基于能量法推導(dǎo)控制飽和多孔介質(zhì)變形的孔壓系數(shù)*

榮雪寧， 徐日慶， 王明洋, 3， 戎曉力

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州 310058；3. 陸軍工程大學(xué) 爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210007)

含有水分的土壤和巖石是典型的多孔介質(zhì)，其受力變形和連續(xù)固體有很大的區(qū)別.即便受到相同的外界壓力(總應(yīng)力)，多孔介質(zhì)的變形在排水條件不同時(shí)也有很大差異.因而一般認(rèn)為多孔介質(zhì)的變形并不由總應(yīng)力控制，而是由抽象的有效應(yīng)力決定的.Terzaghi最早基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)將有效應(yīng)力定義為總應(yīng)力與孔隙水壓力的差值[1]：

σ′=σ-u.

(1)

早期實(shí)驗(yàn)研究認(rèn)為，Terzaghi有效應(yīng)力在計(jì)算顆粒狀材料(如飽和土)的受力變形時(shí)是適用的.而對(duì)連續(xù)性較好的巖石和混凝土材料，Terzaghi有效應(yīng)力則很大的誤差[2].另一方面，有效應(yīng)力公式的理論基礎(chǔ)沒(méi)有得到很好的解決.Skempton認(rèn)為，Terzaghi有效應(yīng)力顯然是在一些假設(shè)上得出的近似公式，而不太可能是一個(gè)完備的理論公式[3].進(jìn)一步的研究認(rèn)為控制變形的有效應(yīng)力公式可擴(kuò)展為以下形式[2,4-5]：

σ′=σ-ηu，

(2)

式中，η為孔壓系數(shù).Terzaghi公式中孔壓系數(shù)η恒等于1，是廣義公式中的一個(gè)特例.然而對(duì)于廣義公式中的孔壓系數(shù)，各個(gè)研究給出的公式都不相同[2]，很可能各個(gè)公式是在不同的隱含假定下得出的.

為考察η=1是在何種基本假定下得出的，本文基于能量原理重新推導(dǎo)了控制多孔介質(zhì)變形的有效應(yīng)力公式.盡管有效應(yīng)力公式最初是在飽和顆粒介質(zhì)中提出，有效應(yīng)力公式的推導(dǎo)卻與固體骨架的形態(tài)無(wú)關(guān).這一推導(dǎo)對(duì)顆粒介質(zhì)和具有連通孔隙的固體骨架都是適用的.從應(yīng)用上來(lái)看，有效應(yīng)力公式也不僅用于飽和土；對(duì)于具有連通孔隙的飽和巖石、混凝土等多孔材料，實(shí)際控制變形的應(yīng)力與固體中的應(yīng)力明顯不同，這些情況下有效應(yīng)力公式也具有實(shí)用價(jià)值.此外還應(yīng)該指出，本文僅討論控制飽和多孔介質(zhì)變形的有效應(yīng)力，不考慮控制強(qiáng)度準(zhǔn)則(即破壞條件)的有效應(yīng)力.

1 基于能量原理推導(dǎo)有效應(yīng)力公式

控制變形的有效應(yīng)力可通過(guò)多孔介質(zhì)變形時(shí)的能量變化導(dǎo)出.圖1分析了飽和多孔介質(zhì)的單元體在總應(yīng)力σ和孔壓u作用下的變形情況.為便于分析體積變化，假定單元體的邊界不排水，液體從圖1中的細(xì)管中排出，管中的液體壓力即為孔隙水壓力u.注意圖1分為兩種受力情況：圖1(a)為各向同性壓縮；圖1(b)為單軸壓縮.故圖1(a)和圖1(b)分別討論了控制體應(yīng)變和線應(yīng)變的有效應(yīng)力.

當(dāng)飽和多孔介質(zhì)的單元體被少量壓縮時(shí)，由能量守恒可得：

dWT+dWL=dES+dEL.

(3)

式中：dWT為總應(yīng)力做功；dWL為液體壓力做功；dES為固體骨架變形的能量增量(包括固體中儲(chǔ)存的彈性能和摩擦耗散的熱能)；dEL為液體壓縮導(dǎo)致的能量變化.

