強(qiáng)化概念教學(xué)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

☉江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué) 張紅玉

一、問題的提出

數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)一直是一個(gè)特殊的話題，大家都知道其重要性，但在實(shí)際教學(xué)過程中還是普遍存在“重解題輕概念”的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解的不透徹，掌握的比較膚淺，進(jìn)而概念的應(yīng)用更無從談起，從而造成思路混亂，最終在解題上出現(xiàn)失誤.

1.概念教學(xué)普遍存在的問題

（1）概念教學(xué)表面化、形式主義嚴(yán)重，大有“到此一游”的意味.這樣必導(dǎo)致對應(yīng)的概念講不透，流于形式.往往只是通過簡單的舉例，然后進(jìn)行跨越式的簡單歸納，不注重?cái)?shù)學(xué)概念的引入.有時(shí)更是直接把數(shù)學(xué)概念提出來，從而來當(dāng)作完成任務(wù).

（2）概念講解過分講究定義的嚴(yán)謹(jǐn)性，導(dǎo)致較為生疏的數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語使用過多，學(xué)生無法從根本上真正認(rèn)識并掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念.

（3）數(shù)學(xué)概念中對定義的限制條件或相應(yīng)的隱含條件交代不全，解釋不透，有時(shí)對概念的相關(guān)條件的要求只是一帶而過，這樣造成學(xué)生主觀上只對概念有一個(gè)模糊的印象，故在實(shí)際應(yīng)用時(shí)必定漏洞百出.

2.概念教學(xué)導(dǎo)致的錯(cuò)誤傾向

“重解題輕概念”的現(xiàn)象已經(jīng)根深蒂固，從而導(dǎo)致普遍存在的錯(cuò)誤傾向：

（1）直覺地認(rèn)為老師對數(shù)學(xué)概念不夠重視，從而形成心理上的懈怠，主觀性較差，重視性較低，進(jìn)而不求甚解，直接導(dǎo)致對相關(guān)的數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識模糊不清.

（2）主觀上對數(shù)學(xué)概念只是簡單的死記硬背，沒有充分理解，透徹掌握，只是對數(shù)學(xué)概念有一個(gè)表面的、膚淺的、機(jī)械的、零碎的了解與認(rèn)識，更談不上理解與掌握.

“重解題輕概念”的結(jié)果可想而知，在沒有真正理解與掌握數(shù)學(xué)概念的情況下，盲目地去解題，只會簡單地模仿老師的講解或教材本中的實(shí)例，必然無法形成有效的能力，更無法養(yǎng)成解決相應(yīng)概念下典型的題目和掌握相應(yīng)概念下的特定解法與技能，效果比較差.當(dāng)遇到創(chuàng)新性的問題背景、創(chuàng)新的題目條件、創(chuàng)新的技能技巧時(shí)，問題就充分暴露出來，且束手無策.而為了解決這個(gè)問題，又只能是進(jìn)行大量的題海訓(xùn)練，去熟悉更多的題目與類型，進(jìn)一步導(dǎo)致師生為了提高成績而“暢游”在茫茫的數(shù)學(xué)題海之中，身心交瘁，效果不佳.

二、問題的解決

概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的作用，那么教師怎樣真正體現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中“課程基本理念”的要求，切實(shí)有效地注重概念教學(xué)，落實(shí)舉措，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素呢？

1.體驗(yàn)概念的產(chǎn)生過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)概念的引入，應(yīng)創(chuàng)設(shè)身邊可及的教學(xué)情景，從實(shí)際問題出發(fā)，提出問題，進(jìn)而通過分析問題、解決問題和應(yīng)用問題來切入數(shù)學(xué)概念，水到渠成.特別地，設(shè)計(jì)與相應(yīng)概念有明顯聯(lián)系且直觀性強(qiáng)的例子，可以引導(dǎo)學(xué)生自主地對具體問題進(jìn)行體驗(yàn)、探究，進(jìn)而感知概念，并形成感性認(rèn)識.最后再通過對一定數(shù)量的感性材料的觀察、分析、抽象、歸納、提升，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性——數(shù)學(xué)概念.這樣對數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識階段通過一定的實(shí)例訓(xùn)練就能比較有效地上升到理性認(rèn)識階段，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

例如，在三角函數(shù)中對角的概念進(jìn)行推廣時(shí)，通過初中“平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形”的角的概念，結(jié)合生活實(shí)例，提出問題，從而引導(dǎo)學(xué)生從簡單的“旋轉(zhuǎn)”到“按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)”和“按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)”的有效延伸，形成任意角的概念.

