對于《兩個基本計數(shù)原理》的教學感悟與反思
——轉變教學方式、提升核心素養(yǎng)的教學

☉江蘇省清江中學 崔緒春

在“第13屆江蘇省高中數(shù)學高級論壇”上，筆者上了一節(jié)觀摩課《兩個基本計數(shù)原理》，得到了參會老師的好評，筆者結合專家（江蘇省教研室李善良老師，江蘇省連云港市教研室特級教師王弟成等老師）點評，進行了深入思考與研究，下面談談對這節(jié)課的教學反思與感悟.

一、教學過程再現(xiàn)

問題情境：同學們好，近期老師瀏覽了有關宿遷的網頁，發(fā)現(xiàn)宿遷市有兩大喜事，一是宿遷市創(chuàng)全國文明城市，成績優(yōu)秀，同學們也一定付出了很多努力，值得祝賀與表揚！另外是宿遷市民在市委、市政府的正確領導下，努力實現(xiàn)偉大的中國夢，市民收入增加，突出變化是家用轎車數(shù)量大增，所以宿遷市車管所提出新的車牌號方案，用PPT投影出：假如宿遷市家用轎車號牌構成方案如下：

（1）共7位，第一位“蘇”，第二位“N”；

（2）在第三位到第七位中，有一位是從26個英語字母中選出；

（3）剩下的4個位置是從0～9這些數(shù)字中各選1個（可重復選）.

如果宿遷市家用轎車增至50萬輛，請問這個方案，能否保證每輛轎車都有號牌？

教學感悟：數(shù)學與生活緊密聯(lián)系，生活中處處有數(shù)學，從數(shù)學在實際生活中的應用來創(chuàng)設情景，既可以讓學生體會到數(shù)學的重要性，又利于學生用所學的數(shù)學知識來解決問題.

（一）提出問題、明確目標

師：同學們，這個問題有點難，我們研究問題，通常是先研究特殊的、簡單的，然后再研究一般的，那么請問如何將此問題特殊化？

教學感悟：過渡性語言好！自然地把問題拋出來，不僅使學生有了明確的研究方向，還概括了研究思路，巧妙地讓學生學會思考，學會模仿與類比，學會學習.

生1：老師，我覺得應先研究一位號牌，一類是從26個字母中選一個字母，另一類是從0～9中選一個數(shù)字.這樣簡單，共有36種號牌.

師：好！36種號牌怎么來的？

生1：將這兩種情況加起來的，即26+10=36.

師：大家有要補充的嗎？（稍停），這位同學回答的很好！很會把問題特殊化！

（二）組織探究、解決問題

問題1：乘汽車從淮安到宿遷，假設汽車北站直達宿遷有4個班次，汽車總站直達宿遷有3個班次，那么從淮安直達宿遷共有多少種不同的方法？

生2：從淮安直達宿遷可分兩類方法完成任務，第一類是從淮安汽車北站選車，有直達宿遷的4個班次，第二類是從淮安汽車總站選車，有直達宿遷的3個班次，共有4+3=7（種）選法.

師：請同學們討論一下，這兩類問題計數(shù)的一般方法.（學生是圍坐在正六邊形桌子周圍，正好自然組成討論小組，學生討論時，教師進行巡視，并適時點撥，強調每組要有代表發(fā)言）

生3：完成一件事有兩類不同的方式，在第一類方式中有m1種不同的方法，在第二類方式中有m2種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2種不同的方法.

師：回答的很好，我們成功得到了分為兩類問題的一般性計數(shù)方法，若是兩類以上呢？怎么辦？大家思考一下，能否自己舉一個例子？

生4：我的想法就是在問題1上進行改動，再增加：汽車南站直達宿遷有1個班次，那么從淮安直達宿遷共有多少種不同的方法？

師：你真棒！就地取材啊，大家鼓掌！（同學們鼓掌），還有誰再舉個例子？

生5：從1、2、3班選1名學生參加比賽，第一類，從1班選1人，有m1種方法，第二類，從2班選1人，有m2種方法，第三類，從3班選1人，有m3種方法，則從三個班選1人共有N=m1+m2+m3種不同的方法.

師：你這個例子好，直接成功地得到了分為三類問題的一般性計數(shù)方法，下面大家討論一下，能否得到分為n類問題的一般性計數(shù)方法？

教學感悟：（1）將兩類計數(shù)問題的完成方式擴充到三類計數(shù)問題的完成方式，并引導學生歸納總結出完成一件事有n類方式的一般性規(guī)律，從而得到分類計數(shù)原理.這時已經水到渠成.

筆者選了幾個小組的代表進行發(fā)言，并不斷完善，追問另一組是否有意見……最后形成了生6的結論.

生6：如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，……，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

師：總結得很好，這個一般性計數(shù)方法有什么特點？

生7：完成一件事的計數(shù)問題，要先分類，再研究每一類有多少種不同的方法，最后把所有不同的方法相加，就得到總的方法數(shù)了.

師：宿中學生真聰明！我們把這個計數(shù)規(guī)律叫做分類計數(shù)原理.

（教師板書）分類計數(shù)原理.（略）

師：同學們，我們把問題1再變成這樣：乘汽車從淮安到宿遷，若先從淮安乘車到洋河辦事，一天后再從洋河乘車到達宿遷，假設從淮安直達洋河的汽車有4個班次，從洋河直達宿遷的汽車有3個班次，那么從淮安經洋河到宿遷共有多少種不同的方法？

師：你能根據分類計數(shù)原理，類比概括出這個問題的計數(shù)方法嗎？

教學感悟：在學生學會研究分類計數(shù)原理的基礎上，即從分類加法過渡到分步乘法，通過類比分類計數(shù)原理，讓學生歸納出分為2步的分步計數(shù)原理，則是十分容易的事情.