如圖1(a)所示，受到各向同性壓縮的單元體，記6個(gè)表面的位移為ds(壓縮變形時(shí)ds為正).則總應(yīng)力對(duì)該單元體做功可表示為：

dWT-isotropic=6σAds，

(4)

式中：σ為總應(yīng)力；A為單元體每個(gè)表面的面積.

如圖1(b)所示，單軸受壓的單元體，僅有一個(gè)表面發(fā)生了位移，總應(yīng)力做功可表示為：

dWT-uniaxial=σAds.

(5)

如果用體積變化計(jì)算總應(yīng)力做功，則(4)式和(5)式可以統(tǒng)一寫(xiě)成

dWT=σdV.

(6)

式中，dV為固體骨架的體積變化(包括固相的體積和骨架中的孔隙體積).顯然對(duì)于各項(xiàng)同性壓縮的情況，dV=6Ads；對(duì)單軸壓縮則有dV=Ads.因而這兩種受力狀態(tài)下用體積變化表示的總應(yīng)力做功是相同的.

對(duì)圖1所示的兩種受力情況，液體壓力對(duì)這一飽和系統(tǒng)做功可表示為

dWL=-uadL，

(7)

式中：u為孔隙水壓力；a為排水管的截面積；dL為液體沿管路排出的長(zhǎng)度.排水時(shí)液體流動(dòng)方向與截面受到的液體壓力方向相反，故孔壓做功為負(fù)值.式(7)也可以用體積參數(shù)表示為：

dWL=-udVF.

(8)

式中，dVF為液體流出單元體的體積(dVF=adL).注意式與排水管的具體尺寸無(wú)關(guān).

由于有效應(yīng)力決定了固體骨架的變形，也決定了骨架變形時(shí)的能量變化.式(3)右側(cè)的第一項(xiàng)可以表示為：

dES=σ′dV.

(9)

液體壓縮時(shí)的能量變化可表示為：

dEL=udVL.

(10)

式中，dVL為液相的體積變化(以壓縮為正).如果液體是不可壓縮的，則有dEL=dVL=0.

將式(6)，(8)，(9)，(10)代入能量守恒方程，可將式(3)重新寫(xiě)成

σdV-udVF=σ′dV+udVL.

(11)

為明確控制變形的有效應(yīng)力方程究竟與何種條件有關(guān)，進(jìn)一步討論分成以下三種情況：(a) 兩相介質(zhì)中的液相和固相都是不可壓縮的；(b) 液相可以壓縮，而固相不可壓縮；(c) 固相和液相都可以壓縮.顯然真實(shí)材料的固相和液相都是可以壓縮的，即屬于情況(c).由于對(duì)于飽和土或巖石來(lái)說(shuō)，其中固相和液相的壓縮性都很低，某些情況下采用假設(shè)(a)或假設(shè)(b)也是可以接受的.將實(shí)際情況分為這三種假設(shè)有助于澄清有效應(yīng)力公式的物理基礎(chǔ).對(duì)于這三種情況，通過(guò)式(3)或式(11)表示的能量守恒方程都能推導(dǎo)出具體的有效應(yīng)力方程.

1.1 液相和固相均不可壓縮時(shí)的有效應(yīng)力公式推導(dǎo)

如果多孔介質(zhì)中的固相和液相都不可壓縮，則受壓時(shí)固體骨架的體積變化嚴(yán)格等于從骨架中流出的液體體積，即有

dV=dVF.

(12)

將式(12)代入式(11)有

σdV-udV=σ′dV+udVL.

(13)

由于液相不可壓縮(dVL=0)，式(13)中的dV自動(dòng)消去，得到：

σ′=σ-u.

(14)

式(14)即為T(mén)erzaghi有效應(yīng)力公式.注意該公式的推導(dǎo)與顆粒接觸面積無(wú)關(guān).該推導(dǎo)表明只要多孔介質(zhì)中的固體和液體都是不可壓縮的，無(wú)論固相顆粒的接觸面積是否可以忽略，Terzaghi有效應(yīng)力公式都精確地決定了多孔介質(zhì)的變形.

