微型諧振氣體傳感器多場(chǎng)耦合非線性振動(dòng)特性分析

付曉瑞，黨亞輝，許立忠

(燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System，MEMS)主要包括微傳感器、微執(zhí)行器和處理電路三部分[1-2]。微傳感器作為MEMS器件中的一個(gè)重要組成部分，在機(jī)器人、智能設(shè)備、醫(yī)療設(shè)備等高科技領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用，已成為國(guó)內(nèi)外微機(jī)電系統(tǒng)領(lǐng)域中一個(gè)重要研究方向。傳感器根據(jù)其工作原理又可分為電容式、電阻式和諧振式三種，其中微諧振傳感器輸出的為不易失真的頻率信號(hào)，不受距離因素的影響，因此受到廣泛關(guān)注。微型諧振氣體傳感器尺寸小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、靈敏度高、穩(wěn)定性好，更符合氣體傳感器智能化、高靈敏化、集成化、微型化的發(fā)展方向。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)微諧振氣體傳感器進(jìn)行了大量的研究工作。20世紀(jì)60年代，ZnO半導(dǎo)體氣體傳感器研制成功并作為一種新興產(chǎn)品投入市場(chǎng)[3-4]。2001年，Lange等[5]開(kāi)發(fā)了一種集成在芯片上的熱激勵(lì)共振氣體檢測(cè)系統(tǒng)，其中熱敏電阻用作諧振驅(qū)動(dòng)器，惠斯通電橋用于懸臂梁振動(dòng)的檢測(cè)。Fadel等[6]開(kāi)發(fā)了用于檢測(cè)揮發(fā)性有機(jī)化合物(Volatile Organic Compound，VOC)的質(zhì)量敏感性氣體傳感器，驗(yàn)證了毫米尺寸和微米尺寸懸臂之間的噪聲在集成傳感器設(shè)計(jì)中不可忽略。Thomas等[7]開(kāi)發(fā)了微懸臂梁陣列，進(jìn)行亞微摩爾濃度下細(xì)菌病毒T5的定量質(zhì)量測(cè)量實(shí)驗(yàn)。李鵬等[8]設(shè)計(jì)了一種高分辨率壓阻檢測(cè)式硅微懸臂梁諧振式傳感器。張建等[9]研究了范德華力對(duì)硅基微懸臂梁抗黏附穩(wěn)定性的影響。Zimmermann等[10]設(shè)計(jì)制作出用于檢測(cè)具有揮發(fā)性的有機(jī)氣體的高度集成氣體傳感器。李強(qiáng)等[11]利用旋轉(zhuǎn)涂膠的方法制備了酞菁銅薄膜材料，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)酞菁銅具有良好的氣敏特性。劉麗麗等[12]研究了一種新型微氣體傳感器結(jié)構(gòu),并利用仿真軟件對(duì)該結(jié)構(gòu)的傳感器進(jìn)行了優(yōu)化與相關(guān)研究。Xu等[13]引入氣體吸附的化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)方程，建立了機(jī)械-化學(xué)耦合動(dòng)力學(xué)模型，研究了微型諧振氣體傳感器的時(shí)變特征?？傊?，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)取得一系列有關(guān)微型諧振氣體傳感器的研究成果。然而，隨著諧振式傳感器尺寸的不斷減小，極板間的分子力、尺寸效應(yīng)和熱應(yīng)力對(duì)微諧振梁振動(dòng)特性的影響變得不能忽略[14]，同時(shí)，諧振子處于多場(chǎng)耦合的環(huán)境下，因此對(duì)懸臂梁多場(chǎng)耦合振動(dòng)的研究具有重要意義。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于考慮溫度影響的微型諧振氣體傳感器多場(chǎng)耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究較少。為此，本文建立微型諧振氣體傳感器的機(jī)械-化學(xué)-分子力-溫度四場(chǎng)耦合動(dòng)力學(xué)方程，分析分子力和溫度對(duì)氣敏傳感器固有頻率、瞬時(shí)頻率以及時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律，為該種傳感器進(jìn)一步的微型化和智能化奠定理論基礎(chǔ)。

1 動(dòng)力學(xué)方程

本文采用的微諧振子多場(chǎng)耦合動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。分為底座和懸臂梁兩個(gè)部分，底座和懸臂梁由單晶硅制成，懸臂梁?jiǎn)尉Ч璨糠趾穸葹閔；懸臂梁表面蒸發(fā)鍍導(dǎo)電層，厚度為h2；在導(dǎo)電層表面利用旋轉(zhuǎn)法涂上厚為h1的酞菁銅敏感層。當(dāng)傳感器的周?chē)h(huán)境內(nèi)含有被測(cè)氣體時(shí)，被測(cè)氣體分子以速度K1附著在被敏感層上，同時(shí)被測(cè)氣體分子以速度K2從附著層脫落，最后與環(huán)境中氣體濃度達(dá)到平衡狀態(tài)，如圖1所示。K1為氣體附著在敏感層速度常數(shù)，K2為氣體脫離敏感層速度常數(shù)。

