柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性分析的時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面法

闞琳潔，張建國(guó)，邱繼偉

(1. 北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院, 北京 100191；2. 北京航空航天大學(xué) 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100191)

在航空航天、機(jī)器人、汽車、艦船等諸多行業(yè)中，柔性機(jī)構(gòu)都具有舉足輕重的地位，近幾年來備受人們的關(guān)注[1-2]。在大多數(shù)實(shí)際工程問題中，柔性機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)參數(shù)如材料性能、幾何形狀、剛度、阻尼系數(shù)、制造公差等都具有隨機(jī)性，使得柔性機(jī)構(gòu)可靠性問題尤為重要。對(duì)于柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性分析問題，傳統(tǒng)且有效的方法是利用經(jīng)典的結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠性理論建立極限狀態(tài)函數(shù)，采用Monte Carlo仿真分析(MCS) 、解析法[3]或上穿率法[4]。然而，由于其系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的非線性、耦合、時(shí)變特征，一次模型的計(jì)算量通常是相當(dāng)高的，采用MCS法計(jì)算效率會(huì)很低。而且極限狀態(tài)函數(shù)在非線性影響下難以顯示化表達(dá)，使得解析法和上穿率法也難以實(shí)施[5]。因此，一些學(xué)者開始研究基于代理模型的柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性分析技術(shù)，并取得了一定的成果，例如響應(yīng)面[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7]、支持向量機(jī)[8]、混沌多項(xiàng)式(Polynomial Chaos Expansion，PCE)[9]等。

由Wiener[10]提出的混沌多項(xiàng)式是一種正交展開方法，標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系由Hermit基函數(shù)構(gòu)造。Liu等[11]對(duì)其進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了基于Askey-scheme正交基的廣義混沌多項(xiàng)式(Generalized Polynomial Chaos，GPC)，常用于隨機(jī)系統(tǒng)的建模、不確定性傳播和量化、以及求解任意概率分布的隨機(jī)微分方程等方面。作為新興的代理模型技術(shù)，GPC屬于隨機(jī)數(shù)學(xué)模型。相較于其他代理模型，GPC不受擬合點(diǎn)位置的影響，近似精度高，并且可以獲得系統(tǒng)響應(yīng)精確解的全部信息[12]，但應(yīng)用于柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性分析的研究成果較少。Guo等[13]利用GPC的非侵入式算法結(jié)合模糊概率理論，提出了考慮固有-認(rèn)知混合不確定信息的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠度分析方法。并利用移動(dòng)最小二乘法來近似表達(dá)時(shí)變GPC系數(shù)的變化趨勢(shì)，提出了考慮磨損的機(jī)構(gòu)時(shí)變?nèi)朱`敏度分析法，以及考慮磨損的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的時(shí)變可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[14]。趙寬[15]利用基于PCE的隨機(jī)響應(yīng)面法，對(duì)隨機(jī)參數(shù)旋轉(zhuǎn)柔性梁和雙連桿機(jī)械臂進(jìn)行了機(jī)構(gòu)性能(運(yùn)動(dòng)、強(qiáng)度、剛度)的靜態(tài)可靠性分析。雖然混沌多項(xiàng)式模型計(jì)算精度高，但是系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)數(shù)量多，剛?cè)狁詈弦鸬姆蔷€性問題，以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，會(huì)使得混沌多項(xiàng)式理論用于時(shí)變可靠性分析時(shí)計(jì)算成本迅速增長(zhǎng)。

綜上所述，柔性機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型一般為具有時(shí)變、高非線性、強(qiáng)耦合特征的微分方程組，其系統(tǒng)可靠性問題同時(shí)具有時(shí)變耦合的特點(diǎn)。傳統(tǒng)的柔性機(jī)構(gòu)可靠性分析方法不僅難以描述柔性機(jī)構(gòu)的時(shí)變耦合特征，而且模型精度差、計(jì)算效率低。為了提高計(jì)算效率，描述柔性機(jī)構(gòu)在剛?cè)狁詈嫌绊懴碌臅r(shí)變可靠性特征，本文提出基于模態(tài)綜合法(Component Mode Synthesis，CMS)和GPC的時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面法。建立了柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性分析的隨機(jī)代理模型，并用MCS法進(jìn)行系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)變可靠度求解。