1.2 液相可以壓縮、固相不可壓縮時(shí)的有效應(yīng)力公式推導(dǎo)

對(duì)于飽和土，液相(水)的壓縮系數(shù)一般比固相(土顆粒)大25倍左右，因而在公式推導(dǎo)中考慮液相的壓縮性是更加準(zhǔn)確的做法.當(dāng)液相可以壓縮時(shí)，單元體中流出的液體體積可以表示為：

dVF=dV-dVL.

(15)

將式(15)代入式(11)，可得：

σdV-udV+udVL=σ′dV+udVL.

(16)

顯然式(16)中與液體壓縮體積有關(guān)的兩項(xiàng)udVL相互抵消，又一次得出了Terzaghi有效應(yīng)力公式.因此，水的壓縮性在有效應(yīng)力公式的推導(dǎo)中也是無(wú)關(guān)緊要的.即便多孔介質(zhì)中的液相明顯可壓縮(比如水中含有氣泡)，只要固體的壓縮性可以忽略，Terzaghi有效應(yīng)力公式就準(zhǔn)確決定了固體骨架的變形.孔壓系數(shù)嚴(yán)格等于1表明總應(yīng)力和孔壓同步增大時(shí)，多孔介質(zhì)中的液體被壓縮，同時(shí)有一部分外界液體被壓入了固體骨架，固體骨架本身則沒(méi)有變形.

1.3 液相和固相均可壓縮的有效應(yīng)力公式推導(dǎo)

當(dāng)多孔介質(zhì)的液相和固相都可以壓縮時(shí)，從單元體流出的液體體積可表示為：

dVF=dV-dVL-dVS，

(17)

式中，dVS為單元中固體介質(zhì)的體積壓縮量(以體積減小為正).將式(17)代入能量守恒公式(11)可得

σdV-udV+udVL+udVS=σ′dV+udVL.

(18)

式(18)中與液體的壓縮量有關(guān)的兩項(xiàng)udVL自動(dòng)消去，可得：

(19)

由式(19)可知此時(shí)有效應(yīng)力公式中的孔壓系數(shù)可表示為：

(20)

同時(shí)考慮固液兩相的壓縮性時(shí)，式(19)表明固相的體積變化(即dVS)需要在多孔介質(zhì)的有效應(yīng)力公式中考慮.液體的壓縮性仍然是無(wú)關(guān)緊要的.因此，Terzaghi有效應(yīng)力公式的關(guān)鍵假設(shè)是多孔介質(zhì)的變形完全由于孔隙的壓縮導(dǎo)致，固體顆?？梢园l(fā)生重分布和破碎，但是顆粒本身沒(méi)有體積變化.當(dāng)固體骨架變形主要由孔隙減少引起時(shí)(如對(duì)孔隙率大的松散土體)，孔壓系數(shù)約等于1，Terzaghi有效應(yīng)力準(zhǔn)確無(wú)誤.當(dāng)固體骨架的變形并不完全由孔隙的減少引起，固體本身也具有體積變化時(shí)(如帶有裂隙的巖石或混凝土、透水磚等材料)，顯然孔壓系數(shù)小于1，Terzaghi有效應(yīng)力需要修正.作為一個(gè)極端，對(duì)于連續(xù)的固體介質(zhì)，顯然dVS=dV，由式(20)可知孔壓系數(shù)自動(dòng)退化為零，式(19)中的有效應(yīng)力也自動(dòng)轉(zhuǎn)變成了連續(xù)介質(zhì)中的總應(yīng)力.液相是否具有壓縮性對(duì)有效應(yīng)力公式則沒(méi)有影響.固體顆粒間的接觸面積并沒(méi)有顯式的包含在式(19)中，但是顆粒接觸面積會(huì)影響固相壓縮系數(shù)CS和骨架壓縮系數(shù)C的比值.由后文分析可知，CS/C是決定孔壓系數(shù)的關(guān)鍵參數(shù)之一，因而接觸面積對(duì)控制變形的有效應(yīng)力公式依然有間接影響.