將梁的中軸線作x軸，將對(duì)稱面內(nèi)與x軸垂直向上的方向取作y軸。由于采用的懸臂梁是細(xì)長(zhǎng)梁，可以忽略其剪切變形和截面繞中性軸旋轉(zhuǎn)的慣性效應(yīng)。梁只有在y軸方向的位移y(x,t)，底座和懸臂梁下表面距離為u。懸臂梁長(zhǎng)為l，寬為b，密度為ρ，彈性模量為E，截面面積為S，作用在梁上沿y軸的單位長(zhǎng)度動(dòng)載荷為Δq(x,t)。

根據(jù)振動(dòng)理論得到梁的動(dòng)態(tài)彎曲振動(dòng)方程[15]

(1)

Δq包括電場(chǎng)力和分子力，即

Δq=Δq0+Δqr

(2)

其中動(dòng)態(tài)單位長(zhǎng)度的范德華力為[16]

(3)

式中：A為Hamaker常數(shù)，A=10-19J。

真空下動(dòng)態(tài)單位長(zhǎng)度開(kāi)西米爾力為

(4)

因位移變化引起單位長(zhǎng)度動(dòng)態(tài)電場(chǎng)力為

(5)

當(dāng)將傳感器放在含有被測(cè)氣體環(huán)境中時(shí)，氣體吸附的化學(xué)反應(yīng)動(dòng)態(tài)平衡方程為

(6)

由敏感層中材料分子個(gè)數(shù)不變可知

ns+Δns=ns0

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7)，并積分可得敏感層吸附質(zhì)量密度變化表達(dá)式為

(8)

梁上各點(diǎn)的非線性位移應(yīng)變關(guān)系為

(9)

y(x,y,t)=y(x,0,t)=y(x,t)

(10)

梁上的任一點(diǎn)的格林應(yīng)變?yōu)?/p>

(11)

當(dāng)考慮溫度載荷時(shí)，梁中沿軸向的正應(yīng)力

σ=E(ε-αT)

(12)

式中：ε為格林應(yīng)變；α為熱膨脹系數(shù)；T為溫度變化量。

將軸向的正應(yīng)力沿y軸進(jìn)行積分，求和得到軸向合力和合力矩

(13)

(14)

式中：hp≈h1+h2；hb=h；Eb=E,Ep為復(fù)合層彈性模量，由參考文獻(xiàn)[17]可得。

將式(13)和式(14)代入彎曲振動(dòng)方程可得

(15)

將式(15)簡(jiǎn)化為

(16)

其中，

F=bT(Epαphp+Ebαbhb)

考慮范德華力情況下動(dòng)態(tài)方程為

(17)

考慮開(kāi)西米爾力情況下動(dòng)態(tài)方程為

(18)

令Δy=φ(x)q(t)代入式(8)并進(jìn)行變換可得

(19)

(20)

其中，

ρl0=ρbh+ρtbht+ρs0bh1

解模態(tài)方程式(19)，得各階固有頻率為

(21)

同理得考慮開(kāi)西米爾力時(shí)的各階固有頻率為

(22)

式中：λ1l=1.875;λ2l=4.694;λ3l=7.855;λ4l=10.996。

與之對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)為

φi(x)=cosλix-chλix+ηi(sinλix-shλix) (i=1,2,3,4,L)

(23)

其中，參數(shù)ηi定義為

式(20)舍去化學(xué)項(xiàng)得到

(24)

將q(t)展開(kāi)成ε的冪級(jí)數(shù)如下

q=q0+εq1+ε2q2+L

(25)

將系統(tǒng)自由振動(dòng)頻率ω展開(kāi)成ε的冪級(jí)數(shù)如下

(26)

引入變量τ=ωt得

(27)

(28)

將τ=ωt代入式(28)中得

(29)

可得

(30)

令ε的同次冪項(xiàng)的系數(shù)化和為零，可得

(31a)

(31b)

(31c)

各方程的初始條件如下，A為廣義坐標(biāo)初值

(32)

從零次近似方程式(31a)和初始條件式(32)解出

q0=Acosτ

(33)

將式(33)代入式(31b)，可得

(34)

為避免式(34)的解中有久期項(xiàng)，使cosτ系數(shù)等于零，可得

σ1=0

(35)

將式(32)和式(33)代入式(34)中，可得

(36)