1 柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的隨機(jī)場(chǎng)離散和模型降階

1.1 隨機(jī)場(chǎng)離散

考慮機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的材料特性與幾何尺寸的隨機(jī)性，基于混合坐標(biāo)法，利用有限元法對(duì)柔性體的變形進(jìn)行描述，結(jié)合拉格朗日方程可推導(dǎo)出如下形式的柔性機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的隨機(jī)模型[16]

(1)

如前所述，柔性機(jī)構(gòu)的材料特性參數(shù)具有不確定性，并在空間域中連續(xù)變化，可用隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行描述。設(shè)具有協(xié)方差函數(shù)C(x1,x2)的隨機(jī)場(chǎng)可表示為h(x,θ)，用Karhunen-Loeve展開法進(jìn)行隨機(jī)場(chǎng)離散可得[17]

(2)

(3)

則有

(4)

1.2 動(dòng)力學(xué)模型降階的CMS法

采用有限元法對(duì)柔性體變形進(jìn)行描述時(shí)，坐標(biāo)數(shù)目龐大，動(dòng)力學(xué)模型式(1)為非線性、耦合的微分方程組。為了提高計(jì)算效率，本文采用CMS法對(duì)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型進(jìn)行降階，并且假設(shè)柔性體模態(tài)為確定性模態(tài)[18]。在模型降階過程中暫不考慮剛體運(yùn)動(dòng)的影響，僅對(duì)柔性體的彈性變形進(jìn)行降階，其動(dòng)力學(xué)方程為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

降階后的柔性體運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(10)

(11)

(12)

(13)

式中:Ξ∈RD×H為正交化的CMS模態(tài)矩陣。利用均值處的模態(tài)矩陣對(duì)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型式(4)進(jìn)行降階，則廣義坐標(biāo)q的正交投影變換可以寫為

(14)

(15)

2 基于CMS-GPC的時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面

2.1 時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面

利用GPC模型可以有效地對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的隨機(jī)特征進(jìn)行描述，并具有顯示化和線性化的作用，但是GPC對(duì)系統(tǒng)模型也產(chǎn)生了一定的擴(kuò)階影響，廣義坐標(biāo)q的自由度從RC擴(kuò)展到RC·(M+1)。為了提高計(jì)算效率，本文將CMS方法與GPC方法相結(jié)合，提出時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面的隨機(jī)代理模型。

(16)

式中:t∈[0,T];{Ψj(ξ),j=0,1,2,,M}為隨機(jī)函數(shù)空間中的Askey-scheme正交基，且Ψ∈R(6+H)×[(6+H)·(M+1)]，ξ=(ξi1,ξi2,,ξin)為N維隨機(jī)向量，a(t)∈R(6+H)·(M+1)為多項(xiàng)式時(shí)變系數(shù)，M為截?cái)嘞禂?shù)。若Askey-scheme正交基的最高階次為p，則最高階次p、隨機(jī)向量維數(shù)N和截?cái)嘞禂?shù)M滿足如下等式關(guān)系

(17)

對(duì)應(yīng)不同分布類型的Askey-scheme正交基如表1所示。

表1 對(duì)應(yīng)不同分布類型的Askey-scheme正交基Tab.1 Askey-scheme for selecting polynomials corresponding to certain types of distributions

任意兩個(gè)Askey-scheme正交基之間滿足

(18)

(19)

其次，根據(jù)式(14)和式(16)，系統(tǒng)廣義坐標(biāo)q可以寫為兩級(jí)正交展開變換形式

(20)

也可以寫為如下截?cái)嘈问?/p>

(21)

(22)

原GPC模型計(jì)算問題的大小從C·(M+1)下降到(6+H)·(M+1)，其中(6+H)<

2.2 時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面的時(shí)變系數(shù)求解

用Λ(ξ)對(duì)式(4)進(jìn)行Galerkin投影，可得

整理可得

(23)