1.4 關(guān)于固液兩相均可壓縮的進(jìn)一步分析

由以上推導(dǎo)可知，對(duì)于單軸或各向同性壓縮的情況，有效應(yīng)力公式中的孔壓系數(shù)是由固相體積變化與骨架體積變化的比值決定的.由于骨架的體積變化取決于有效應(yīng)力本身，dV可由下式計(jì)算：

dV=VCdσ′ ，

(21)

式中：C為固體骨架的壓縮系數(shù)；V為多孔介質(zhì)單元的體積.將有效應(yīng)力的定義式(2)代入公式(21)有：

dV=VC(dσ-ηdu).

(22)

固相的體積變化(dVS)可由連續(xù)固體介質(zhì)中的應(yīng)力計(jì)算，有：

dVS=VSCSdσ0=(1-n)VCSdσ0，

(23)

式中，CS為作為連續(xù)介質(zhì)的固體材料壓縮系數(shù)；VS為多孔介質(zhì)中固相的體積；n為孔隙率；σ0為固體材料中的應(yīng)力.需注意σ0只作用在固體截面上，并不是虛擬作用在全截面上的有效應(yīng)力.

由兩相介質(zhì)的受力平衡方程可得[6]：

σ=(1-n)σ0+nu.

(24)

從式(24)中解出σ0，則式(23)可改寫(xiě)為：

dVS=VCS(dσ-ndu).

(25)

聯(lián)立式(25)，(20)和(22)可解出孔壓系數(shù)：

(26)

由式(26)可以看出，孔壓系數(shù)η不僅由材料參數(shù)CS、C和n決定，還與孔壓和總應(yīng)力增量的比值du/dσ有關(guān).即便是相同的多孔介質(zhì)，在不同的加載條件下也具有不同的孔壓系數(shù)，這是之前的研究沒(méi)有揭示過(guò)的.利用n、CS/C和 du/dσ這3組無(wú)量綱參數(shù)，式(26)可改寫(xiě)為以下的二次方程，進(jìn)而解出孔壓系數(shù)η：

(27)

對(duì)于3種常見(jiàn)加載模式，式(27)可退化成更加簡(jiǎn)單的方程：

(1) 多孔介質(zhì)經(jīng)歷緩慢的排水加載，總應(yīng)力緩慢增加，而孔壓保持不變.此時(shí)有du/dσ=0，式(27)退化為

(28)

式(28)即為Biot提出的孔壓系數(shù)[7].Biot孔壓系數(shù)被認(rèn)為是Terzaghi有效應(yīng)力的推廣[8].然而上面的推導(dǎo)表明，只有du/dσ接近于零時(shí)，Biot對(duì)Terzaghi有效應(yīng)力的修正才是合理的.

(2) 在多孔介質(zhì)的固結(jié)過(guò)程中，一般總應(yīng)力保持不變，而孔壓緩慢消散.此時(shí)du/dσ接近于無(wú)窮大，式(27)退化為：

(29)

注意CS/C等于零時(shí)η應(yīng)等于1(CS=0表明固相是完全不可壓縮的)，故系數(shù)η的解應(yīng)為二次方程(29)中的一支，即為：

(30)

(3) 在不排水加載中，du/dσ被稱為Skempton B值，對(duì)于飽和土體，Skempton B值一般約等于1[9].將du/dσ=1代入式(27)可以解出不排水加載條件下的孔壓系數(shù)η：

(31)

2 不同材料和加載條件下的孔壓系數(shù)

