱ節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2.

（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

分析：解決含參函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題通常有兩種手段：其一，通過(guò)直接討論函數(shù)的單調(diào)性和極值符號(hào)，進(jìn)而利用零點(diǎn)存在性定理即可得到結(jié)論.其二，可以采取分離參數(shù)法，將含參函數(shù)轉(zhuǎn)化為常數(shù)函數(shù)與一個(gè)不含參函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.結(jié)合x∈（0，+∞）的條件，本題已具備了分離參數(shù)的條件.

解：函數(shù)f（x）=ex-ax2=ex（1-ax2e-x），令p（x）=1-ax2e-x，f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于p（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn).

（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）不存在零點(diǎn).

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，p′（x）=ax（x-2）e-x，由于x＞0，故令p′（x）＞0，可得x＞2；令p′（x）＜0，可得0＜x＜2.故p（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增.所以p（x）在x=2處取得最小值p（2）=

考查方向三、含參恒成立問(wèn)題

含參恒成立問(wèn)題也是高考中的熱點(diǎn)考查內(nèi)容之一，主要考查函數(shù)的綜合性質(zhì)，其中蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)思想方法，能客觀地反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功，同時(shí)也能考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性.這類問(wèn)題的本質(zhì)是考查函數(shù)的最值問(wèn)題，由于含有參變量，函數(shù)的最值往往會(huì)受參數(shù)的影響，問(wèn)題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)化為研究參變量是如何影響函數(shù)最值的，只要這點(diǎn)討論清楚便可順利解決問(wèn)題.

例3（2016年全國(guó)卷Ⅱ節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=（x+1）·lnx-a（x-1）.

（2）若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，求a的取值范圍.

分析：解決含參恒成立問(wèn)題的一般邏輯是：探求充分性，證明必要性.f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即f（x）min＞0，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f（x）的最小值問(wèn)題.

解：由題意可知，+1-a，則g′（x）=，故g′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立.所以f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.而f（1）=0，所以要使得f（x）＞0恒成立，只需使f′（1）=2-a≥0，即a≤2.

一方面，當(dāng)a≤2時(shí)，f′（x）＞f′（1）≥0，所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=0，所以f（x）＞0；

另一方面，當(dāng)a＞2時(shí)，f′（1）=2-a＜0，且當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，則必存在x0∈（1，+∞）使得f′（x0）=0，從而當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，而f（1）=0，所以f（x）在（1，x0）上小于0，這與條件矛盾.

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，2］.

評(píng)析：在探求充分性時(shí)，一般結(jié)構(gòu)為?a∈M，f（x）＞0，往往從最簡(jiǎn)單的情形入手，如函數(shù)單調(diào)時(shí)的情況成立；證明必要性，若f（x）＞0，則a∈M.這個(gè)命題的證明往往難度比較大，采取的手段則是證明該命題的逆否命題成立，即證若a?M，則存在x0，使得f（x0）≤0，采取正難則反的手段，往往可以收到良好的效果.因此，在含參恒成立問(wèn)題中的分類討論目標(biāo)比較明確，就是討論結(jié)論恒成立和不恒成立這兩種情形.

總之，任何一種數(shù)學(xué)思想方法的滲透都是通過(guò)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)的.分類討論既是一種數(shù)學(xué)思想，也是一種解決問(wèn)題的方法，可以和其他思想方法相互穿插滲透，如與數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想結(jié)合，形成綜合性極高的考題，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)提出了極高的要求.因此，只有平時(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)，才能體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)和精髓.