則式(23)為M+1個(gè)確定性的二階微分方程，可求得時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面的時(shí)變系數(shù)a(t)。

(24)

3 柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性分析

3.1 時(shí)變可靠度計(jì)算方法

(25)

(26)

在時(shí)間[0,T]內(nèi)，運(yùn)動(dòng)精度的時(shí)變累積失效概率為

Pf,c(0,T)=Pr(?t∈[0,T]|G(ξ,t)≤0)

(27)

在建立柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性模型的基礎(chǔ)上，采用MCS法進(jìn)行時(shí)變可靠性分析。將時(shí)間離散成N個(gè)時(shí)間點(diǎn)，每個(gè)時(shí)間間隔為Δt=T/(N-1)，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)面G(ξ,t)離散成{G(ξ,ti),ti=(i-1)Δt且i=1,2,,N}，則在時(shí)間[0,ti]內(nèi)運(yùn)動(dòng)精度的時(shí)變累積失效概率為[19]

(28)

式中:NMCS為總的仿真次數(shù);Nj,fature為在時(shí)間[ti,ti+1]內(nèi)系統(tǒng)失效的次數(shù)。

3.2 柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性分析流程

歸納上述基于CMS-GPC的柔性機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性建模分析過程，給出如下分析步驟:

步驟1確定系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)的分布類型。對(duì)高斯隨機(jī)場(chǎng)可采用可以通過 Karhunen-Loeve 展開轉(zhuǎn)化成離散的標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)向量。

步驟2建立柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，依據(jù)步驟1對(duì)隨機(jī)參數(shù)的處理，將動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行隨機(jī)展開，形式如式(2)，并確定模型的初始條件。

步驟3求解模態(tài)降階矩陣Φ。采用CMS法對(duì)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型進(jìn)行降階，并且假設(shè)柔性體模態(tài)為確定性模態(tài)，得到均值處的模態(tài)降階矩陣Φ。

步驟4確定GPC模型中正交基Ψ的階次p和截?cái)嘞禂?shù)M，建立系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面q(ξ,t)=ΦΨ(ξ)a(t)=Λ(ξ)a(t)。利用Galerkin投影法求解響應(yīng)面的時(shí)變系數(shù)，分析系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)變均值和時(shí)變方差。

步驟5基于時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面，建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)精度的時(shí)變可靠性模型，并利用MCS法求解時(shí)變可靠度。

4 案例分析

以兩連桿柔性機(jī)械臂為例，對(duì)本文提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證。圖1為兩連桿柔性機(jī)械臂示意圖，在空間零重力環(huán)境下做平面大范圍運(yùn)動(dòng)，初始狀態(tài)為水平位置，無變形，無初始速度和加速度。

圖1 兩連桿柔性機(jī)械臂Fig.1 Two-link flexible manipulator

組成機(jī)械臂的桿1和桿2為均質(zhì)的Euler-Bernoulli梁，橫截面均為矩形，服從正態(tài)分布，相關(guān)參數(shù)由表2給出。臂桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)1=L2=1.5 m，作用在臂桿上的驅(qū)動(dòng)力矩分別為τ1(t)=60sin2(2πt)+25，τ2(t)=50sin2(2πt+0.5)+15。關(guān)節(jié)處集中質(zhì)量為m1=10 kg，桿2末端負(fù)載集中質(zhì)量為m2=5 kg。機(jī)械臂的材料參數(shù)服從正態(tài)分布，相關(guān)參數(shù)由表3給出。

表2 兩連桿機(jī)械臂橫截面參數(shù)Tab.2 Section sizes of two-link flexible arm

表3 兩連桿機(jī)械臂材料參數(shù)Tab.3 Material parameters of two-link flexible arm

兩臂桿各離散5個(gè)單元，建立兩連桿柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，并利用式(2)～式(4)進(jìn)行隨機(jī)場(chǎng)離散。其次，桿1和桿2分別取前兩階模態(tài)，建立兩連桿柔性機(jī)械臂末端X方向位移x(ξ,t)和Y方向位移y(ξ,t)的時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面模型，取Λ(ξ)的最高階次為4階，根據(jù)式(17)則響應(yīng)面的截?cái)嘞禂?shù)為210。

