“數(shù)學(xué)建模”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉福建省廈門市大同中學(xué) 林玉花

高中數(shù)學(xué)具有極強的針對性，除了要對數(shù)學(xué)定理和公式進行理解掌握，還要對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進行培養(yǎng)，以形成嚴密的思維模式，以便學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)過程中能獨立地解決數(shù)學(xué)問題.隨著新課改的推進，在設(shè)置高中數(shù)學(xué)教學(xué)時，越發(fā)重視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力.而要滿足這樣的培養(yǎng)目標，就需要轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀念.教師為了實現(xiàn)這樣的目標，也在不斷地探索新的教學(xué)模式——“數(shù)學(xué)建?！?利用這種教學(xué)模式對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進行訓(xùn)練，可以刺激他們自主探索解題方法，引導(dǎo)他們將知識與生活進行聯(lián)系，從而不斷發(fā)展他們的創(chuàng)新思維能力.［1］

一、“數(shù)學(xué)建?！痹诮忸}中的重要性

對于“數(shù)學(xué)建?！睂W(xué)生雖有所了解，但缺乏更深層次的理解.而事實上，數(shù)學(xué)建模對高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)來說有著不可忽視的重要意義.

1.借助建模思維準確審題

高中和初中相比，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上更需要借用建模思維來求解實際問題，這也凸顯出從初中到高中的跨越，這種跨越在數(shù)學(xué)上所表現(xiàn)出的是在廣度和深度上的質(zhì)的飛躍.在高中階段，很多數(shù)學(xué)問題都含有諸多的已知條件、干擾條件和隱藏條件，這就需要學(xué)生通過分析進行辨別，從而完成解答.

例如，已知f（x）是一個偶函數(shù)，其定義域為［-1，1］，現(xiàn)有一函數(shù)g（x），其圖像與f（x）的圖像關(guān)于x=1對稱，且當(dāng)x∈［2，3］時，g（x）的表達式為g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3（a為實數(shù)），請寫出f（x）的函數(shù)表達式.

分析題意可知，這道題包含了多個數(shù)學(xué)模型，要想求解這道題，首先要抓住各模型之間的聯(lián)系，而已知條件中的偶函數(shù)可以作為問題的切入點.首先觀察g（x）的表達式，在坐標系中繪制出函數(shù)在x∈［2，3］時的大致圖像，然后根據(jù)g（x）的式子假設(shè)兩個公式，通過消元的方式對f（x）的表達式進行求解.

2.借助建模思維化繁為簡

對于一些復(fù)雜的題目，可通過建模進行簡化.高中數(shù)學(xué)難度相比于初中數(shù)學(xué)具有較大幅度的提升，因此也呈現(xiàn)出難度系數(shù)大、準確度低、耗費時間長的特點.通過建模，能將繁雜的題目內(nèi)容轉(zhuǎn)化為簡單的參數(shù)變量關(guān)系，更方便學(xué)生進行運用.［2］

例如，證明cos2x+cos（2x+y）-2cosxcosycos（x+y）=sin2y這個等式.分析題目可知，這個等式包含了多種三角函數(shù)，而且還有平方關(guān)系.對于這類題目，一般的思路是利用轉(zhuǎn)換公式對二次項進行降冪，這也是進行后續(xù)運算的關(guān)鍵.所以在求解時，可利用轉(zhuǎn)化公式，用代替cos2x等，這就從降冪的角度對問題進行了轉(zhuǎn)化，也凸顯出了數(shù)學(xué)模型的建立對求解問題的幫助.

3.借助建模思維快速求解

由于數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性，很多高中生絞盡腦汁地運算，卻得到錯誤的結(jié)果，可見其在方法的選擇上出現(xiàn)了問題.而利用數(shù)學(xué)建模，不僅能找到各對象之間的關(guān)聯(lián)，還能對答案進行檢驗，在求解出結(jié)果后進行快速驗算來判斷結(jié)果的正確性，這也凸顯了數(shù)學(xué)建模的優(yōu)勢和意義.

二、培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)建模意識的方法

不管用哪種方法教學(xué)，始終離不開教材這一參考依據(jù)，并且很多數(shù)學(xué)模型也都來源于此.因此教師要做的就是巧妙利用課本資源進行建模思維的教學(xué).為此在實際教學(xué)過程中應(yīng)該貫穿建模思想，通過引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識和模型的聯(lián)系來對他們的發(fā)散思維進行訓(xùn)練.

