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    導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用

    2019-01-28 10:50:40孫玘玥
    速讀·中旬 2019年2期
    關(guān)鍵詞:應(yīng)用方法導(dǎo)數(shù)高中數(shù)學(xué)

    孫玘玥

    摘 要:導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,在我們學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí),也需要利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)問(wèn)題。本文將結(jié)合個(gè)人的學(xué)習(xí)經(jīng)歷及認(rèn)識(shí),探討導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的重要性,在此基礎(chǔ)上,研究導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的具體應(yīng)用,包括應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷函數(shù)單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)值域或最值問(wèn)題、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)極值等。

    關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);高中數(shù)學(xué);函數(shù);應(yīng)用方法

    導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)局部性質(zhì)的重要方法,代表函數(shù)曲線上某一點(diǎn)的變化率,在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí),經(jīng)常需要使用導(dǎo)數(shù)知識(shí)。因此,在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們需要充分認(rèn)識(shí)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,在扎實(shí)掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上,善于對(duì)其進(jìn)行靈活應(yīng)用,從而使許多函數(shù)問(wèn)題能夠迎刃而解。在平時(shí)的學(xué)習(xí)和做題過(guò)程中,也需要不斷積累經(jīng)驗(yàn),從而掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí)在函數(shù)中的應(yīng)用方法。

    一、導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要性

    導(dǎo)數(shù)又稱導(dǎo)函數(shù),是一種特殊的函數(shù)類型,從其定義和引出過(guò)程中,都可以看到函數(shù)思想。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段,導(dǎo)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)為我們解決不等式、切線、數(shù)列等問(wèn)題提供了新的方法和途徑。近幾年來(lái),導(dǎo)數(shù)知識(shí)在函數(shù)中的應(yīng)用,也是高考試題的重點(diǎn)考察對(duì)象。無(wú)論從哪個(gè)角度來(lái)看,導(dǎo)數(shù)知識(shí)都在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中占有重要地位。首先,導(dǎo)數(shù)是判斷函數(shù)單調(diào)性的重要方法,適用性較高,可以反映出函數(shù)某點(diǎn)附近的變化規(guī)律,將函數(shù)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。其次,導(dǎo)數(shù)定義中引入了變化比值極限的概念,是函數(shù)解題的重要思想,對(duì)其進(jìn)行深刻理解,可以幫助我們打破思維局限性。再次,導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則可應(yīng)用在兩函數(shù)乘積導(dǎo)函數(shù)、商的導(dǎo)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)導(dǎo)函數(shù)等各個(gè)方面,能夠化簡(jiǎn)大多數(shù)函數(shù)問(wèn)題,是我們必須要掌握的解題方法。因此,必須提高對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的重視,并掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題中的應(yīng)用方法。

    二、導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高中函數(shù)中的具體應(yīng)用策略

    (一)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷函數(shù)單調(diào)性

    如上所述,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,是導(dǎo)數(shù)知識(shí)在函數(shù)中的一個(gè)重要應(yīng)用方向。以例1為例:求函數(shù)f(x)=x3+3/x的單調(diào)區(qū)間??衫脤?dǎo)數(shù)概念,確定函數(shù)的定義域,即(-∞,0)∪(0,+∞)。然后對(duì)題目中的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),即f(x)=3x2-3/x2=3(x2+1)(x+1)(x-1)/x2,若導(dǎo)數(shù)大于零,則x的取值范圍為大于1或小于-1。如果導(dǎo)數(shù)小于零,則x取值范圍為大于-1小于0或大于0小于1。那么函數(shù)的遞增區(qū)間為(-∞,1)∪(1,+∞),遞減區(qū)間為(-1,0)∪(0,1)。從例1的解題過(guò)程中可以看出,采用導(dǎo)數(shù)解題方法,不需要進(jìn)行傳統(tǒng)方法下的f(x1)-f(x2)的正負(fù)性判斷,而是直接對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),確定遞增和遞減區(qū)間,確定函數(shù)定義域,再進(jìn)行求導(dǎo)。

