三種思維巧突破，七招方法解橢圓
——2019年全國卷Ⅲ第15題

☉山東省鄄城縣第二中學(xué) 吳 昊

羅增儒教授在寫給解題研究的同行們的共勉中提到：“誰也無法教會我們解所有的數(shù)學(xué)題，重要的是，通過有限道題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種能解無限道題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).”通過一題多解，在呈現(xiàn)不同解法的同時，重在暴露思維過程：為什么會想到這樣解，每一個解法的“念頭”是什么，不同的解法都用到了哪些知識.多樣的思維過程與解法，引人多思，是鍛煉學(xué)生思維能力、提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識能力的絕佳載體.2019 年高考全國卷Ⅲ文、理的第15 題是有關(guān)橢圓問題，是能夠提供很好的鍛煉思維、融合知識、提升能力的好場所.

一、真題在線

【高考真題】（2019 年全國卷Ⅲ文，理15）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點(diǎn)，M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形，則M 的坐標(biāo)為______.

本題給出已知橢圓的方程，以橢圓上的點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)所構(gòu)造的三角形為等腰三角形為問題背景，利用求解橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)來達(dá)到目的.由于涉及解析幾何問題，又有三角形背景，可以利用條件，通過三角函數(shù)、解析幾何、平面幾何等思維角度加以切入與破解.

二、一題多解

思維角度1.三角函數(shù)思維

方法1：（三角函數(shù)定義法）由橢圓，可知，則有

由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根據(jù)橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

方法2：（余弦定理法）由橢圓，可知a=，則有

由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根據(jù)橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

將xM=3 代入橢圓，可得（由于M 在第一象限內(nèi)，負(fù)值舍去）.

思維角度2.解析幾何思維

方法3：（兩點(diǎn)間距離轉(zhuǎn)化法）由橢圓可知，則有

由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），則有=1，即

由于F1（-4，0），所以有，解得x0=3.

將x0=3 代入橢圓，可得（由于y0＞0，負(fù)值舍去）.

方法4：（直線垂直關(guān)系法）由橢圓，可知，則有

設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），則有=1，即，MF2的中點(diǎn)N 的坐標(biāo)為

由于F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0），由三角形性質(zhì)知F1N⊥MF2，則有kF1N·kMF2=-1，即=-1，整理可得y02=48-x02-8x0，則有，解得x0=3（由于x0＞0，負(fù)值舍去）.

將x0=3 代入橢圓，可得（由于y0＞0，負(fù)值舍去）.

方法5：（橢圓與圓的位置關(guān)系法）由橢圓=1，可知，則有

由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

由于F1（-4，0），所以點(diǎn)M 在圓（x+4）2+y2=64 上.

將y2=64-（x+4）2代入橢圓，整理可得x2+18x-63=0，解得x=3（由于x＞0，負(fù)值舍去）.

思維角度3.平面幾何思維

方法6：（面積轉(zhuǎn)化法）由橢圓，可知a=6，b=，則有

由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根據(jù)橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），則有S△MF1F2=·|F1F2|·y0=4y0.

方法7：（相似三角形轉(zhuǎn)化法）由橢圓，可知，則有

由于M 為C 上一點(diǎn)且在第一象限，所以在等腰△MF1F2中，|MF1|=|F1F2|=2c=8.

根據(jù)橢圓的定義可得|MF2|=2a-|MF1|=4.

設(shè)點(diǎn)M 的坐標(biāo)為M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），過點(diǎn)M 作ME⊥x 軸交x 軸于點(diǎn)E，取線段MF2的中點(diǎn)N，則知Rt△MEF2∽Rt△F1NF2，所以，解得

將y0=代入橢圓，可得x0=3（由于x0＞0，負(fù)值舍去）.

三、解后反思

美國著名的數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”對學(xué)生來說，各類考試題無疑是最熟悉的一個“問題”，特別是高考真題.經(jīng)過理論和教學(xué)實(shí)踐，充分得以證明一題多解是提高數(shù)學(xué)解題能力的有效途徑.通過典型問題呈現(xiàn)不同解法的同時，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，充分暴露思維過程，真正提升能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).