數(shù)列教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)障礙分析與對策研究

☉江蘇省高郵市第一中學(xué) 周桂群

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的特殊性在于定義域發(fā)生了變化，于是，它的圖像與性質(zhì)也發(fā)生了相應(yīng)的變化.然而，在數(shù)列教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往看不透這些變化，出現(xiàn)了一些障礙.本文就這個(gè)問題展開討論并提出對策.

障礙一、對數(shù)列的有關(guān)概念認(rèn)識不到位

對數(shù)列的有關(guān)概念認(rèn)識不到位，主要表現(xiàn)在對等差、等比數(shù)列的概念及等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)的定義的理解上.比如，對于等差數(shù)列來說，忽視常數(shù)數(shù)列，誤認(rèn)為an=kn+b（k≠0，n∈N*）才是等差數(shù)列的通項(xiàng)形式；而對等比數(shù)列則往往忽視公比q≠0 和q=1，缺乏分類討論意識.對于等比中項(xiàng)也是認(rèn)識模糊，例如，如果問他們，4和9的等比中項(xiàng)是多少，他們會(huì)毫不遲疑的回答是±6，而當(dāng)問他們等比數(shù)列{an}中a5與a7的等比中項(xiàng)是多少時(shí)，他們也會(huì)毫不遲疑的回答是a6，卻不會(huì)告訴你是±a6，其根本原因就是沒有真正領(lǐng)會(huì)等比中項(xiàng)這個(gè)概念的含義.又如：

例1“b2=ac”是“a，b，c 成等比數(shù)列”的（ ）.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：當(dāng)a=b=c=0 時(shí)，滿足條件b2=ac，但它們不能構(gòu)成等比數(shù)列；當(dāng)a，b，c 構(gòu)成等比數(shù)列時(shí)，有b2=ac.因此“b2=ac”是“a，b，c 成等比數(shù)列”的必要不充分條件.所以本題答案選B.

點(diǎn)評：本題是等比數(shù)列概念題，考查了等比數(shù)列的概念和充分必要條件的判定兩個(gè)知識點(diǎn).而學(xué)生出錯(cuò)的主要原因是對等比數(shù)列概念模糊、思考不嚴(yán)密，忽略了等比數(shù)列定義中的公比q≠0，即等比數(shù)列的任一項(xiàng)都是非零值.在這一問題中，還需特別注意b2=ac 與是非等價(jià)的.

對策：學(xué)生對數(shù)列概念認(rèn)識模糊的主要原因是沒有關(guān)注這些概念的內(nèi)涵與外延，這就要求教師在新授課時(shí)“先入為主”，反復(fù)強(qiáng)調(diào)理解有關(guān)概念上的注意點(diǎn)，通過舉反例的方法糾正學(xué)生的認(rèn)識，也可以類比初中數(shù)學(xué)中的某些概念加深對數(shù)列概念的認(rèn)識.例如，筆者在對等比中項(xiàng)這個(gè)概念與初中學(xué)的平方根作了相同與相異的類比，學(xué)生恍然大悟.

障礙二、對數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算掌握不夠

在數(shù)列問題中，常常出現(xiàn)求數(shù)列某一項(xiàng)am、基本量（a1，n，d，q）、通項(xiàng)公式an及前n 項(xiàng)和Sn等計(jì)算問題.在計(jì)算過程中，整體代換意識薄弱，不能合理運(yùn)用有關(guān)公式進(jìn)行恒等變形，是學(xué)生運(yùn)算能力不夠的主要表現(xiàn).例如，用數(shù)列的有關(guān)公式和性質(zhì)求解一些基本量的問題時(shí)用錯(cuò)公式或運(yùn)算錯(cuò)誤；再如，對等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn公式的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不透，不能從整體的意識去分析和思考問題等.比如，計(jì)算中有時(shí)把作為整體，將會(huì)使運(yùn)算更加簡便.

例2等比數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn，且S3+S6=2S9，求公比q.

解析：假設(shè)q=1，則S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，所以9a1≠2×9a1.

事實(shí)上，因?yàn)閍1≠0，所以9a1≠2×9a1，因此q≠1.這樣由S3+S6=2S9，可得

又q≠0，所以2q6-q3-1=0，則（2q3+1）（q3-1）=0.

因?yàn)閝≠1，所以2q3+1=0，解得.

點(diǎn)評：在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決問題時(shí)，學(xué)生易忽略q=1 的情形，事實(shí)上，在等比數(shù)列求和時(shí)要注意討論公比q=1 和q≠1 兩種情況，此外，當(dāng)q≠1 時(shí)，，有時(shí)要把作為整體進(jìn)行運(yùn)算.

