對人教版初中數(shù)學教材中一道例題的商榷*

☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學 印冬建

近期，同組幾位老師反映教學人教版初中數(shù)學“8.2消元——解二元一次方程組”時，按照例2預設的方程進行教學感覺十分“別扭”，這讓筆者十分疑惑.為了弄清其中的緣由，筆者對例題進行了詳細分析，現(xiàn)呈現(xiàn)分析所獲及優(yōu)化建議，供教材再版時參考.

一、例題及其分析

例題：根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量（按瓶計算）比為2∶5.某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5t，這些消毒液應該分裝大、小瓶各多少瓶？（下稱題1）

1.教材分析

在人教版七年級下冊教材中，題1被安排在“8.2消元——解二元一次方程組”中，是這節(jié)的第2道例題.本節(jié)教材中，沿用章引言中的實際問題，通過比對一元一次方程和二元一次方程組，引入了代入消元法并用例1“解方程組”加以鞏固.接下來就是題1，編者意在讓學生將列二元一次方程組和解二元一次方程組結(jié)合起來，在鞏固代入消元法的同時，讓學生體會應用二元一次方程組解決實際問題的全過程，增強他們的應用意識.

2.教材解法

設這些消毒液應該分裝x大瓶、y小瓶.

根據(jù)大、小瓶的比，以及消毒液分裝量和總生產(chǎn)量之間的關(guān)系，得：（下稱方程組1）.

接下來的用代入法解二元一次方程組和答語與本文所述觀點關(guān)聯(lián)不大，這里一并略去.

為了便于敘述，“教材解法”下稱“解法”.

3.學情分析

先來看人教版七年級上冊教材中的一道例題：某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200t；如用新工藝，則廢水排量比環(huán)保限制的最大量少100t.新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5，兩種工藝的廢水排量各是多少？（下稱題2）題2被安排在“3.2解一元一次方程（一）——合并同類項與移項”中.根據(jù)安排，教學時應首先引導學生抓住“新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5”進行設元，將新、舊工藝的廢水排量分別設為2xt和5xt，再利用“環(huán)保限制的最大量”的兩種不同表示方法建構(gòu)出方程求解.這樣的歷程，不僅從設元、列方程和解方程上給出了范例，而且為學生列方程（組）解應用題積累了寶貴的經(jīng)驗，這些都是學生探索題1的基礎(chǔ).

回到題1，題中包含了兩個等量關(guān)系：（1）大瓶數(shù)∶小瓶數(shù)=2∶5；（2）大瓶所裝消毒液質(zhì)量＋小瓶所裝消毒液質(zhì)量=每天生產(chǎn)的總質(zhì)量.基于題2的學習及列一元一次方程解決實際問題的豐富積累，對絕大多數(shù)學生來說，抽象題1 中的兩個等量關(guān)系并建構(gòu)出相應的方程組（下稱方程組2）還是較為容易的.接下來僅需應用比例的性質(zhì)將x∶y=2∶5轉(zhuǎn)化成方程組1的①，就可得到方程組1，也就是教材編者給定的方程組.以上是基于教材前后關(guān)聯(lián)進行的學情分析，是包括筆者在內(nèi)的諸多一線教師展開教學的基本依據(jù).