2.抓住概念的本質(zhì)屬性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模

一個(gè)全新概念的產(chǎn)生，是對已有的相關(guān)概念的延續(xù)、繼承、發(fā)展和完善.我們知道，一個(gè)概念包括內(nèi)涵部分與外延部分，其中內(nèi)涵部分主要揭示相關(guān)概念的本質(zhì)屬性，外延部分則指明相關(guān)概念所包含的對象的范圍，即具有這種特定的本質(zhì)屬性的那些相關(guān)的確定對象的集合的全體.在概念教學(xué)中，有些概念的內(nèi)涵部分豐富、外延部分廣泛，很難做到一步到位，這時(shí)就需要對其進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)，將其分成若干個(gè)層次，層層推進(jìn)，有效鏈接，逐步深入.只要抓住了相關(guān)概念的本質(zhì)屬性，對概念的理解與掌握就比較容易了.而抓住概念的本質(zhì)屬性，關(guān)鍵就在于突破概念的抽象關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

例如，在立體幾何中的二面角的平面角的概念教學(xué)時(shí)，抓住概念中“以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線”這一本質(zhì)屬性，形成二面角的平面角的大小的唯一性、位置的平移性以及立體問題的平面幾何化，把立體圖形問題借助平面幾何的角的大小問題來規(guī)范.

3.挖掘概念的深層含義，培養(yǎng)邏輯推理

數(shù)學(xué)概念大都是通過定義來描述并給出其確切含義的，通過對概念本質(zhì)屬性的理解，還需進(jìn)一步挖掘其深層含義，概括出定義的基本點(diǎn)，這些概括出來的定義的基本點(diǎn)，其實(shí)就是對定義的“再加工”“再挖掘”過程，從而對概念有更全面、更深刻的理解，進(jìn)而有效且正確地運(yùn)用概念并形成能力，以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).

例如，在任意角的三角函數(shù)的概念教學(xué)過程中，首先要清楚正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)均表示相應(yīng)角α的終邊上對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）以及該點(diǎn)與原點(diǎn)的距離r之間的比值，各相應(yīng)函數(shù)的比值的大小只與對應(yīng)的角α的大小有關(guān)，與角α的終邊上所取點(diǎn)的位置與坐標(biāo)無關(guān).然后再進(jìn)行更深層的挖掘，當(dāng)r=1時(shí)，其點(diǎn)P的坐標(biāo)與相應(yīng)三角函數(shù)值的關(guān)系為x=cosα，y=sinα；角α的終邊位置與旋轉(zhuǎn)周數(shù)、對稱的關(guān)系等，為后面誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)奠定基礎(chǔ).

又例如，在平面向量的數(shù)量積的概念教學(xué)時(shí)，通過公式的直接給出來確定相應(yīng)的概念.而對于平面向量的數(shù)量積的結(jié)果為一個(gè)數(shù)量，結(jié)合投影的概念，可以進(jìn)一步拓展平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，在解決一些復(fù)雜的平面向量的數(shù)量積問題時(shí)，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的投影來處理，可以有效地拓展與提升對相關(guān)概念的理解.

