基于Skempton有效應力原理的巖石壓縮系數(shù)研究

毛小龍，劉月田，關文龍，劉思平，李 駿

(1.中國石油大學(北京) 石油工程教育部重點實驗室，北京 102249；2.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083)

引 言

不同于連續(xù)固體介質(zhì)材料，巖石因內(nèi)部孔隙的存在有3個體積：表觀體積Vb、基質(zhì)顆粒體積Vs和孔隙體積Vp。飽和流體巖石的應力應變同時受孔隙流體壓力p和外部總應力σ兩個作用力影響，基于巖土工程、油藏工程、地下水工程、地球物理等不同領域的基礎研究需求，巖石在等溫條件下至少有恒流壓下的表觀壓縮系數(shù)Cbσ、基質(zhì)壓縮系數(shù)Csσ、孔隙壓縮系數(shù)Cpσ和恒總應力下的表觀壓縮系數(shù)Cbp、基質(zhì)壓縮系數(shù)Csp、孔隙壓縮系數(shù)Cpp6個壓縮系數(shù)。然而傳統(tǒng)的壓縮系數(shù)研究多基于適用于土力學的Terzaghi[1-2]有效應力原理，在測試、計算、使用巖石各壓縮系數(shù)中常將各壓縮系數(shù)之間的關系混淆，在研究巖石各壓縮系數(shù)變化規(guī)律和相互關系中也常出現(xiàn)相互矛盾的認識，例如：李傳亮[3-6]、王歷強[7]等學者認為巖石孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度正相關，與基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)關系密切；張津?qū)嶽8]、高有瑞[9]、羅瑞蘭[10]等學者則認為巖石孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度負相關，與巖石表觀壓縮系數(shù)關系更為密切。因此，理清巖石的多個壓縮系數(shù)，得到巖石各壓縮系數(shù)之間的關系式和一組可定量計算巖石各壓縮系數(shù)的計算式是十分必要的。本文基于廣泛適用于巖石、混泥土、土體的Skempton[11]有效應力原理，對巖石在恒流壓、恒總應力、封閉條件下的表觀壓縮系數(shù)、孔隙壓縮系數(shù)和基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)進行了系統(tǒng)研究，推導了巖石各壓縮系數(shù)在3種不同應力條件下的關系式，得到一組巖石各壓縮系數(shù)的定量計算式，并進行了實例論證。

1 兩個有效應力原理下的巖石壓縮系數(shù)分析

基于巖土工程、油藏工程、地下水工程、地球物理等不同領域的基礎研究需求，巖石恒流壓下的表觀壓縮系數(shù)Cbσ、基質(zhì)壓縮系數(shù)Csσ、孔隙壓縮系數(shù)Cpσ和恒總應力下的表觀壓縮系數(shù)Cbp、基質(zhì)壓縮系數(shù)Csp、孔隙壓縮系數(shù)Cpp定義為

(1)

式中：Vi中i取b、s、p，即為Vb表觀體積、Vs基質(zhì)顆粒體積和Vp孔隙體積，m3；σj中j取1、2，即σj分別為總應力σ、流壓p,MPa；Cij為壓縮系數(shù)，MPa-1，為保證數(shù)值為正，(-1)j在總應力σ取1，在流壓p下取2。

各學科還定義了一些其他壓縮系數(shù)：油藏工程中，定義了單位巖石體積中孔隙體積隨流體壓力的變化率Cf和綜合壓縮系數(shù)Ct(油藏流體壓力每降低1 MPa，由于油藏的巖石孔隙體積縮小、儲存的流體因膨脹而從單位體積巖石孔隙中排出的流體總體積)

(2)

Ct=Cf+φCl。

(3)

式中：Cl為孔隙飽和流體壓縮系數(shù)，MPa-1；φ為孔隙度，%。

地球物理探測中，定義了在干燥孔隙開放或恒孔隙流壓下巖石表觀壓縮系數(shù)Cdry和在封閉不排水條件下巖石表觀壓縮系數(shù)Csat。巖土工程中，定義了巖土2個最常用的壓縮系數(shù)：基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)Cs和恒流壓表觀壓縮系數(shù)C。這些壓縮系數(shù)都是巖石在不同領域研究的基礎物性參數(shù)，具有舉足輕重的意義。而傳統(tǒng)的巖石壓縮系數(shù)研究多基于Terzaghi有效應力原理，例如秦積舜、李愛芬主編的教材《油層物理學》[12]定義巖石的幾個壓縮系數(shù)時采用了Terzaghi有效應力，Terzaghi有效應力原理表達式為