二、例題教學的困惑

1.建模不易

不管是題1還是題2，借助方程（組）來求解是較為便捷的.因而，從這些實際問題中建構(gòu)出方程（組）這一數(shù)學模型就成為了解題的關(guān)鍵.對于題1，想要讓學生建構(gòu)出與解法類似的方程組是較為不易的.暫且不論題中的單位統(tǒng)一問題，僅就教材想要建構(gòu)的方程5x=2y而言，我們必須引導學生借助“大瓶數(shù)∶小瓶數(shù)=2∶5”直接建構(gòu)出方程x∶y=2∶5，這個方程是學生并不熟悉的分式方程.由于在前面的認知活動中此類方程并不常見，加之學生沒有解此類方程的經(jīng)驗，因而，很多學生是不敢給出方程“x∶y=2∶5”的.細細分析方程組1的建模過程，如果不用x∶y=2∶5進行鋪墊，直接給出方程5x=2y是較難解釋的，因而，讓學生直接給出5x=2y幾乎是不可能的.而由于x∶y=2∶5“很少見”和“不會解”，如果不引導學生緊扣“大瓶數(shù)∶小瓶數(shù)=2∶5”進行“符文替換”建模，他們是不太愿意抽象出方程x∶y=2∶5的.如《教師教學用書》所言，教材給出的方程5x=2y是要按照“從實際情境中抽象數(shù)量關(guān)系→用字母、符號替代文本建構(gòu)方程→對方程進行恒等變形”的流程獲得的，若教師在教學過程中鋪墊引導不能做到及時、到位，得出方程組1的①是很不容易的.

2.解法跳步

解答題1，不管是教材預設，還是教學生成，想要得到方程組1，繞開方程組2是不太可能的.因而，在教學過程中，列出方程組2理應成為解題過程中的重要組成部分.然而，在人教版教材給定的解法中，并沒有將方程組2呈現(xiàn)，而是直接給出了由方程組2轉(zhuǎn)化得到的方程組1.在與教材配套的《教師教學用書》中，雖然也以旁白的形式將編者的設計意圖進行了詳細陳述，明確了方程組1的“生長”過程，對教師的教學行為進行了規(guī)范和指引，但是，教材給出的解法中僅給出了方程組1，把原本應在解題過程中出現(xiàn)的方程組2直接略過，從例題的規(guī)范性和示范性角度分析，這樣的解題過程顯然是不合常規(guī)的.這樣的解題范式，是不是要求在接下來解答“成比問題”時，學生也應在腦海中提前完成建模與轉(zhuǎn)化，直接給出與方程組1類似的二元一次方程組？如果是這樣，學生解決問題的“前奏”是不是過于沉重了？不僅要思考如何從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，還要考慮如何建構(gòu)出有效的解題模型，甚至連如何將模型“規(guī)范化”都要提前完成好，如此要求，確實不低.因此，筆者認為，教材繞開方程組2直接列出方程組1，沒有能較好地順應學生的認知規(guī)律，所跳過的步驟是解題的起始步驟，也是關(guān)鍵步驟，如此跳步對學生數(shù)學思維的發(fā)展是“有百害而無一利”的.

3.重心偏移

人教版教材中，題1被安排在代入消元法中，基于“練習”的分割，這道例題應作為本節(jié)第一課時的第2道教學例題，其核心教學價值應凸顯在代入消元法的應用上.事實也確實如此，當學生得到方程組1后，自然會順勢對方程①進行變形，進而應用代入消元法解出這個方程組.如果僅從得到方程組后的解題過程看，題1的教學目標是基本實現(xiàn)了.然而，實際教學中，學生在列方程組和解方程組的時間分配上與代入消元法的課時地位是嚴重不匹配的，他們把大把的時間和精力耗在了列方程組上：為了避免列出分式方程，為了避免列方程組時單位不統(tǒng)一，為了與教材解題過程一致等.在不少課堂上，為了有效規(guī)避所有可能出現(xiàn)的干擾，教師和學生在列出與教材一致的方程組上花費了15分鐘時間.如此多的教學時間被占用，讓本節(jié)課的教學重心從代入消元法的獲得、鞏固和應用上，偏移到了建構(gòu)數(shù)學模型（二元一次方程組）上來，這顯然是不妥的.