4.概念的具體抽象，培養(yǎng)直觀想象

其實(shí)，在概念教學(xué)中，要充分明確感性認(rèn)識與理性認(rèn)識的依賴關(guān)系，不能盲目地認(rèn)為由感性認(rèn)識得出的觀念就是概念.作為數(shù)學(xué)概念，一般不同于其他概念，一些數(shù)學(xué)概念往往是由具體直觀的形象，通過抽象的思維活動總結(jié)出來的.對于此類概念教學(xué)，應(yīng)盡可能通過直觀教學(xué)，進(jìn)而使整個(gè)概念教學(xué)變得直觀有效，學(xué)生更容易掌握.在概念教學(xué)中，把抽象的概念具體化，從而讓學(xué)生感到直觀形象，記憶牢固，掌握準(zhǔn)確，應(yīng)用起來也比較方便，以培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

例如，對于棱臺概念的掌握，要先讓學(xué)生觀察實(shí)物，在具體直觀認(rèn)識的基礎(chǔ)上，觀察其主要特征與由來，抽象概括出“用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分”就是棱臺的概念.從而進(jìn)一步回歸就可以明確“棱臺的側(cè)棱延長線相交于一點(diǎn)”，這也是在具體形象的基礎(chǔ)上抽象出來的概念的良好反饋.

5.明確概念的對立統(tǒng)一，培養(yǎng)辯證思維

數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，相關(guān)概念之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，既是對立的又是統(tǒng)一的.通過數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系的分析與掌握，在學(xué)習(xí)過程中可以有效類比，綜合比較，形成思維群，從而進(jìn)行更有效且更深層次的學(xué)習(xí)，以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的辯證思維.

在研究數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系時(shí)，分析橫向關(guān)系與縱向關(guān)系，往往橫向關(guān)系表現(xiàn)在并列的概念關(guān)系中，通過對原有概念的理解與比較，進(jìn)而區(qū)分橫向上易混淆的概念；而縱向關(guān)系表現(xiàn)在從屬的概念關(guān)系中.通過橫向關(guān)系與縱向關(guān)系的分析，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的歸納，能讓學(xué)生明確概念的聯(lián)系與區(qū)別.例如，在進(jìn)行等比數(shù)列的概念教學(xué)過程中，就可以借助等差數(shù)列的概念教學(xué)，進(jìn)行相應(yīng)概念的聯(lián)系與區(qū)別方面的分析，從而更加快速有效地學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念.

在研究數(shù)學(xué)概念的對立統(tǒng)一時(shí)，往往把對立統(tǒng)一的相關(guān)概念進(jìn)行比較學(xué)習(xí).例如，“正數(shù)與負(fù)數(shù)”“正角與負(fù)角（包括零角）”“旋轉(zhuǎn)的方向——逆時(shí)針與順時(shí)針（包括沒有旋轉(zhuǎn)）”，這些對立的概念形成了三角函數(shù)中的任意角概念，具有鮮明的相互矛盾、對立統(tǒng)一的性質(zhì).

三、感悟與反思

作為教師，在概念教學(xué)時(shí)，第一要有效備課，充分處理好講與練的關(guān)系，將講和練有機(jī)地結(jié)合在一起，并通過合理巧妙的設(shè)計(jì)，為概念教學(xué)的講解提供時(shí)間上的保證以及過渡上的鏈接；第二要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，概念教學(xué)不要囿于課本，要從學(xué)生已有的認(rèn)知水平與結(jié)構(gòu)出發(fā)，借助網(wǎng)絡(luò)媒體等現(xiàn)代化的科技手段，通過講解并引導(dǎo)學(xué)生參與，形成系統(tǒng)的概念網(wǎng)絡(luò)，組成科學(xué)的知識體系；第三要合理創(chuàng)新，借助概念的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一些可行的創(chuàng)新與拓展，培養(yǎng)興趣，形成習(xí)慣.

波利亞說過：“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn).”在概念教學(xué)與概念形成的過程中，要充分引導(dǎo)學(xué)生自主探究，通過對具體事物的感知，自主觀察并進(jìn)行分析，主動參與研究，合理地進(jìn)行抽象概括，自覺獲取事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律，從而形成新的數(shù)學(xué)概念.在此過程中，學(xué)生能夠主動地去獲取和體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念，自主地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，真正培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、創(chuàng)新精神以及核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為本，尊重學(xué)生的主體地位的教學(xué)理念，也促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和優(yōu)化，從而全面提升并優(yōu)化教學(xué)效益，達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.W