σeff=σ-p。

(4)

基于Terzaghi有效應力原理，巖石的各壓縮系數(shù)關系有

(5)

(6)

Csσ=Csp=Cs=0。

(7)

假設基質(zhì)顆粒不可壓縮，孔隙體積變化等于巖石表觀體積變化，則

(8)

(9)

Ct=Cf+φCl=φ(Cpp+Cl)。

(10)

然而，與松散土體不同，儲層巖石是固結(jié)的，巖石的應力應變不僅有顆粒間滑動變形還有顆粒的體積變形。適用于巖石、混泥土、土體體積應變的Skempton有效應力原理同時考慮了顆粒體積變形和顆粒間滑動變形。Skempton有效應力下的巖石表觀體積應力應變計算式為

(11)

(12)

這與Biot[13]、Gassmann[14]、Geertsma[15]、Bishop[16]等學者基于不同角度研究得到的認識一致，充分論證了其對于巖石應力應變的適用性。基于Skempton原理分析巖石的各壓縮系數(shù)有：

1)恒流壓Δp=0，巖石的應變變化量

Δεb=-CΔσ，

(13)

對應的壓縮系數(shù)

(14)

2)恒總應力Δσ=0，巖石的應變變化量

Δεb=(C-Cs)Δp，

(15)

(16)

式(16)表明，恒總應力下的巖石表觀壓縮系數(shù)為恒流壓下的巖石表觀壓縮系數(shù)與基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)之差。

3)巖石在封閉不排水條件下，總應力變化Δσ，根據(jù)Bishop[16]對應孔隙流壓變化

(17)

代入Skempton方程得到應變變化量

(18)

對應的壓縮系數(shù)

(19)

在地球物探學中，表達巖石的干燥骨架、固體基質(zhì)和孔隙流體的體積模量Gassmann方程[14]為

(20)

壓縮系數(shù)為體積彈性模量的倒數(shù)，用壓縮系數(shù)形式代入方程(20)整理得

(21)

結(jié)合不同學科壓縮系數(shù)的定義，恒流壓下的巖石表觀壓縮系數(shù)含義一致，

Cdry=Cbσ=C。

(22)

結(jié)合式(22)，對比式(19)和式(21)，Skempton方程推導的封閉條件下的巖石表觀壓縮系數(shù)關系式(19)與Gassmann方程壓縮系數(shù)表達式(21)一致。基于Skempton有效應力原理很好地理清巖石3種不同應力下的表觀壓縮系數(shù)的關系，而油藏工程、地下水工程中在不同應力變化條件下的巖石孔隙體積應變及孔隙壓縮系數(shù)則需要進一步推導得到。

2 不同應力條件下的孔隙壓縮系數(shù)關系式

采用Skempton有效應力方程計算巖石在不同應力條件下的表觀體積變化ΔVb，減去對應應力條件的顆粒體積變化ΔVs，得到此時孔隙體積變化ΔVp，從而得到不同應力條件下的孔隙壓縮系數(shù)。

2.1 恒流壓孔隙壓縮系數(shù)關系式

在恒流壓變總應力條件下，根據(jù)Skempton有效應力，巖石表觀體積變化

ΔVb=-CVbΔσ。

(23)

以穿過基質(zhì)顆粒的受力面進行受力分析可知，基質(zhì)顆粒平均作用力滿足

σA=σs(1-φ)A+pφA，

(24)

(25)

恒流壓變總應力條件下，作用在巖石基質(zhì)顆粒的平均作用力變化

(26)

巖石基質(zhì)顆粒體積變化

(27)

需要說明的是，巖石基質(zhì)顆粒真實平均作用力σs變化下的壓縮系數(shù)仍然為礦物顆粒壓縮系數(shù)Cs，而以總應力為變量的巖石顆粒視壓縮系數(shù)Csσ則為

(28)

巖石孔隙體積變化

ΔVp=ΔVb-ΔVs=-(C-Cs)VbΔσ=

(29)

恒流壓變總應力下的巖石孔隙壓縮系數(shù)

(30)

