基于翻轉(zhuǎn)課堂的離散數(shù)學(xué)課程混合教學(xué)模式研究

祁偉　董亞則　鄭山紅

摘要：本文主要針對(duì)離散數(shù)學(xué)課程在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)熱情，不能體現(xiàn)該門(mén)課程對(duì)于其他專(zhuān)業(yè)課程支撐作用的弊端，提出在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源的支持下，在離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過(guò)程中，采用翻轉(zhuǎn)課堂及傳統(tǒng)課堂相結(jié)合的混合教學(xué)模式，設(shè)計(jì)了該教學(xué)模式的框架結(jié)構(gòu)，通過(guò)教學(xué)案例詮釋了該模式的實(shí)施過(guò)程，并根據(jù)教學(xué)實(shí)踐效果分析了其優(yōu)點(diǎn)及局限性。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；翻轉(zhuǎn)課堂；混合教學(xué)模式

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2019.01.015

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-1580（2019）01-0068-04

離散數(shù)學(xué)課程是計(jì)算機(jī)學(xué)科的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程，對(duì)后續(xù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)、軟件工程等專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)具有重要作用。它具有內(nèi)容多而雜的特點(diǎn)，在有限的學(xué)時(shí)下，按照傳統(tǒng)的授課方式，教師只能講述基本的概念、定理及一些習(xí)題，很難再有時(shí)間去介紹該門(mén)課程的應(yīng)用及與其他專(zhuān)業(yè)課程之間的關(guān)系。另外該門(mén)課程概念、定理較多，采用傳統(tǒng)的教學(xué)授課方法，學(xué)生感覺(jué)枯燥無(wú)味，對(duì)課程的學(xué)習(xí)缺乏熱情，課堂上參與度很低，導(dǎo)致在最后的期末考試中成績(jī)不理想。

翻轉(zhuǎn)課堂是近些年出現(xiàn)的一種新型授課方式，由國(guó)外大學(xué)率先提出，建議在課堂上構(gòu)建有意義的事情來(lái)代替信息傳遞，使課堂上教師向?qū)W生簡(jiǎn)單的信息傳遞轉(zhuǎn)換成信息的同化，課堂的學(xué)習(xí)過(guò)程是教師對(duì)學(xué)生的輔導(dǎo)而不是教師的演講?！胺D(zhuǎn)課堂”是學(xué)生首先在課前通過(guò)網(wǎng)絡(luò)上的資料進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，課上則側(cè)重于交流及做應(yīng)用訓(xùn)練的一種教學(xué)模式，這樣做的優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生對(duì)已經(jīng)掌握的內(nèi)容可以快速看，有些難的則可以反復(fù)播放，可汗學(xué)院就是基于此模式建立的，這種方式提供了友好、合作的學(xué)習(xí)空間，通過(guò)非傳遞性教學(xué)策略打造了個(gè)性化學(xué)習(xí)模式。

教學(xué)技術(shù)及網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展使得翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)理念有了很好的實(shí)踐土壤。因此，本文在將翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式應(yīng)用于離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基礎(chǔ)上，提出了基于翻轉(zhuǎn)課堂的混合教學(xué)模式。在該模式下，有些章節(jié)采用傳統(tǒng)課堂授課方式，有些章節(jié)教師則會(huì)在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)或者在每一次課程結(jié)束前，布置學(xué)習(xí)任務(wù)，要求學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)下一節(jié)課中所涉及的基本概念、定理等，學(xué)習(xí)主要是通過(guò)網(wǎng)上教師提前錄制的視頻及PPT等，課堂上則側(cè)重于答疑解惑及介紹課程的應(yīng)用與在計(jì)算機(jī)課程體系中與其他專(zhuān)業(yè)課程之間的關(guān)系。教師在課堂上通過(guò)提問(wèn)掌握學(xué)生自學(xué)情況，針對(duì)共同問(wèn)題重點(diǎn)講解。采用混合教學(xué)模式，能夠提高學(xué)生自學(xué)能力，并使離散數(shù)學(xué)課程真正起到專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課應(yīng)有的作用。