將式(33)和式(36)代入(31c) ，可得

(37)

為避免次式(37)的解中有久期項(xiàng)，使cosτ的系數(shù)等于零，可得

(38)

將式(36)和式(38)代入式(37)，可得

(39)

將式(33)、式(36)和式(39)代入式(25)，可得

(40)

將式(35)和式(38)代入式(26)，可得

(41)

懸臂梁上任意一點(diǎn)某時(shí)刻的位移表達(dá)式為

y=y0+Δy=y0+φ(x)q(t)

(42)

式中：y0為初始靜態(tài)位移。

為求解瞬時(shí)頻率，可引入Hilbert變換，對(duì)任意的時(shí)間序列x(t)，它的Hilbert變換為

對(duì)q(t)做Hilbert變換，得到

(43)

將瞬時(shí)頻率定義為

(44)

可得到懸臂梁瞬時(shí)頻率表達(dá)式為

ω=(1+εC1+ε2C2)ω0

(45)

2 實(shí)例計(jì)算與分析

2.1 頻率特性

微型諧振氣體傳感器主要參數(shù)，如表1所示。待測(cè)乙醇?xì)怏w濃度ρg=0.000 1 kg/m3，利用式(21)、式(22)可得傳感器在考慮與不考慮分子力情況下各階固有頻率，如表2所示。其中ω1為不考慮分子力時(shí)固有頻率，ω2為考慮范德華力時(shí)固有頻率，ω3為考慮開(kāi)西米爾力時(shí)固有頻率，η1為考慮范德華力時(shí)與不考慮分子力時(shí)相對(duì)偏差，η2為考慮開(kāi)西米爾力時(shí)與不考慮分子力時(shí)相對(duì)偏差。將第一階固有頻率代入式(45)可以得到不同情況下的瞬時(shí)頻率響應(yīng)曲線，如圖2所示。假設(shè)環(huán)境溫度30 ℃，比較考慮和不考慮熱應(yīng)力情況下瞬時(shí)頻率與初始固有頻率差值隨時(shí)間t的變化，圖3(a)為考慮范德華力情況下的變化曲線，圖3(b)為考慮開(kāi)西米爾力情況下的變化曲線，由表2、圖2和圖3可知：

表1 系統(tǒng)計(jì)算參數(shù)Tab.1 System parameters

表2 各階固有頻率Tab.2 The natural frequency of each order Hz

圖2 瞬時(shí)頻率響應(yīng)曲線Fig.2 Instantaneous frequency response curve

圖3 瞬時(shí)頻率差變化曲線Fig.3 Difference of instantaneous frequency

(1)考慮分子力時(shí)，微型諧振氣體傳感器的固有頻率比不考慮分子力時(shí)要小，而且考慮開(kāi)西米爾力的情況比考慮范德華力情況時(shí)固有頻率下降更為明顯。隨著階次的增加范德華力對(duì)傳感器的固有頻率的影響減弱，第一階時(shí)考慮范德華力時(shí)的相對(duì)偏差為1.76%，而考慮開(kāi)西米爾力時(shí)相對(duì)偏差為2.94%。而第四階相對(duì)偏差分別為0.003 9%和0.004 3%，因此對(duì)于低階次固有頻率，分子力的影響不可忽略。

(2)傳感器的固有頻率隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，逐漸下降。這是由于諧振子不斷吸附酒精氣體分子而導(dǎo)致的諧振子質(zhì)量不斷增加的結(jié)果?？紤]分子力與不考慮分子力情況相比，諧振子固有頻率變化趨勢(shì)一致，但是每一時(shí)刻對(duì)應(yīng)的固有頻率不同。

(3)考慮熱激勵(lì)時(shí)諧振子固有頻率隨時(shí)間下降的速度更快，頻率下降幅度更大。其中考慮開(kāi)西米爾力情況下諧振子固有頻率受熱激勵(lì)的影響更為顯著。

2.2 時(shí)域分析

為了研究范德華力和開(kāi)西米爾力對(duì)懸臂梁振動(dòng)時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，將懸臂梁頂端處分別將考慮范德華力和開(kāi)西米爾力時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與不考慮分子力時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行求差。圖4為動(dòng)態(tài)響應(yīng)差隨懸臂梁長(zhǎng)度變化規(guī)律，圖5為動(dòng)態(tài)響應(yīng)差隨懸臂梁與基體間隙變化規(guī)律?？梢缘弥?/p>

圖4 響應(yīng)差隨懸臂梁長(zhǎng)度變化Fig.4 Difference of the vibrating amplitudes as length