對策：教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生熟記等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和公式，利用方程思想列出關(guān)于首項(xiàng)與公差（公比）的方程，解出首項(xiàng)與公差（公比）.當(dāng)然在問題解決中，巧用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可以簡化計(jì)算，提高學(xué)生的運(yùn)算能力.

障礙三、對問題的轉(zhuǎn)化不等價(jià)

在數(shù)學(xué)解題中，常常要運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，數(shù)列問題也不例外.在數(shù)列解題中學(xué)生存在的主要問題：一是審題不到位，導(dǎo)致解題中設(shè)元不合理；二是轉(zhuǎn)化意識不強(qiáng)，沒能將已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，沒能將非等差數(shù)列、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列加以解決.

例3已知一個(gè)等比數(shù)列{an}的前四項(xiàng)之積為，第二、三項(xiàng)的和為，求這個(gè)等比數(shù)列的公比.

解析：設(shè)四個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3，則a4q6=，且aq+aq2=.所以（1+q）4=64q2，當(dāng)q＞0 時(shí)，可得q2-6q+1=0，解得；當(dāng)q＜0 時(shí)，可得q2+10q+1=0，解得

點(diǎn)評：在解決這個(gè)問題時(shí)，學(xué)生容易忽略了等比數(shù)列的公比可能為負(fù)數(shù)的情況，問題轉(zhuǎn)化出現(xiàn)錯(cuò)誤，將這四個(gè)數(shù)設(shè)為，，aq，aq3，則有解得q=或，故原數(shù)列的公比為或.這樣解法錯(cuò)誤原因在于將這四個(gè)數(shù)設(shè)為，aq，aq3之后，其公比q2＞0，各項(xiàng)一定同號.

對策：在數(shù)列教學(xué)中，教師應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.尤其是對于等比數(shù)列，應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)列中的每一項(xiàng)的前后兩項(xiàng)都是同號的，在求解等比數(shù)列問題時(shí)，要有檢驗(yàn)意識.有時(shí)為了計(jì)算方便，有意識地把各項(xiàng)設(shè)成對稱形式，但往往會(huì)顧此失彼，要杜絕這種錯(cuò)誤的發(fā)生，事后檢驗(yàn)不可少.

障礙四、對數(shù)列項(xiàng)數(shù)的確定不準(zhǔn)確

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，特殊之處在于它的定義域是正整數(shù)集或其子集，因此解題中重視項(xiàng)數(shù)n 的取值范圍是非常重要的.在這方面，學(xué)生除了在解答等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)問題時(shí)易漏掉n=1 時(shí)的情況，還突出表現(xiàn)在以下兩處：一是用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，考生對中間環(huán)節(jié)兩式相減后構(gòu)成等比數(shù)列是n 項(xiàng)或n-1項(xiàng)時(shí)常出現(xiàn)錯(cuò)誤；二是數(shù)列應(yīng)用題問題，比如個(gè)人儲蓄問題、養(yǎng)老保險(xiǎn)問題、分期付款問題等一系列綜合應(yīng)用問題，將它們轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列時(shí)項(xiàng)數(shù)也會(huì)經(jīng)常出錯(cuò).

例4已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.

（1）若數(shù)列{bn}滿足求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

解析：（1）bn=2（3n+1）（n∈N*）.（過程略）

則Tn=c1+c2+…+cn=（1·3+2·32+3·33+…+n·3n）+（1+2+3+…+n）.

令Pn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n，

則3·Pn=1·32+2·33+3·34+…+（n-1）·3n+n·3n+1.

兩式相減得-2Pn=3+32+33+…+3n-n·3n+1，

即-2Pn=，所以

點(diǎn)評：本題主要考查利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式和利用錯(cuò)位相減法對數(shù)列求和.而對于這類問題學(xué)生容易出錯(cuò)的有兩處，一是在求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)缺乏對數(shù)列首項(xiàng)的檢驗(yàn)意識；二是在利用錯(cuò)位相減法求和轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列后，對這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的計(jì)數(shù)有誤.于是，這類問題看似思路明晰，學(xué)生卻不能“笑到最后”.

對策：培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致踏實(shí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，“寧等十分鐘，不搶一秒鐘”，克服解題的急躁心理，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的檢驗(yàn)意識，當(dāng)錯(cuò)位相減法求和做完后，利用S2，S3的值對這個(gè)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，確保萬無一失.

當(dāng)然，學(xué)生的學(xué)習(xí)不是一帆風(fēng)順的，出現(xiàn)錯(cuò)誤在所難免.作為教師，在教學(xué)中不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)誤區(qū)，更要研究克服學(xué)生思維障礙的對策，只有這樣才能在曲折中不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).