一、混合教學(xué)模式下教學(xué)內(nèi)容的劃分

有些章節(jié)，例如數(shù)理邏輯部分，概念、定義本身理解有些難度，采用傳統(tǒng)教學(xué)方式講授，教師在課堂上按照常規(guī)方式從基本定義、案例、習(xí)題進(jìn)行講解，學(xué)生課后進(jìn)行復(fù)習(xí)，完成作業(yè)。有些章節(jié)，例如集合及關(guān)系，定義、概念易于理解，學(xué)生之前對(duì)部分內(nèi)容已有了解，則通過(guò)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，將PPT及與這部分內(nèi)容相關(guān)的一些網(wǎng)絡(luò)資源發(fā)給學(xué)生，學(xué)生自學(xué)后，教師在課堂上有針對(duì)性地進(jìn)行提問(wèn)，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)基本知識(shí)概念的掌握情況，并對(duì)共性問(wèn)題進(jìn)行講解，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考并進(jìn)行討論該部分內(nèi)容的應(yīng)用及與其他專(zhuān)業(yè)課程之間的聯(lián)系，從而彌補(bǔ)了課程由于課時(shí)限制而忽略離散數(shù)學(xué)課程作為專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程對(duì)其他課程的支撐作用的不足。

離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容主要分為集合及關(guān)系、數(shù)理邏輯、代數(shù)系統(tǒng)、圖論、常用圖及圖的應(yīng)用幾個(gè)部分，根據(jù)各部分的特點(diǎn)選用傳統(tǒng)授課方式或者翻轉(zhuǎn)課堂模式，具體實(shí)現(xiàn)情況如表1。

二、“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式的流程

（一）“翻轉(zhuǎn)課堂”實(shí)施過(guò)程

“翻轉(zhuǎn)課堂”主要分為課內(nèi)及課外兩個(gè)部分，它實(shí)際是將傳統(tǒng)課堂外的課后作業(yè)及實(shí)踐應(yīng)用放到課堂內(nèi)，進(jìn)行在教師引導(dǎo)下的提問(wèn)、討論及答疑解惑；而將傳統(tǒng)課堂上的教師為主導(dǎo)、以教師為中心的授課，轉(zhuǎn)換為課堂外的以學(xué)生為主體的在線學(xué)習(xí)?！胺D(zhuǎn)課堂”教學(xué)流程如圖l所示。

課外學(xué)生在線學(xué)習(xí)的方式主要有課程PPT、視頻及微課，教師將傳統(tǒng)課堂上的教學(xué)內(nèi)容提前發(fā)給學(xué)生，使學(xué)生的學(xué)習(xí)不偏離教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)大綱。短視頻有兩種途徑獲得：①是教師提前錄制，例如與某個(gè)熱點(diǎn)及專(zhuān)題相關(guān)，或者與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的背景知識(shí)，并且為每一個(gè)視頻配備一個(gè)教學(xué)指導(dǎo)，逐漸開(kāi)發(fā)一些學(xué)習(xí)軟件，囊括教學(xué)資源、小測(cè)試，以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)視頻材料的理解程度；②從Ted、Youtube、Khan Academy等網(wǎng)站下載獲得，視頻應(yīng)該具有暫停、回放等功能，使得學(xué)生可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)習(xí)慣及進(jìn)度開(kāi)展個(gè)性化的學(xué)習(xí)。對(duì)于有些難點(diǎn)，例如重要的定理推導(dǎo)、習(xí)題的講解可以制成微課形式，學(xué)生根據(jù)自己掌握的情況選擇性學(xué)習(xí)。微課圍繞特定主題，學(xué)生只有在完全掌握一個(gè)專(zhuān)題后，才可以開(kāi)始下一專(zhuān)題內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生通過(guò)展示學(xué)習(xí)成果來(lái)顯示他們的學(xué)習(xí)軌跡，以此作為評(píng)價(jià)考核的一個(gè)方面。一般來(lái)說(shuō)，視頻或者微課的學(xué)習(xí)時(shí)間以8～10分鐘為宜。視頻內(nèi)容需要覆蓋理論、方法及對(duì)翻轉(zhuǎn)主題的注解，考核更側(cè)重于在課堂上的表現(xiàn)。