生8：完成這件事，可分為4類方法.

第一類：A1班次：第一步先確定乘A1班次到洋河，第二步再確定到宿遷的班次B1，B2，B3，共3種方法完成任務；

第二類：A2班次：第一步先確定乘A2班次到洋河，第二步再確定到宿遷的班次B1，B2，B3，共3種方法完成任務；

……

按照題意，按A1，A2，A3，A4進行分類：如此類推，所以共有3+3+3+3=4×3=12（種）不同的完成方式.

師：其他同學有補充的嗎？（稍頓）這位同學分析、解決的非常好.

師：同學們，誰能把分為2步的計數(shù)問題一般化.

生9：完成這件事要分為2步，在第1步的方法中有m1種不同的方法，在第2步的方法中有m2種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2種不同的方法.

師：同學們，誰能根據分類計數(shù)原理類比出分為n步的計數(shù)問題的一般性結論？

生10.一般地，如果完成一件事要分為n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn（種）不同的方法.

師：大家總結得很好，我們把這種方法叫做分步計數(shù)原理.

（教師板書）分步計數(shù)原理.（略）

師：同學們，你能說出分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的異同點嗎？可以討論，然后老師找小組代表進行發(fā)言.注意討論的步驟，首先每個人說出自己的觀點，然后研究并形成共識.（教師巡視全場，并作分組指導）

生11：分類計數(shù)原理中每一類的每一種方法都能完成任務，而且類類獨立，不重不漏；而分步計數(shù)原理每一步不能完成任務，只有所有步驟都完成才能完成任務，必須步步相依，缺一不可.

教學感悟：

（1）學生能思考的事讓學生思考，學生能表達的內容盡量讓學生表達，只有這樣才能更好地鍛練學生用數(shù)學眼光去看待問題，用數(shù)學思維去思考問題，用數(shù)學語言去表達問題.

（2）課堂討論應做到以下兩點要求：①在獨立思考的基礎上，學生應積極參與對數(shù)學問題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點，并在交流中獲益.②對不懂的地方或不同的觀點有提出置疑的意識，并愿意對數(shù)學問題進行討論，發(fā)現(xiàn)錯誤并及時改正.

（三）問題應用、小試牛刀

例1高二（1）班共有男生28名，女生20名，從該班選出學生代表參加校學代會.

（1）若學校分配給該班1名代表，有多少種不同的選法？

（2）若學校分配給該班2名代表，且男女生代表各1名，有多少種不同的選法？

解：略（學生解，然后學生投影，學生點評，教師旁聽）.

例2書架上第一層放有4本不同的計算機書，第二層放有3本不同的文藝書，第三層放有2本不同的體育書.若從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

變式1：若從第一、二、三層中各取1本書，有多少種不同的取法？

變式2：若從書架上取2本不同類別的書，有多少種不同的取法？

解：略.

教學感悟：例題1，2及變式訓練由易到難，設問循序漸進，一要學生分清用分類計數(shù)原理還是用分步計數(shù)原理；二要突出強調在解題過程中，注意規(guī)范答題；三要總結出解答計數(shù)問題的一般思維過程.即：

第二步，運用原理解決問題.

第三步，作答.

當堂練習：

（1）為了確保騰訊QQ的安全，在注冊時通常要設置QQ密碼.假定設置的QQ密碼為6位，每位均為0到9這10個數(shù)字中的一個數(shù)字，這樣的密碼共有多少個？

（2）宿遷小轎車號牌答案：1300000個.

教學感悟：（1）設置QQ密碼，對學生感興趣的問題進行研究，容易激發(fā)學生的熱情，知道數(shù)學來源于生活，并能運用數(shù)學知識來解決實際問題；

（2）宿遷小轎車號牌答案的公布，照應了開頭，又滿足了學生的求知欲，使學生獲得成功感.

（四）總結反思、形成共識

二、教學反思與再認識

（一）恰當使用發(fā)現(xiàn)教學法

通過各種不同形式的自主學習、探究討論活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，以培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識分析實際問題的能力和意識，體會從特殊到一般的數(shù)學思維方式.也讓學生體會到數(shù)學來源于生活，生活中處處有數(shù)學，使學生對兩個基本計數(shù)原理的學習產生認同感，有效地激發(fā)了學生的學習興趣和求知欲，讓學生自己動手、動腦，主動去探索、研究、“再創(chuàng)造”，而且學生在發(fā)現(xiàn)法教學環(huán)境下，其思想是開放的、靈活的，并且得到鍛煉的機會較多，能產生更多的“生成性的東西”，能體驗到更多的愉悅感和成功感.

（二）認真設計“鏈式問題”

在課堂教學中，教師提出的問題不僅要像一根鏈條，每個問題都是鏈條上的一環(huán)，環(huán)環(huán)相扣，而且要由淺入深，層層推進，呈現(xiàn)梯度性.這樣容易打開學生的數(shù)學思路，容易撥動學生心靈的琴弦.

（三）自覺地發(fā)展學生的核心素養(yǎng)

數(shù)學的課堂教學，不僅僅要傳授學生數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想，更要訓練學生能清晰地表達思想方法，有條理地思考、解決問題，并能對所學內容進行反思、總結及概括，從而全面提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).