這一關系式與部分學者在油藏工程得到的常見巖石孔隙壓縮系數(shù)關系式相同，然而本式只適用于恒流壓變總應力條件，油藏工程、地下水開采通常是在恒總應力變流壓條件下進行，本式并不適用，需要進一步推導。

2.2 恒總應力孔隙壓縮系數(shù)新關系式

恒總應力Δσ=0，根據(jù)Skempton有效應力，巖石表觀體積變化

ΔVb=(C-Cs)VbΔp；

(31)

恒總應力Δσ=0，基質(zhì)顆粒體積應變的基質(zhì)顆粒應力變化

(32)

對應的顆粒體積變化

CsφVbΔp。

(33)

巖石基質(zhì)顆粒體積真實平均作用力σs變化下的壓縮系數(shù)仍然為礦物顆粒壓縮系數(shù)Cs，所以，流壓變量的巖石顆粒視壓縮系數(shù)

(34)

孔隙體積變化則為

ΔVp=ΔVb-ΔVs=[C-(1+φ)]VbΔp，

(35)

從而得到恒總應力變流壓下孔隙壓縮系數(shù)新關系式

(36)

根據(jù)表1和式(36)，孔隙度取0.02～0.35時，礦物顆粒壓縮系數(shù)常在10-5MPa-1數(shù)量級，巖石表觀壓縮系數(shù)在10-5～10-4MPa-1數(shù)量級，計算得到孔隙壓縮系數(shù)常在10-4～10-3MPa-1，與文獻[8-10]測試結(jié)果一致。恒總應力下，巖石孔隙壓縮系數(shù)常遠大于巖石表觀壓縮系數(shù)，巖石表觀壓縮又大于基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)。

表1 常見礦物顆粒和巖土的壓縮系數(shù)[11]Tab.1 Compression coefficient of common mineral particles and rock-soil[11]

根據(jù)式(36)和式(30)可知

(37)

這與巖石表觀體積壓縮的關系式一致，恒總應力孔隙壓縮系數(shù)為恒流壓孔隙壓縮系數(shù)與基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)之差。

2.3 封閉條件下的孔隙壓縮系數(shù)關系式

封閉不排水條件下，單位總應力變化量引起的巖石表觀體積變化量

(38)

對應的巖石基質(zhì)顆粒體積變化量

(39)

封閉條件下，單位總應力變化下的巖石顆粒視壓縮系數(shù)

(40)

封閉不排水條件下，單位總應力變化量引起的巖石孔隙體積變化量

(41)

(42)

對應的封閉條件下，單位總應力變化對應的孔隙壓縮系數(shù)

(43)

封閉條件下，單位孔隙壓力變化對應的孔隙壓縮系數(shù)

(44)

這組關系式正好論證了在封閉條件下以孔隙壓力為變量的孔隙壓縮系數(shù)與孔隙流體壓縮系數(shù)相等的經(jīng)驗認識?；赟kempton有效應力原理的壓縮系數(shù)關系式反應了巖石的應力應變機制，所得不同應力條件下的各壓縮系數(shù)關系式可從不同角度得到論證。

3 儲層巖石各壓縮系數(shù)計算式

各學科在沒有特殊說明的情況下，巖石表觀壓縮系數(shù)常指恒流壓下的表觀壓縮系數(shù)C，基質(zhì)顆粒壓縮系數(shù)常指礦物顆粒壓縮系數(shù)Cs，孔隙壓縮系數(shù)Cp常指恒總應力孔隙壓縮系數(shù)Cpp。從上面的關系式可知，不同應力條件下巖石的各壓縮系數(shù)均可由Cs、C、Cl來表示，意味著巖石在不同應力條件下的各壓縮系數(shù)均可以Cs、C、Cl為基礎計算得到，基于Skempton有效應力，不同應力條件下巖石各壓縮系數(shù)計算式總結(jié)如下：

1)巖石表觀壓縮系數(shù)在恒流壓、恒總應力、封閉條件下的計算式分別為：

Cbσ=Cdry=C，

(45)

Cbp=Cbσ-Cs=C-Cs，

(46)

(47)

2)巖石孔隙壓縮系數(shù)在恒流壓、恒總應力、封閉條件下的計算式分別為：

(48)

(49)

(50)

3)巖石顆粒壓縮系數(shù)恒流壓、恒總應力、封閉條件下的真實壓縮系數(shù)均為Cs，恒流壓、恒總應力、封閉條件下視壓縮系數(shù)計算式分別為：

(51)