“翻轉(zhuǎn)課堂”下的課內(nèi)主要是通過(guò)教師提問(wèn)、答疑解惑及學(xué)生討論實(shí)現(xiàn)。教師主要是根據(jù)教學(xué)目標(biāo)及學(xué)生課后學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行提問(wèn)，以加強(qiáng)學(xué)生提前預(yù)習(xí)，檢驗(yàn)考核學(xué)生學(xué)習(xí)情況，或者設(shè)計(jì)問(wèn)題以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行拓展性思考及討論。課堂上的答疑解惑不同于傳統(tǒng)課堂上學(xué)生缺少思考而直接尋求幫助、教師簡(jiǎn)單回答問(wèn)題，而是在學(xué)生運(yùn)用在線技術(shù)，經(jīng)過(guò)更有深度的探索主題、經(jīng)過(guò)討論后，教師基于共有問(wèn)題進(jìn)行講解，從而為學(xué)生創(chuàng)造出更有意義的學(xué)習(xí)機(jī)遇，并且使信息傳遞方式多樣化。學(xué)生在課堂上的討論，主要是經(jīng)過(guò)分析、思考后的關(guān)于某個(gè)主題的分組研討，及通過(guò)實(shí)踐激發(fā)實(shí)現(xiàn)其對(duì)具體問(wèn)題的應(yīng)用。討論基于合作的互動(dòng)方法，可以分享各自不同看法。在課堂上解決翻轉(zhuǎn)課堂中的一些專(zhuān)題，使學(xué)生在課外的學(xué)習(xí)內(nèi)容得以消化吸收。

（二）“翻轉(zhuǎn)課堂”在“關(guān)系”一章中的實(shí)踐應(yīng)用

“關(guān)系”一章中的知識(shí)結(jié)點(diǎn)如圖2所示。

課外活動(dòng)。①由于前面章節(jié)中學(xué)生對(duì)于集合已經(jīng)有了充分認(rèn)識(shí)，關(guān)系是基于集合定義的，學(xué)生能夠通過(guò)PPT自學(xué)掌握，教師錄制微課及視頻（也有部分從網(wǎng)上下載），介紹關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)相關(guān)知識(shí)，并且在視頻最后提出問(wèn)題：如何理解笛卡爾積、關(guān)系模型及數(shù)據(jù)庫(kù)表之間的關(guān)系？如何理解關(guān)系運(yùn)算及關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)操作之間的關(guān)系？②由于關(guān)系的性質(zhì)、特殊關(guān)系比較重要，有些部分比較難理解，教師會(huì)將傳統(tǒng)課堂上的教學(xué)內(nèi)容錄制成短視頻供學(xué)生觀看，每個(gè)性質(zhì)錄制一段，對(duì)于等價(jià)關(guān)系、相容關(guān)系及偏序關(guān)系這些特殊關(guān)系，則主要通過(guò)一些實(shí)例，引發(fā)學(xué)生思考生活中還有哪些關(guān)系是等價(jià)關(guān)系及相容關(guān)系，偏序關(guān)系則通過(guò)其在拓?fù)渑判蛑械膽?yīng)用視頻使學(xué)生理解其對(duì)后續(xù)課程中的作用。

課內(nèi)活動(dòng)。①教師針對(duì)課外視頻中基本概念提問(wèn)，可以通過(guò)一些習(xí)題檢驗(yàn)學(xué)生掌握情況，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)視頻中的提問(wèn)進(jìn)行討論，并且最終給予講解，使學(xué)生通過(guò)深層次思考，理解離散數(shù)學(xué)課程對(duì)其他專(zhuān)業(yè)課程的支撐作用。例如通過(guò)啟發(fā)講解，關(guān)系中的并、交、減法運(yùn)算實(shí)際是關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)中的增加、查找及刪除運(yùn)算。②學(xué)生基于教師的提問(wèn)進(jìn)行討論，也可以針對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題提出質(zhì)疑進(jìn)行討論，使學(xué)生在討論過(guò)程中加深對(duì)知識(shí)的理解。例如有的學(xué)生對(duì)等價(jià)類(lèi)與劃分之間的關(guān)系表示不理解，教師可以鼓勵(lì)其他同學(xué)為其講解、討論，最終通過(guò)圖示化方式講解劃分塊及等價(jià)類(lèi)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（三）“翻轉(zhuǎn)課堂”在“圖論”一章中的實(shí)踐應(yīng)用

