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    高中數(shù)學排列組合解題技巧分解

    2019-01-28 10:41:36侯沛辰
    速讀·下旬 2019年2期
    關鍵詞:排列組合解題技巧高中數(shù)學

    侯沛辰

    摘 要:高中數(shù)學中的排列組合是一個重點知識,是計數(shù)原理中的一個偏難章節(jié),同時也是許多實際問題的求解方法,需要靈活掌握其解題技巧。本文將結合筆者的自身學習經(jīng)驗,首先對高中數(shù)學排列組合題目的分析方法進行簡單介紹,進而提出幾種解題技巧的實際運用,包括插空法、轉(zhuǎn)化法、間接法、對等法的應用等。

    關鍵詞:高中數(shù)學;排列組合;解題技巧

    排列組合問題求解對于我們的邏輯思維能力有較高的考驗,在扎實掌握基本概念公式和計算原理的基礎上,還要在解題過程中總結方法和技巧,從而達到事半功倍的效果。求解排列組合問題,首先要審清題意,不能盲目套用公式,否則容易掉進出題人設置的陷阱。雖然此類問題大多數(shù)能找到解題思路,但想要準確解答出結果并不容易。因此,有必要對其解題技巧進行研究,提高排列組合問題的求解效率和準確率。

    一、高中數(shù)學排列組合題目的分析方法

    在高中數(shù)學學習過程中,審題永遠是求解問題的第一步,只有采取正確的問題分析方法,才能找到求解問題的關鍵,從而利用題目已知條件順利求解出答案。在對高中數(shù)學排列組合問題進行分析時,可以按照一定的步驟系統(tǒng)化分析。第一步是對問題性質(zhì)進行判斷,準確判斷題目到底是排列問題、組合問題、混合問題中的哪種類型。然后根據(jù)問題性質(zhì),確定解題模式,即判斷問題屬于加法原理還是乘法原理,從而正確選擇出問題的求解方法。在此基礎上,還要對題目附加條件進行詳細分析,不能放過任何一個有用條件,同時也不能受到干擾條件的影響。一般情況下,在排列組合問題中的附加條件主要是對元素位置進行限定,需要在分析過程中加以明確,否則容易出現(xiàn)重復或遺漏的現(xiàn)象,導致出現(xiàn)錯誤。通常的原則是:優(yōu)先限制后一般,優(yōu)先分類后分步,優(yōu)先選取后排序,優(yōu)先策略后其他。

    二、高中數(shù)學排列組合題目的解題技巧

    (一)插空法的運用

    插空法是解決排列問題的常用方法,在對幾個元素按照要求進行排列時,采用插空法可以有效簡化排列過程?;灸P褪遣幌噜弳栴},即對某些元素提出不相鄰要求為限制條件,其基本思維是先將沒有限制的元素進行排列,然后再將有限制的元素插入到已經(jīng)排好的元素序列中,從而滿足題目的要求。比如例1:教師組織學生到影院觀影,影院同排座位有12個,需要安排4名教師和8名學生,其中教師不能相鄰,且必須在學生之間,試求解有多少種排座方法。利用插空法進行求解,首先對沒有限制條件的“學生”進行排列,共有A88種方法,然后為4名教師安排空檔,根據(jù)題意,教師不能坐在兩邊,因此實際有7個空檔,共有A74種排列方法,所以最終的結果就是A88·A74種排列方法[2],這是互異元素間的問題。

    又如例2:有15盞燈,需關掉6盞,要求相鄰的燈不能關掉,兩端的燈不關掉,試求解有多少種不同的關燈方法。利用插空法進行求解,固定9盞亮燈的位置,由于兩端只能是亮燈,因此8個空插6盞燈,即C86種排列方法,燈的順序固定,不能用排列,而是用組合。

    (二)轉(zhuǎn)化法的運用

    轉(zhuǎn)化法也是在排列組合問題中常用的一種解題技巧,特別是在一些比較復雜和抽象的題目中,采用轉(zhuǎn)化法進行求解,可以幫助我們理清思路,避免出現(xiàn)錯誤。比如例3:某校高二年級共有9個班級,現(xiàn)要在高二年級中選拔11名學生會成員,要求每個班至少選出一人,試求解共有多少種選擇方法。這道問題由于與實際校園生活聯(lián)系起來,可能會增加我們分析問題的難度,可以對題目中的模型進行轉(zhuǎn)化,比如將其想象成“對11個白球分成9組”的問題,就可以快速理清解題思路。首先將11個白球排成一排,它們之間有十個空檔,“分組”可以看做在空檔中放入黑球,利用黑球?qū)浊蚋糸_。那么最終要求解的問題就是黑球有多少中插入方法,可以直接通過C108進行計算。

