Carleman類模型光滑解的整體存在及漸近分析

陸小菲， 林春進(jìn)

(河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 211100)

1 引 言

本文中Carleman類模型為：

(1)

考慮Carleman類方程(1)的宏觀量為粒子的質(zhì)量和動(dòng)量，分別定義為：

利用宏觀變量ρε和jε，方程(1)改寫為如下關(guān)于宏觀質(zhì)量及動(dòng)量的方程組：

(2)

和初值條件

(3)

方程組(2)是一個(gè)帶部分耗散的對稱雙曲方程組，其光滑解的存在性研究可以追溯到20世紀(jì)70年代[5-8].文獻(xiàn)[9-11]討論了含有ε的方程組的松弛極限，利用解關(guān)于ε的一致先驗(yàn)估計(jì)，獲得解的漸近行為。本文借鑒文獻(xiàn)[9-11]中的部分技巧，但沒有使用Kawashima條件[12]，直接從方程組出發(fā)獲得解關(guān)于ε的一致先驗(yàn)估計(jì)，進(jìn)而得到光滑解的整體存在性，即：

其中c不依賴于ε.

在定理1的基礎(chǔ)上，我們對解進(jìn)行漸近分析.利用關(guān)于ε的一致先驗(yàn)估計(jì)，可以獲得解收斂于非線性擴(kuò)散方程的解，并且解以速度ε收斂，即本文的第二個(gè)結(jié)論：

定理2 假設(shè)定理1的條件滿足，記(ρε,jε)是定理1中初值問題(2)(3)的唯一光滑解，設(shè)r(t,x)∈C(+;Hk()是如下初值問題

(4)

的唯一光滑解.則對于任意的0

其中c(T)只依賴于T,不依賴于ε.

2 一致適定性

2.1 初步轉(zhuǎn)化

對方程(2)進(jìn)行變量替換t=ετ，令：

忽略

中的ε、～,方程組可以寫成如下形式：

(5)

和初值條件：

ρ(0,x),j(0,x)=ρ0(x),j0(x)=u0+v0,u0-v0

2.2 能量估計(jì)

令

由Sobolev嵌入定理，有下面不等式成立：

其中c為常數(shù).

為了獲得方程(5)光滑解的整體存在性，首先證明解的先驗(yàn)估計(jì).

證明注意到

利用ρ的一致有界性，ραj2的積分可以被j的L2([0,T]×)范數(shù)控制，于是有：

(6)

對(5)兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)，將第一個(gè)式子兩邊同乘ρx,第二個(gè)式子兩邊同乘jx,并在[0,T]×上積分，再將兩式相加：

則有：

(7)

然后對(5)的第二個(gè)式子兩邊同乘ερx,并在[0,T]×上積分，得：

(8)

利用Cauchy-Schwarz不等式和分部積分，兩個(gè)積分分別估計(jì)為：

將上面估計(jì)代入(8)，利用不等式(7)，可得ρx的L2([0,T]×)估計(jì)：

(9)

綜合(7)、(9)，得到關(guān)于ρx,jx的估計(jì)：

(10)

對(5)兩邊關(guān)于x求二階偏導(dǎo)數(shù)，將第一個(gè)式子兩邊同乘ρxx,第二個(gè)式子兩邊同乘jxx,并在[0,T]×上積分，再將兩式相加.過程與前面類似，得到：

(11)

對(5)的第二個(gè)式子兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)，并同乘ερxx,再在[0,T]×上積分：

類似前面的估計(jì),對右端三項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，得到關(guān)于ρxx的估計(jì)：

(12)

綜合(11)(12)，得到ρxx,jxx的估計(jì)：

(13)

綜合(6)、(10)、(13)，引理1證明完畢.

2.3 定理1最后的證明

證明利用引理1的結(jié)論，假設(shè)存在常數(shù)c0≥1，使得若ρ(τ,x),j(τ,x)∈C([0,T];Hk())是(5)的解，且滿足Nε(T)≤1，則ρ(τ,x),j(τ,x)滿足：

(14)

考慮初值條件ρ0,j0∈Hk()，使得假設(shè)方程(5)的整體光滑解不存在，且在有限時(shí)間T*>0處發(fā)生爆破，即對T0>0,有且對任意τ∈T0,T*,有

由于Nε(T0)<1/(2c0),則存在T1∈T0,T*,使得Nε(T1)<1/(2c0),利用(14)式，有Nε(T1)≤1/(4c0),由此產(chǎn)生矛盾.

這里參數(shù)c與ε無關(guān).

這是在新的時(shí)間尺度下的先驗(yàn)估計(jì)，利用變量替換就完成了定理1的證明.

3 漸近分析

令(ρ,j)為(5)的光滑解，對于給定的與ε無關(guān)的初值，改變時(shí)間變量，令：

新變量滿足下面方程：

?tρε+?xjε=0

(15)

(16)

3.1 極限方程

(17)

令(17)式左邊ε→0,得到在D′+×中，有?0,將其帶入到(15)式中，得到在D′+×中，有

(18)

令T>0,(15)式表明?tρε在L2+;Hk-1上有界，此外，在C+;Hk中有界，因此在L20,T;Hk-1中有界，于是在H10,T;Hk-1上一致有界.我們得到：存在子列εn→0和使得H10,T;Hk-1且在H10,T;Hk-1上有：?則我們有且有ρεn|t=0=ρ0.

由經(jīng)典結(jié)論表明，整個(gè)序列(ρε-r)在H10,T;Hk-1上弱收斂到0.且當(dāng)ε→0時(shí)，在D′+×中有ρε?r.

令0

由于ρε的子列在C0,T;Hk′I中的極限值也是在分布D′0,T×I中的極限值.非線性擴(kuò)散方程(4)在空間C0,T;HlI，l>3/2內(nèi)存在光滑的整體解，參考[14]中第十五章.于是，在C0,T;Hk′I中，有ρε子列的極限等于r.因此得到ρε在空間C0,T;Hk′I中的收斂性，即：在C0,T;Hk′I中，有ρε→r.

3.2 收斂速度

運(yùn)用流函數(shù)(Stream函數(shù))[15]，證明定理2中的收斂速度估計(jì).由前面的能量估計(jì)，我們知道ρε關(guān)于ε一致有界，jε在L2(+;Hk())上一致有界.

令r(t,x)為(4)的解，我們有如下方程：

(19)

將(16)式變?yōu)椋?/p>

(20)

定義流函數(shù)

zε(0,x)∶=0

記右端三個(gè)積分為A、B、C，利用Cauchy-Schwarz不等式，分別估計(jì)為：

于是：

p(x)-p(y)(x-y)≥mx-y2,m=infp′(ξ),ξ介于x,y之間

這里c只依賴于T,與ε無關(guān).于是有收斂速度估計(jì)：

4 結(jié) 語

本文討論了Carleman類方程在常狀態(tài)附近的光滑解的整體存在性，并收斂于非線性擴(kuò)散方程的解.在能量積分的框架下，統(tǒng)一了Kurtz、Lions、Toscani等人的工作，并將α的限制去除.除此之外，通過流函數(shù)以及解的一致先驗(yàn)估計(jì)獲得了Carleman類方程的解收斂于擴(kuò)散方程解的速度，這是Carleman類模型漸近問題中首個(gè)關(guān)于速度的結(jié)論.