課外活動(dòng)。①首先由教師發(fā)布關(guān)于哥尼斯堡問(wèn)題的視頻，在視頻中通過(guò)示意圖介紹問(wèn)題的背景，并且設(shè)計(jì)問(wèn)題：18世紀(jì)，東普魯士的哥尼斯堡城有一條河穿過(guò)，河上有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島與河岸聯(lián)系起來(lái)，城里的居民一直做一個(gè)游戲，并提出問(wèn)題，一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地走完七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn)，而居民一直沒(méi)有找到問(wèn)題的答案。后來(lái)大數(shù)學(xué)家歐拉把它抽象為一個(gè)幾何問(wèn)題并向圣彼得堡科學(xué)院提交了《哥尼斯堡七座橋》的論文，在解答問(wèn)題的同時(shí)，開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支——圖論。歐拉的解決方案是抽象：把每一塊陸地考慮成一個(gè)點(diǎn)，連接兩塊陸地的橋以線表示，從而將該問(wèn)題轉(zhuǎn)換為圖的模型（此時(shí)將抽象后的示意圖展示出來(lái)），問(wèn)題求解轉(zhuǎn)換為：從圖中某一點(diǎn)出發(fā)，在不抬筆的情況下，不重復(fù)地畫(huà)過(guò)每一條線，最終回到起點(diǎn)。歐拉解決一筆畫(huà)問(wèn)題的最終結(jié)論是：圖是連通的、且奇點(diǎn)的數(shù)目不是0個(gè)就是2個(gè)。介紹到此，使學(xué)生對(duì)于使用抽象方法解決問(wèn)題有了感性認(rèn)識(shí)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用算法去解決圖問(wèn)題。②在短視頻中介紹圖的基本概念、圖的表示方式：G=（V，E），V表示所有頂點(diǎn)集合，E表示所有邊的集合；圖在計(jì)算機(jī)中的存儲(chǔ)：頂點(diǎn)集合可以用一維數(shù)組，邊的存儲(chǔ)可以用鄰接矩陣等形式。提出問(wèn)題：哥尼斯堡七橋問(wèn)題中的抽象模型信息如何在計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)？并介紹圖的連通、奇點(diǎn)及度等概念。

課內(nèi)活動(dòng)。首先要求學(xué)生回答在視頻中的提問(wèn)，從而檢驗(yàn)考核學(xué)生對(duì)圖的基本概念的掌握情況，并通過(guò)討論，最終得到七橋問(wèn)題的正確的鄰接存儲(chǔ)矩陣形式。教師介紹Washall算法，引導(dǎo)學(xué)生將該鄰接矩陣轉(zhuǎn)換為可達(dá)矩陣，通過(guò)可達(dá)矩陣可以判斷各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間是否有路徑，如果可達(dá)矩陣中的所有元素均為1，該矩陣所對(duì)應(yīng)的圖是連通的。教師以此思路引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題：數(shù)據(jù)存儲(chǔ)+算法=程序，提示學(xué)生寫(xiě)出問(wèn)題算法，并且留作業(yè)要求學(xué)生用某種計(jì)算機(jī)語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)基于該種存儲(chǔ)形式的程序，并且上機(jī)實(shí)踐，從而獲得該問(wèn)題的解。

三、實(shí)踐效果

在離散數(shù)學(xué)課程中采用基于“翻轉(zhuǎn)課堂”的混合教學(xué)模式，在實(shí)施“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)的章節(jié)中，教師提供教學(xué)素材、工具及支持，學(xué)生在通過(guò)視頻及微課學(xué)習(xí)的過(guò)程中，可以設(shè)立目標(biāo)，自己安排時(shí)間，按照自己的節(jié)奏去聽(tīng)課，已經(jīng)掌握的可以快速進(jìn)行，沒(méi)有掌握的可以重復(fù)去聽(tīng)，而傳統(tǒng)課堂教學(xué)中，所有學(xué)生步調(diào)都一致，不可能對(duì)應(yīng)不同學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性的講解，也不利于學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)。混合教學(xué)模式提高了學(xué)生的參與度，促進(jìn)了教學(xué)的有效性，這種提高主要是通過(guò)學(xué)生課堂表現(xiàn)及測(cè)試中的成績(jī)綜合評(píng)價(jià)得出的。通過(guò)2016級(jí)、2017級(jí)兩個(gè)年級(jí)學(xué)生作為樣本的調(diào)查結(jié)果顯示，“翻轉(zhuǎn)課堂”使學(xué)生課堂表現(xiàn)更佳，取得更好的成績(jī)，對(duì)其他專(zhuān)業(yè)課程有很好的促進(jìn)作用。