    (三)間接法的運用

    在求解組合類問題時我們會發(fā)現(xiàn),往往題目有多少種排列方法,就會對應有多少種剩余排列方法,如果直接求題目中要求的排列方法難以計算,可以轉(zhuǎn)換思路,先求出剩余的排列方法,然后再進行求解。比如例4:口袋里裝有23個不相同的五分硬幣,10個不相同的一角硬幣,在口袋中取出2元錢,有多少種取法?這道題就是典型的直接求取很困難,而采用剩余法求解很簡單。通過計算將口袋里的全部硬幣取出金額可以得出,口袋里共有2.15元,現(xiàn)要取出2元,相當于留下0.15元??诖镏挥袃煞N面額的硬幣,即五分和一角,那么只有兩種情況,一是剩下3個五分硬幣,二是剩下一個五分硬幣和一個1角硬幣。但由于硬幣不同,所以最終的結果是有C233+C231C101種取法。

    間接法的運用中還有一種方法,是排除法,主要針對一些難度較高的排列組合問題,采用正向思維,可能無法求解出問題的關鍵,此時就需要利用反向思維,通過采用排除法,降低問題求解難度。比如例題5:某班級學生總數(shù)為56人,現(xiàn)從班級中隨機抽取6人,要求數(shù)學、語文和物理課代表中至少有一人被抽取,問有多少種抽取方法。這道題目采取正常求解方法也較為麻煩,但是求解三科課代表都不在內(nèi)的抽取方法較為簡單,即C536種,同時也可以確定完全隨機的抽取方法為C566種,從中減去三科課代表都不在內(nèi)的情況,即可求出題目答案。

    (四)對等法的運用

    還有一些排列組合問題,題目中的肯定條件與否定條件相同,此時只需要求出所有的排列組合情況,然后除以2,即可得到最終結果。比如例6:高二年級的期末考試科目有8門,現(xiàn)要求將物理考試安排在化學考試之前,試問有多少種安排方法。在求解這道題目時,如果按照常規(guī)方法求解,非常麻煩。而通過仔細分析題意可知,題目中唯一的限制條件是物理考試要安排在化學考試之前,而物理考試和化學考試的先后順序只有兩種,題目要求的情況則占1/2。所以,只需要求解出所有排列方法,即A88種,然后再除以2,即可得到最終答案,求解過程非常簡單。

    這里還要討論另一種題型與對等法的關系,這種題型是給出n個數(shù),要求組成m位數(shù)的奇數(shù)或偶數(shù)個數(shù),由于奇與偶,在我們的腦海里有對立對等的感覺,因此很容易聯(lián)想到利用對等法,但在實際運用中我們不難發(fā)現(xiàn),并不是所有的這類題均可用對等法。這是為什么呢?原因在于數(shù)的性質(zhì)不同。這類題型大致分成三類,第一類是給出的數(shù)中奇偶個數(shù)相同,這類題由于選出奇數(shù)與偶數(shù)方式完全相同,可以采用對等法,但偶數(shù)中不能有0,0不能排在首位;第二類是雖然奇偶個數(shù)相同,但出現(xiàn)了0,這類題由于0的特殊性,必須進行分類討論,但可以先采用對等式,再利用間接法,減去0排在首位的情況;第三類是奇偶個數(shù)不相同,也無法采用對等法,就只能利用分類討論進行計算,搞清楚分類,做題才能更準確,用時更少。

    三、結束語

    綜上所述,高中數(shù)學排列組合問題非常有特點,在解題過程中講究解題技巧的運用,通過對題目進行正確分析,采用合適的解題方法,可以有效降低解題難度,節(jié)省考試時間,同時也可以提升計算結果的準確率,一舉多得。因此,必須注重對排列組合問題解題技巧的總結和運用。

    參考文獻

    [1]高九明.淺談高中數(shù)學排列組合解題方法[J].課程教育研究,2017(40):137.

    [2]謝瀅欣.高中數(shù)學中排列組合問題的實際應用[J].數(shù)學學習與研究,2017(19):134.

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