(1) 分別考慮范德華力和考慮開(kāi)西米爾力時(shí)的響應(yīng)差隨著時(shí)間的增加，響應(yīng)差幅值先增大后減小，表明兩種分子力對(duì)懸臂梁多場(chǎng)耦合時(shí)的時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響隨時(shí)間變化成周期性變化。

(2) 隨著懸臂梁長(zhǎng)度增大，兩種情況的響應(yīng)差的幅值增大，且當(dāng)長(zhǎng)度變化時(shí)響應(yīng)差的幅值變化較大，因此，響應(yīng)差對(duì)于懸臂梁長(zhǎng)度的變化敏感。

(3) 隨著懸臂梁與基體的間隙變小時(shí)兩種情況的響應(yīng)差幅值變大，且隨著初始間隙變化時(shí)響應(yīng)差變化劇烈，因此對(duì)于初始間隙較小時(shí)，兩種分子力對(duì)懸臂梁多場(chǎng)耦合時(shí)的時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響較大，不可忽略。

圖5 響應(yīng)差隨懸臂梁間隙變化Fig.5 Difference of the vibrating amplitudes as gap

2.3 實(shí)驗(yàn)分析

懸臂梁振動(dòng)頻率是諧振式氣體傳感器的關(guān)鍵參數(shù)，直接決定了氣體傳感器的性能，因此，研究懸臂梁的頻率特性非常重要。為了驗(yàn)證上述關(guān)于懸臂梁振動(dòng)頻率理論分析的正確性，利用光刻、腐蝕以及鍍膜等其他微機(jī)械加工工藝，制作出懸臂梁諧振子以及微諧振氣體傳感器，如圖6 所示。利用自行設(shè)計(jì)研發(fā)的測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)頻率測(cè)試。

圖6 微型諧振子及氣體傳感器Fig.6 Micro resonator and gas sensor

本實(shí)驗(yàn)采用靜電激勵(lì)-電容檢測(cè)的方法進(jìn)行振動(dòng)頻率的測(cè)量，當(dāng)靜電驅(qū)動(dòng)的頻率接近懸臂梁固有頻率時(shí)，懸臂梁發(fā)生共振，此時(shí)位移響應(yīng)出現(xiàn)極值，從而輸出的電壓信號(hào)也最大，通過(guò)觀察輸出的幅頻圖中極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率來(lái)確定懸臂梁的固有頻率。靜電激勵(lì)-電容檢測(cè)電路如圖7所示，試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)照片如圖8所示，試驗(yàn)結(jié)果如圖9所示。得到掃描頻率等于11.579 kHz時(shí)信號(hào)幅值最大，可以判斷諧振子固有頻率在11.579 kHz附近，表3為實(shí)驗(yàn)結(jié)果與與理論分析結(jié)果的比較，由表3可以得知，考慮范德華力時(shí)，理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)偏差為1.34%，考慮開(kāi)西米爾力時(shí)相對(duì)偏差為1.67%，不考慮分子力時(shí)相對(duì)偏差為1.74%，從而驗(yàn)證了理論分析的正確性，同時(shí)驗(yàn)證了當(dāng)傳感器尺寸足夠小時(shí)，分子力的影響不可忽略。

圖7 開(kāi)環(huán)檢測(cè)系統(tǒng)Fig.7 Open loop detection system

圖8 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖Fig.8 Experimental site map

圖9 開(kāi)環(huán)掃頻曲線Fig.9 Open loop sweep curve表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值比較Tab.3 Comparison of experimental results and theoretical values

理論值f0/Hz實(shí)驗(yàn)值f1/Hz相對(duì)偏差δ/%考慮范德華力11 734.5011 5791.34考慮開(kāi)西米爾力11 772.1311 5791.67不考慮分子力11 780.1711 5791.74

3 結(jié) 論

本文建立了微型諧振氣體傳感器機(jī)械-化學(xué)-分子力-熱應(yīng)力四場(chǎng)耦合動(dòng)力學(xué)方程，并利用多尺度法求出諧振子固有頻率表達(dá)式。研究了諧振子固有頻率隨分子力、吸附氣體濃度以及溫度的變化規(guī)律，分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)懸臂梁時(shí)域響應(yīng)差的影響，得知，當(dāng)傳感器中諧振子尺寸足夠小時(shí)，分子力的影響不可忽略且當(dāng)懸臂梁間隙較小、長(zhǎng)度較大時(shí)，分子力對(duì)傳感器低階次固有頻率和時(shí)域響應(yīng)的影響較大。利用微機(jī)械加工技術(shù)制造出的微型氣體傳感器，并研發(fā)出開(kāi)環(huán)測(cè)試系統(tǒng)，進(jìn)行了掃頻實(shí)驗(yàn)，得到微傳感器的固有頻率，與分析結(jié)果接近，驗(yàn)證了理論分析的正確性。