這種混合教學(xué)模式從教師角度來(lái)看，減輕了每次課前備課及批改試卷兩項(xiàng)工作，將這些活動(dòng)轉(zhuǎn)移到課內(nèi)，增加了學(xué)生的課內(nèi)時(shí)間，使得課堂上每個(gè)人都有事情可做；從學(xué)生角度來(lái)看，每個(gè)學(xué)生可以自由選擇學(xué)習(xí)時(shí)間去聽(tīng)課，與傳統(tǒng)課堂相比，學(xué)生聽(tīng)課滿意度從34.6%上升到89.5%，使得學(xué)生對(duì)基于解決問(wèn)題和基于實(shí)踐的學(xué)習(xí)形式更有興趣。

在這種混合教學(xué)模式實(shí)踐之初，學(xué)生對(duì)于這種“翻轉(zhuǎn)課堂”的聽(tīng)課形式有所恐懼，主要體現(xiàn)在：害怕自己“教”自己，擔(dān)心缺乏教師正確引導(dǎo)及缺少合理的課程設(shè)計(jì)而導(dǎo)致個(gè)人在課堂上不能有很好表現(xiàn)，影響成績(jī)而產(chǎn)生較大壓力。通過(guò)兩年的實(shí)踐，大多數(shù)學(xué)生打消了這種顧慮，并且有92.5%接受了這種教學(xué)形式。在翻轉(zhuǎn)課堂提供的教學(xué)形式中（包括視頻、PPT、學(xué)生討論、在線交流、微課），有59.26%的學(xué)生對(duì)于視頻、微課有較高的評(píng)價(jià)。

綜合以上實(shí)踐效果得出結(jié)論，在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用混合教學(xué)模式是一種可行、有效的方法，能夠培養(yǎng)學(xué)生在混合式學(xué)習(xí)環(huán)境中的認(rèn)知學(xué)習(xí)過(guò)程及學(xué)習(xí)成果的整體動(dòng)機(jī)、能力、自主l生及關(guān)聯(lián)性。

四、結(jié)語(yǔ)

在離散數(shù)學(xué)中應(yīng)用“翻轉(zhuǎn)課堂”混合教學(xué)模式，增強(qiáng)了學(xué)生的聽(tīng)、看、實(shí)踐及解決問(wèn)題等方面的訓(xùn)練，增加了學(xué)生及教師之間和學(xué)生與學(xué)生之間的溝通交流，網(wǎng)上平臺(tái)的運(yùn)用使得這種溝通更加方便。這是一種以學(xué)生為中心的教學(xué)模式，極大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極能動(dòng)性，使得原本枯燥的課題變得生動(dòng)有趣，使得學(xué)生在愉快的氛圍中學(xué)習(xí)和實(shí)踐。這種教學(xué)模式通過(guò)視頻及微課形式，鼓勵(lì)學(xué)生去理解提供給他們的信息背后的內(nèi)在的邏輯關(guān)系，避免了之前對(duì)教學(xué)內(nèi)容考前突擊、考后遺忘的現(xiàn)象?；旌辖虒W(xué)模式的考核評(píng)價(jià)更側(cè)重于學(xué)生在課堂上的個(gè)體工作及在其小組中的表現(xiàn)，促使學(xué)生必須把基礎(chǔ)信息學(xué)好，為他們之后專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

但這種教學(xué)模式也有一定局限性。學(xué)生方面：①由于家庭背景原因，上網(wǎng)觀看視頻、微課等的費(fèi)用會(huì)增加部分學(xué)生的負(fù)擔(dān)；②有些學(xué)生由于惰性，可能很快落后于其他同學(xué)，可能導(dǎo)致其失去信心；③學(xué)生課外聽(tīng)課，希望能獲得更多樣化的課后學(xué)習(xí)素材。教師方面同樣也面對(duì)著相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)：最初為準(zhǔn)備高質(zhì)量的視頻、微課需要付出更多的時(shí)間和精力以及費(fèi)用。

[責(zé)任編輯：韓璐]