(52)

(53)

4)油藏工程生產(chǎn)中常用的2個壓縮系數(shù)計算式則為：

Cf=φCpp=Cbp-φCs=C-(1+φ)Cs，

(54)

Ct=Cf+φCl=C-(1+φ)Cs+φCl。

(55)

4 應用舉例

中石油勘探開發(fā)研究院從美國西弗吉尼亞州購得一批石油行業(yè)最好的油層物理測試標準巖心Berea砂巖，用于砂巖壓縮系數(shù)、驅(qū)替過程中潤濕性變化等油層物理基礎研究。選用其中一塊與文獻[16]巖心相近的孔隙度為0.16的硅質(zhì)細砂巖，實驗室嚴格按照石油與天然氣行業(yè)標準測得巖石物理基礎物性參數(shù)，其中巖石壓縮系數(shù)采用三軸向巖石壓縮系數(shù)高精度測試儀按照SY-T5815-1993標準測得，壓力表精度0.1%，實驗誤差小于5%。實驗室測得的壓縮系數(shù)結(jié)果為：恒流壓下的表觀體積壓縮系數(shù)1.2×10-4MPa-1，基質(zhì)平均壓縮系數(shù)2.6×10-5MPa-1，恒總應力下的表觀體積壓縮系數(shù)為9.5×10-5MPa-1、孔隙壓縮系數(shù)為5.7×10-5MPa-1。實驗測試結(jié)果與文獻[16]中孔隙度為0.15巖心測試的恒流壓下表觀壓縮系數(shù)1.05×10-4MPa-1、基質(zhì)平均壓縮系數(shù)2.7×10-5MPa-1結(jié)果相符合。

而采用本文中以Cs、C、Cl為基礎的新計算式，水的壓縮系數(shù)取常用標準4.8×10-4MPa-1，可直接計算恒總應力表觀壓縮系數(shù)

Cbp=C-Cs=(12-2.6)×10-5MPa-1=

9.4×10-5MPa-1，

(56)

孔隙壓縮系數(shù)

(57)

這2個巖石系數(shù)的計算結(jié)果都與實驗測試結(jié)果非常接近，驗證了計算式的準確性。此外，還可以利用這組計算式非常方便地計算其他應力條件下沒有測試或者不太方便測試的壓縮系數(shù)，可節(jié)約大量人力物力。將其他應力條件下的巖石各壓縮系數(shù)代入對應的計算式得到計算結(jié)果分別為：Csat=6.7×10-5MPa-1，Cpσ=5.88×10-4MPa-1，Cpsatσ=2.71×10-4MPa-1，Csσ=3.10×10-5MPa-1，Csp=4.95×10-6MPa-1，Cssatσ=2.82×10-5MPa-1，Cf=8.98×10-5MPa-1，Ct=1.67×10-4MPa-1。計算結(jié)果與文獻[15-16]認識一致，巖石在不同應力條件下定義的不同壓縮系數(shù)，數(shù)量級從10-6～10-4MPa-1，差距可達2個數(shù)量級；在文獻[10]低孔儲層中，Cpp可達10-3MPa-1，差距可達3個數(shù)量級，不能混淆使用。

5 結(jié) 論

(1)Terzaghi有效應力原理不適用于巖石壓縮系數(shù)研究，基于Skempton有效應力原理得到的巖石壓縮系數(shù)在3種應力條件下的關系式準確厘清了不同學科巖石各壓縮系數(shù)的相互關系。

(2)恒總應力下的巖石表觀壓縮系數(shù)、孔隙壓縮系數(shù)分別為恒流壓下對應的壓縮系數(shù)與顆粒壓縮系數(shù)之差，封閉條件下的巖石壓縮系數(shù)關系式與Gassmann方程認識一致。

(3)在相同應力條件下巖石的孔隙壓縮系數(shù)遠大于表觀壓縮系數(shù)，表觀壓縮系數(shù)又大于顆粒壓縮系數(shù)，不同巖石壓縮系數(shù)之間差距可達2～3個數(shù)量級。

(4)以Cs、C、Cl為基礎的一組巖石壓縮系數(shù)新計算式反應了巖石應力應變機制，適用性好，計算簡便，可在巖土工程、油藏工程、地下水工程和地球物探等學科廣泛應用。