粘性Cahn-Hilliard方程的指數(shù)吸引子

曹伯芳， 姜金平， 曹蘭蘭

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

Cahn-Hilliard方程用以描述物理、化學(xué)中的二體相變問題，關(guān)于Cahn-Hilliard方程已有大量的研究，文獻[1]證明了黏性Cahn-Hilliard方程弱解的唯一性，文獻[2]證明了粘性Cahn-Hilliard方程在H1中的弱解的存在性.文獻[3-6]討論了Cahn-Hilliard方程的相關(guān)吸引子的存在性.本文在文獻[3]的基礎(chǔ)上，進一步研究以下粘性Cahn-Hilliard方程的指數(shù)吸引子的存在性：

ut+Δ2u-δΔut=Δfu,x,t∈Ω×0,

u=Δu=0,x,t∈?Ω×0,

(1)

ux,τ=uτx,t>τ0

其中Ω?Rnn≤3是具有光滑邊界的有界區(qū)域，這里δ>0是粘性系數(shù)，fu是首項系數(shù)為正的奇次多項式：

(2)

并且存在正的常數(shù)C1,C2,l滿足：

fuu≥-C1

(3)

fu≤C21+up

(4)

f′u≥-l

(5)

1 預(yù)備知識

定義1[7]半群St在B中是Lipschtz連續(xù)的,如果存在不依賴于u,v的局部有界函數(shù)φt,使得

‖Stu-Stv‖Ω≤φt‖u-v‖Ω,?u,v∈B?V

(6)

成立

‖Stu-Stv‖≤δ‖u-v‖

(7)

或者有

‖QMStu-Stv‖≤‖PMStu-Stv‖

(8)

成立.

引理1[8]如果半群St:V→V存在吸收集B?V及緊的全局吸引子A,并且半群St在B中具有Lipschitz連續(xù)性和擠壓性，則半群在V中存在指數(shù)吸引子.

2 指數(shù)吸引子的存在性

由文獻[3]可知,問題(1)對應(yīng)的解半群S(t)在V中存在有界吸收集B和全局吸引子A,故由引理1,只需證明S(t)滿足Lipschitz連續(xù)性和擠壓性即可得指數(shù)吸引子的存在性.

引理2 設(shè)f滿足(2)～(5)式，ut和vt是問題(1)的兩個解，初值分別為u0和v0∈B,則

‖ut-vt‖≤e2d0t‖u0-v0‖

(9)

即解半群S(t)在B中具有Lipschitz連續(xù)性.

證明： 令wt=ut-vt，則由(1)可得

wt+Δ2w-δΔwt=Δfu-fv

(10)

w作用于上式兩端有

(11)

又因為

(12)

將(12)式代入(11)式，得

(13)

(14)

(15)

利用Gronwall引理，得

‖wt‖2≤e2d0t‖w0‖2

(16)

引理3 設(shè)f滿足條件(2)～(5)，ut和vt是問題(1)的兩個解，初值分別為u0和v0∈B,則解半群St在B中具有擠壓性.

證明： 記A=-Δ,設(shè)A在V中的特征值為λii=1,2,···，滿足0<λ1<λ2≤λ3≤···,λi→(i→).用wi表示特征值λi對應(yīng)的特征向量，則wi構(gòu)成V中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，同時也是H中的一組正交基，并且滿足Awi=λiwi,記

HM=spanw1,w2,···,wM

對任意的w∈V有如下的正交分解:

(17)

其中PM:V→VM是正交投影

將試驗函數(shù)q作用于(10)式，得

(18)

因為

l‖w‖‖

(19)

(20)

(21)

對(21)式使用Gronwall引理，有

‖q‖2+δ‖

若‖QMwt‖≤‖PMwt‖，則擠壓性自然成立，故只需驗證‖QMwt*‖≥‖PMwt*‖t*>0.

假設(shè)‖QMwt*‖≥‖PMwt*‖t*>0.利用(17)式，有

‖wt*‖2=‖PMwt*‖2+‖QMwt*‖2≤2‖QMwt*‖2

因此

即

擠壓性得證.

由引理2和引理3，可得如下結(jié)果.

定理設(shè)f滿足(2)～(5)，則解半群St在V中存在指數(shù)吸引子.