三、優(yōu)化建議

1.前后呼應，統(tǒng)一建模過程

題1是一個數(shù)量“成比問題”.人教版教材中，“成比問題”是較為常見的.上面的題2，在第三章一元一次方程中，解答時抓住“2∶5”可直接給出了2xt、5xt的設元，這是對題中給定比例“不繞任何彎子”的直接應用.在題1所在的第八章二元一次方程組中，“8.3實際問題與二元一次方程組”的探究2也是一個“成比問題”，《教師教學用書》給定的方程是100x∶（2×100y）=3∶4，這是題中蘊含的“甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3∶4”的直接應用.如果按照題1的解法，我們是不是也應該給出3×（2×100y）=4×100x才適宜呢？筆者認為，同一套教材應該要保持前后一致.更何況，題1和探究2在同一單元中，而且相隔僅一課時的“距離”，解法上是不應該有多大差異的.所以，筆者建議教材再版時，可將方程組2插入到“解法”的設元與方程組1之間，增加一個“化簡”環(huán)節(jié).如此設計有兩個好處：一是順應教材編排的體系，做到了前后一致；二是讓學生經(jīng)歷方程組的整理過程，體會轉(zhuǎn)化思想，知道“遇到復雜的方程（組）時，要將其化簡，變成已經(jīng)學過的方程（組）”.

2.整合例題，強化整體認知

在“8.2消元——解二元一次方程組”中，共安排了4道例題：兩道“解方程組”（例1、例3）和兩道應用題（例2和例4）.教材安排這些題目，是按照“一道解方程組+一道應用題”的形式安排的，筆者認為，這樣的安排是對一元一次方程“先解法，后應用”的認知歷程的呼應.在學生學習“代入法”和“加減法”這兩種解法時，都要經(jīng)歷“探索解法—解方程組—實際應用”的認知歷程.這樣安排，使得對實際問題的探索占用了大量的教學時間，讓學生對兩種解法的探索與應用都停留在表層，無法走向深入.此外，實際問題探索的淺嘗輒止，學生對二元一次方程組的應用體驗同樣停留在表層，無法整體把握其流程與價值.筆者建議，將教材中難度較大的例2（即題1）和難度不大的例4合并安排在兩種解法之后，作為本節(jié)第三課時“二元一次方程組的簡單應用”的教學內(nèi)容.如此安排，有四個好處：一是與學生的認知經(jīng)驗契合，有利于學生進一步鞏固“定義+解法+應用”的方程學習經(jīng)驗，整體把握二元一次方程組的知識體系；二是順利解決原教材“重點不突出”的問題，讓兩種解法的地位凸顯出來；三是能借助兩個實際問題的解決，讓學生體會代入消元法和加減消元法各自的優(yōu)勢，為解法的優(yōu)選與應用積累經(jīng)驗；四是實現(xiàn)“8.2消元——解二元一次方程組”與“8.3實際問題與二元一次方程組”的自然銜接，前后兩課時中的實際問題由易到難，學生的認知順勢發(fā)展，螺旋上升.如此一舉四得的好事，教材再版時不妨一試.

3.重組練習，關(guān)注配套訓練

為了確保教學資源的配套，教學例題的整合必然帶來課時練習的重組.一旦我們將代入消元法和教材例1在第一課時呈現(xiàn)，其配套練習自然也就應是與代入消元法有關(guān)的問題了，如第93頁“練習”中的第1題“把下列方程改寫成用含x的式子表示y的形式”，第2題“解方程組”.第二課時中，只涉及加減消元法，自然配套練習也應以加減消元法為主，除了教材第96頁的解方程組，我們可以在其前面增加一道填空題，將加減消元法進行簡單運用，如：若x、y滿足方程組則x-6y=______.至于第三課時，應側(cè)重于鞏固“二元一次方程組的簡單應用”，原教材“練習”與兩道例題并不完全配套，尤其是題1，教材中第93頁的“練習”與“習題8.2”中均沒有出現(xiàn)“成比問題”，教材再版時，我們可以將原第93頁練習的第3題改為一個包含比例關(guān)系的實際問題，與同頁的第4題移至本節(jié)最后一課時，與第97頁“練習”中的2、3合并作為課時練習.這樣的調(diào)整，保證了課時練習與教學內(nèi)容具有較高的吻合度，較好地實現(xiàn)了幫助學生即時鞏固所學知識的目的，為他們的后續(xù)學習提供了強有力的“四基”支撐.