1.在新授課中融入實際問題

例如，對于數(shù)列的學(xué)習(xí)，可以利用彩票和貸款這類生活中的事物，幫助學(xué)生建立知識與生活的聯(lián)系，從而領(lǐng)會數(shù)列在實際問題中的模型應(yīng)用.又如，對于立體幾何知識的學(xué)習(xí)，可通過將立體圖形模型化來進行教學(xué)，讓學(xué)生理解正方體實際上是特殊的長方體.有了這層認識，學(xué)生自會明白與正方體相關(guān)的問題，首先需要滿足長方體的基本條件.這樣一來，就可以讓學(xué)生明白解題模型對問題求解的重要意義.［3］

2.在數(shù)學(xué)解題中融入模型思想

將模型思想融入到問題求解中，有利于學(xué)生通過實踐對其內(nèi)涵進行感悟，從而培養(yǎng)學(xué)生建模求解的良好習(xí)慣.除了新課教學(xué)時的建模思想的貫穿，還可以借助復(fù)習(xí)來進行建模能力的訓(xùn)練.在學(xué)完一個專題的內(nèi)容后，可專門設(shè)置復(fù)習(xí)課，圍繞相關(guān)的關(guān)鍵問題進行交流討論，并讓學(xué)生對這部分內(nèi)容所用到的數(shù)學(xué)模型進行總結(jié).

例如，可結(jié)合實際問題的求解過程幫助學(xué)生總結(jié)并提煉出“圖像解題”的方法，然后由此引申出去，對能用這類方法進行求解的問題進行歸納.如對二元不等式相關(guān)問題的求解，就可以結(jié)合函數(shù)圖像來幫助理解，進而在此基礎(chǔ)上進行求解.而對于幾何問題來說，不管是平面幾何還是立體幾何，由于其本身就是圖形，所以自然是一個會大量使用圖像解題的類型.不僅如此，由于函數(shù)也有各自對應(yīng)的圖像，因此在求解函數(shù)問題時，也少不了要運用圖像思維來求解，所以就需要學(xué)生重點掌握函數(shù)的基本圖像性質(zhì).

三、數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

建模方法除了對高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有幫助，還能應(yīng)用于實際問題的求解中，方便他們提高解答速度和準確性，進而在考試中提高做題效率，實現(xiàn)成績的穩(wěn)步增長.

1.借助數(shù)學(xué)建模進行參數(shù)轉(zhuǎn)換

運用建模思想解題時，常用的一種方法是轉(zhuǎn)換參數(shù).以函數(shù)知識為例，其公式和圖像可以相互轉(zhuǎn)化，可見數(shù)學(xué)知識具有相通性.為此，在解決復(fù)雜的函數(shù)問題時，可將其進行轉(zhuǎn)化，然后以圖形的思路進行求解，將自變量和因變量對應(yīng)關(guān)系展現(xiàn)在圖形中.而對于幾何問題的求解，亦可借助直角坐標系對其長度、角度等進行量化，以便完成求解.

2.借助數(shù)學(xué)建模進行參數(shù)定義

求解概率和數(shù)列方面的問題時，一般會用整體減部分來代替部分的思路進行建模，這就是數(shù)學(xué)中的整體思想，通過轉(zhuǎn)化概念實現(xiàn)簡化題目，從而在思維的轉(zhuǎn)換中進行求解.［4］對此也可由實例進行說明：同學(xué)們在玩拋硬幣的游戲，而在概率學(xué)中我們已知，得到正反面的概率均為50%，請問如果拋十次硬幣的話，十次的結(jié)果中至少有一次為正面的概念有多大？分析題目后可知，可將問題進行轉(zhuǎn)化——在拋十次的結(jié)果中，先計算十次均拋出反面的概率，然后用1減去它就能得到結(jié)果.因此，先求出二分之一的十次方，再用1去減它，就計算出了至少有一次為正面的概率.

3.借助數(shù)學(xué)建模找出隱藏條件

單從題目來分析，高中與初中的不同之處在于高中數(shù)學(xué)題目中有很多的隱藏條件，而對隱藏條件的處理，可能會直接提出用x，m等未知數(shù)來表示，也可以不指明.而往往在遇到有隱藏條件的問題時，學(xué)生會無從下手.利用建模思想，有助于正確使用公式，在抓住不同對象的聯(lián)系的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)對隱藏條件的求解，進而提升求解速度.

不管隱藏條件是怎樣的，始終都不會改變數(shù)學(xué)公式的真理.因此只要模型正確，就能保證選用的公式和定理是正確的，進而找到正確的隱藏條件.例如，有這樣一個題目：奇函數(shù)f（x）的定義域為［-2，2］，已知g（x）的函數(shù)圖像過點（6，5），且和f（x）關(guān)于x=1對稱，則g（x）的值域為多少？從題目中的奇函數(shù)可知，f（0）=0，找出了這一隱藏條件，再求得g（x）的對稱點，就有了求g（x）的兩個條件，從而實現(xiàn)對問題的求解.

總之，對于高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)問題的求解，建模方法的作用效果是非常明顯的.通過在教學(xué)、求解等環(huán)節(jié)融入數(shù)學(xué)建模思想，不僅有助于學(xué)生更快地完成求解，而且能有效提高解題的正確率，而這類應(yīng)用在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是非常廣泛的.由此也可得出，只要正確地將建模方法用到教學(xué)實踐中，就可讓學(xué)生在不斷的思維訓(xùn)練和能力發(fā)展的基礎(chǔ)上取得良好的數(shù)學(xué)成績.