(29)

圖2和圖3分別給出了兩連桿柔性機(jī)械臂末端X方向位移的均值和均方差隨時(shí)間變化的規(guī)律，并與Monte-Carlo模擬105次的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，時(shí)變均值的最大相對(duì)誤差為0.17%，時(shí)變方差的最大相對(duì)誤差為0.56%，誤差較小，具有較高的擬合精度。

圖2 機(jī)械臂末端X方向位移均值Fig.2 Mean displacement of the end node in X direction

圖3 機(jī)械臂末端X方向位移方差Fig.3 Displacement covariance of the end node in X direction

圖4和圖5分別給出了兩連桿柔性機(jī)械臂末端Y方向位移y(ξ,t)的均值和均方差隨時(shí)間變化的規(guī)律。同樣與Monte-Carlo模擬105次的結(jié)果相比，時(shí)變均值的最大相對(duì)誤差為0.17%，時(shí)變方差的最大相對(duì)誤差為0.56%，同樣誤差較小，說明本文所提出的時(shí)變耦合響應(yīng)面具有較高的計(jì)算精度。同時(shí)，計(jì)算規(guī)模與僅用GPC模型相比，減小了80%。

圖4 機(jī)械臂末端Y方向位移均值Fig.4 Mean displacement of the end node in Y direction

(30)

Y方向運(yùn)動(dòng)精度的時(shí)變極限狀態(tài)函數(shù)為

(31)

在此基礎(chǔ)上，采用MCS法計(jì)算計(jì)算X方向和Y方向定位精度的時(shí)變累積失效概率。圖6和圖8分別為X方向和Y方向的累積失效概率在0～2 s內(nèi)的變化趨勢(shì)，并且與MCS仿真105次進(jìn)行了結(jié)果對(duì)比，其相對(duì)誤差隨時(shí)間的變化趨勢(shì)如圖7和圖9所示。從結(jié)果來看，與僅用MCS法相比，累積失效概率的變化趨勢(shì)相同。其中X方向累積失效概率的最大相對(duì)誤差為0.75%，Y方向累積失效概率的最大相對(duì)誤差為0.76%，故誤差結(jié)果在可接受范圍內(nèi)，說明本文提出的方法是可行的。

圖6 機(jī)械臂末端X方向定位精度累積失效概率圖7 末端X方向累積失效概率的相對(duì)誤差圖8 機(jī)械臂末端Y方向定位精度累積失效概率圖9 末端Y方向累積失效概率的相對(duì)誤差Fig.6 The cumulative failure probability of the positioning accuracy of the end node in X directionFig.7 The relative error of the cumulative failure probability of the end node in X directionFig.8 The cumulative failure probability of the positioning accuracy of the end node in Y directionFig.9 The relative error of the cumulative failure probability of the end node in Y direction

5 結(jié) 論

(1)本文針對(duì)柔性機(jī)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)變可靠性分析的“時(shí)變耦合”問題，提出了基于CMS-GPC的時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面模型，在保證擬合精度的同時(shí)，降低了計(jì)算問題的規(guī)模，提高了效率。其次，與傳統(tǒng)時(shí)變可靠性分析的響應(yīng)面模型不同的是，本文所建立的時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面模型是描述系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)特征的，而非對(duì)特定時(shí)間下極限狀態(tài)函數(shù)的擬合。

(2)在時(shí)變隨機(jī)響應(yīng)面基礎(chǔ)上，可直接建立顯示化的柔性機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)變可靠性模型，并給出了計(jì)算運(yùn)動(dòng)精度時(shí)變累積失效概率的MCS方法。與傳統(tǒng)時(shí)變可靠性分析方法相比，本方法不需要在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處對(duì)特定時(shí)間下的極限狀態(tài)函數(shù)重復(fù)建立響應(yīng)面，因此提高了計(jì)算效率。

(3)通過兩連桿柔性機(jī)械臂的案例對(duì)本文的方法進(jìn)行了可行性和有效性驗(yàn)證，計(jì)算精度與MCS法相差無幾，對(duì)工程應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)意義。