    (二)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)值域或最值

    在高中函數(shù)問(wèn)題中,經(jīng)常會(huì)遇到函數(shù)值域或最值求解問(wèn)題,這也是高考中常出現(xiàn)的一類題型。在此方面,也可以利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解,而且解題過(guò)程較為簡(jiǎn)單。同樣以一道例題進(jìn)行說(shuō)明,例2:試求函數(shù)y=(4x+3)/(x2+1)的值域。在此類問(wèn)題中,通常采用判別式方法進(jìn)行求解,首先將其轉(zhuǎn)為為yx2-4x+y-3=0,然后分為兩種情況進(jìn)行討論,即y=0和y≠0的情況,如果未進(jìn)行分類討論,則會(huì)得出錯(cuò)誤答案。利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解,首先確定原函數(shù)的定義域,由于x2+1恒大于0,因此函數(shù)定義域?yàn)椋?∞,+∞)。進(jìn)而可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行直接求導(dǎo),得到y(tǒng)=[-2(x+2)(2x-1)]/(x2+1)2,令y=0,可以得出x=-2,或x=1/2。當(dāng)x=-2時(shí),y取得極小值,為-1,當(dāng)x=1/2時(shí),y取得最大值,為4.然后根據(jù)[limx→∞f(x)=limx→∞4x+3x2+1=0],確定函數(shù)值域?yàn)閇-1,4]。

    上述題目解析過(guò)程中可以看出,由于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用,使原題目中函數(shù)的值域求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)計(jì)算問(wèn)題,并通過(guò)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,確定其值域范圍。這是由于函數(shù)在閉區(qū)間可導(dǎo),可以方便的求取其在閉區(qū)間內(nèi)的最值。合理運(yùn)用這一性質(zhì),可以有效簡(jiǎn)化函數(shù)值域問(wèn)題的求解范圍,利用其解決更多函數(shù)問(wèn)題。

    (三)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)極值

    利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解函數(shù)極值,是導(dǎo)數(shù)概念以及極限值思想應(yīng)用的集中體現(xiàn),對(duì)我們的函數(shù)思想有重要的提升作用。應(yīng)注重導(dǎo)數(shù)思想在函數(shù)極值求解問(wèn)題的應(yīng)用,明確其應(yīng)用步驟,并對(duì)可能出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方加以注意。利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值的關(guān)鍵步驟包括求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x),然后求解f(x)=0的根,再根據(jù)方程根的左右值符號(hào),確定函數(shù)的極大值或極小值。下面以例3為例進(jìn)行說(shuō)明:求解函數(shù)f(x)=1/3x3-4x+4的極值。在對(duì)這道題目進(jìn)行求解時(shí),根據(jù)上述流程,可對(duì)題目中的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)f(x)=x2-4=(x-2)(x+2),然后令f(x)=0,可以較為容易的求出根值為2和-2。再通過(guò)對(duì)x變化時(shí)的導(dǎo)數(shù)變化及函數(shù)變化進(jìn)行分析,確定x=-2時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值,為28/3,x=2時(shí)函數(shù)f(x)取得最小值,為-4/3。與傳統(tǒng)方法下的函數(shù)極值求解過(guò)程相比,這種方法步驟較少,而且過(guò)程計(jì)算簡(jiǎn)單,不容易出錯(cuò)。因此,積極利用導(dǎo)數(shù)方法對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解,不僅可以提高我們的函數(shù)解題速度,還有利于提升函數(shù)解題準(zhǔn)確率。在我們平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,應(yīng)關(guān)注于導(dǎo)數(shù)在函數(shù)解題過(guò)程中的應(yīng)用,并熟練掌握其應(yīng)用方法。

    三、結(jié)束語(yǔ)

    綜上所述,導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)求解過(guò)程中的應(yīng)用,不僅可以使函數(shù)問(wèn)題得到解決,而且過(guò)程簡(jiǎn)單,可以縮短解題時(shí)間,從而讓我們?cè)诳荚囍泄?jié)省更多時(shí)間去做其他題目或進(jìn)行檢查。通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用方法進(jìn)行總結(jié)和分析,可以更加明確導(dǎo)數(shù)知識(shí)在函數(shù)中的應(yīng)用思路,同時(shí)找到容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方,在實(shí)際應(yīng)用中提高警惕,提升函數(shù)問(wèn)題的解題準(zhǔn)確率。

    參考文獻(xiàn)

    [1]蔡瑩.淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的解題應(yīng)用[J].考試周刊,2018(77):94.

    [2]韓紅梅.高中數(shù)學(xué)課程價(jià)值取向及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用[J].考試周刊,2013(84):57.

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