由上一節(jié)分析可見(jiàn)，即便對(duì)于相同的多孔材料，在不同加載模式下孔壓系數(shù)也是不同的.只需多孔介質(zhì)的孔隙率n，固體壓縮系數(shù)CS和骨架的壓縮系數(shù)C(準(zhǔn)確地說(shuō)是兩個(gè)無(wú)量綱參數(shù)n和CS/C)，就能計(jì)算出不同加載模式下的孔壓系數(shù).Lade等[2]通過(guò)單軸壓縮實(shí)驗(yàn)測(cè)定了石英砂和石膏砂這兩種材料的壓縮系數(shù)等參數(shù)，這兩種多孔材料的實(shí)測(cè)孔隙率n和CS/C如圖2所示.利用圖2給出的數(shù)據(jù)，由式(28)，(30)和(31)可計(jì)算得出不同加載模式下這兩種多孔介質(zhì)的孔壓系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如圖3所示.如圖3所示，Lade等計(jì)算給出的孔壓系數(shù)與du/dσ=0加載(即非常緩慢的排水加載)模式下的孔壓系數(shù)非常接近.然而在其他加載模式下，孔壓系數(shù)的取值有很大差異.在du/dσ→加載(即總應(yīng)力不變，孔壓逐漸消散)模式下，孔壓系數(shù)隨荷載的增大基本保持常數(shù)，Terzaghi公式基本在任何荷載水平下都成立.而在du/dσ=1加載(孔壓與總應(yīng)力同步上升)模式下，孔壓系數(shù)下降最快，此時(shí)無(wú)論是Terzaghi公式、Lade公式還是Biot公式給出的孔壓系數(shù)都有較大的誤差.不過(guò)對(duì)這兩種顆粒型的多孔介質(zhì)來(lái)說(shuō)，孔壓系數(shù)在不同加載模式下的差異在荷載水平很高時(shí)才比較明顯.在荷載水平較低時(shí)，只有du/dσ=1這一種加載模式下的孔壓系數(shù)明顯小于1(約為0.9)，其他兩種加載模式下Terzaghi公式的誤差是可以忽略的.

對(duì)于巖石和混凝土等連續(xù)性較好的多孔材料，文獻(xiàn)[3,10]中可查得常壓下的孔隙率、固體壓縮系數(shù)和骨架壓縮系數(shù)，如表1所示.根據(jù)表1的數(shù)據(jù)(孔隙率取表中范圍的平均值)可計(jì)算得到不同加載模式下的孔壓系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如圖4所示.與顆粒材料的計(jì)算結(jié)果類(lèi)似，在du/dσ→加載模式下，Terzaghi公式對(duì)巖石和混凝土材料基本成立，其他兩種加載模式下則表現(xiàn)出較大的誤差.在孔壓與總應(yīng)力同步增大(du/dσ=1)的情況下，孔壓系數(shù)的取值最小，即使常壓下Terzaghi孔壓系數(shù)的誤差也是比較明顯的，對(duì)飽和石英砂巖甚至小于0.4.

表1 一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下巖石和混凝土材料的壓縮系數(shù)和孔隙率[3,10]

3 結(jié)論

本文基于能量原理推導(dǎo)了控制飽和多孔介質(zhì)變形的有效應(yīng)力方程.主要得出以下結(jié)論：

(1) Terzaghi有效應(yīng)力公式控制多孔介質(zhì)變形的關(guān)鍵條件是固相材料是不可壓縮的.孔隙中的液體是否可以壓縮并不會(huì)影響Terzaghi有效應(yīng)力的適用性.

(2) 考慮固相材料的壓縮性后，孔壓系數(shù)不僅與材料參數(shù)有關(guān)，還和加載模式有關(guān).即便對(duì)于相同的多孔材料，不同加載模式下的孔壓系數(shù)也有所不同.

(3) 計(jì)算了兩種顆粒材料和四種巖石/混凝土材料在不同加載模式下的孔壓系數(shù).計(jì)算結(jié)果表明總應(yīng)力、孔壓同步增長(zhǎng)時(shí)的孔壓系數(shù)最?。豢倯?yīng)力不變，孔壓逐漸消散時(shí)的孔壓系數(shù)最大(約等于1)；孔壓不變，總應(yīng)力逐漸變大時(shí)的孔壓系數(shù)即為Biot孔壓系數(shù)，Biot孔壓系數(shù)的大小在其他兩種加載模式的孔壓系數(shù)之間.

(4) 荷載水平較低時(shí)，對(duì)于石英砂和石膏砂兩種顆粒材料，僅在不排水加載時(shí)孔壓系數(shù)為0.9左右，其他加載模式下孔壓系數(shù)都接近于1.而對(duì)于連續(xù)性更好的巖石、混凝土材料，僅在總應(yīng)力不變、孔壓逐漸變化模式下的孔壓系數(shù)接近于1，其他加載模式下的孔壓系數(shù)則顯著小于1.

致謝：感謝浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院胡亞元教授對(duì)此文的建議和幫助。