單軸壓縮下砂巖斷裂試驗(yàn)及細(xì)觀統(tǒng)計(jì)損傷模型

李漢章，束加慶，王海軍，任旭華，湯 雷

(1.河海大學(xué)，江蘇 南京 210098；2.江蘇省電力設(shè)計(jì)院，江蘇 南京 211102；3.南京水利科學(xué)研究院，水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210029)

在外荷載和環(huán)境作用下，材料的微缺陷如微裂紋、微孔洞等的出現(xiàn)和擴(kuò)展而導(dǎo)致其宏觀力學(xué)性質(zhì)逐步裂化的過(guò)程稱為損傷[1]。而損傷力學(xué)是專門研究含微裂紋或微孔洞介質(zhì)材料損傷的演化發(fā)展直至破壞的學(xué)科，由Kachnov[2]和Rabotno[3]創(chuàng)立，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于各個(gè)工程領(lǐng)域，成為固體力學(xué)研究的一個(gè)前沿。

巖體是典型的非均勻性材料，內(nèi)部含有微裂紋、顆粒接觸面等[4-6]缺陷。Dougill[7]在巖石和混凝土材料中開(kāi)始使用損傷力學(xué)，隨后損傷模型及演變方程不斷涌現(xiàn)。Krajcinovic[8]將統(tǒng)計(jì)理論引入損傷力學(xué)用于描述巖石材料內(nèi)部缺陷分布的隨機(jī)性，為巖石統(tǒng)計(jì)損傷理論提出全新的思路。國(guó)內(nèi)唐春安等[9-10]和謝和平等[11]分別從巖石微元的強(qiáng)度和損傷耗散能釋放率服從某種隨機(jī)分布的角度出發(fā)，建立相應(yīng)的損傷本構(gòu)方程，又使巖石的損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型研究取得了重大進(jìn)展。曹文貴等[12-15]在此基礎(chǔ)上，與室內(nèi)試驗(yàn)相結(jié)合引入巖石微元參數(shù)，進(jìn)而提出了能夠反映巖石脆-延特性及其相互轉(zhuǎn)化的巖石損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型。建立三維巖石損傷破裂本構(gòu)模型模擬巖石宏細(xì)觀力學(xué)特性，是損傷力學(xué)中的首要問(wèn)題之一。

按傳統(tǒng)損傷理論模型，當(dāng)單元完全損傷破壞時(shí)，將不具備任何承載能力，隨著荷載的作用下，損傷部位將發(fā)生無(wú)限的位移。這是數(shù)值實(shí)驗(yàn)和物理實(shí)驗(yàn)之間的一個(gè)差別，即在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，兩個(gè)不相連的單元碰撞如若不考慮之間的接觸不會(huì)產(chǎn)生相互作用，而會(huì)發(fā)生互相嵌入。但是，真實(shí)情況下對(duì)于壓破壞的損傷部位雖然發(fā)生破壞，物質(zhì)本身不可能消失，特別是在周邊物質(zhì)的限制下，會(huì)出現(xiàn)損傷部位慢慢壓實(shí)，重新承受荷載的情況，類似于“愈合”。

為了模擬壓縮狀態(tài)下的這種“接觸愈合”作用，本文將給壓縮狀態(tài)下完全破壞了的細(xì)觀單元賦予一定的承壓能力，使其成為“接觸單元”。對(duì)該單元而言，即表現(xiàn)為損傷得到了一定程度上的“愈合”。首先開(kāi)展單軸壓縮下砂巖破壞試驗(yàn)，然后系統(tǒng)闡述了考慮峰后承載特性的細(xì)觀損傷本構(gòu)模型，包括本構(gòu)方程、損傷變量演化、材料非均勻性模擬方法；給出基于細(xì)觀損傷力學(xué)模型的數(shù)值模擬及物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并對(duì)應(yīng)力～應(yīng)變曲線、宏觀損傷斷裂特征進(jìn)行了對(duì)比分析；最后給出結(jié)論。本文研究為進(jìn)一步開(kāi)展不同荷載條件及巖體工程分析應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

1 單軸壓縮試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)方案

采用砂巖材料，按照國(guó)際巖石力學(xué)學(xué)會(huì)建議標(biāo)準(zhǔn)制作為高徑比2∶1標(biāo)準(zhǔn)圓柱形試樣，密度2 940 kg/m3。加載試驗(yàn)采用三思縱橫WAW-600微機(jī)控制電液伺服加載系統(tǒng)，包含最大試驗(yàn)力600 kN的萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)，DSCC-5000多通道電液伺服閉環(huán)控制系統(tǒng)，位移測(cè)量范圍0～200 mm,可采用應(yīng)力及位移兩種加載方式，本實(shí)驗(yàn)采用應(yīng)力加載控制方式，加載速率為7 MPa/min。每種加載方式采用不同的應(yīng)力值控制。物理實(shí)驗(yàn)中采用應(yīng)變片測(cè)量，在圓柱形試樣的側(cè)面按照0°、180°黏貼。采用多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng),加載系統(tǒng)及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)見(jiàn)圖1。

1.2 試驗(yàn)結(jié)果

單軸壓縮下砂巖試樣典型應(yīng)力～應(yīng)變曲線見(jiàn)圖2，彈性模量為26.6 GPa，單軸抗壓強(qiáng)度為38.5 MPa，呈現(xiàn)脆性破壞。試樣破壞形態(tài)見(jiàn)圖3,巖石力學(xué)參數(shù)整理見(jiàn)表1。

表1 巖石力學(xué)參數(shù)

2 細(xì)觀損傷模型

2.1 細(xì)觀損傷本構(gòu)方程

本文所建立的損傷本構(gòu)方程及損傷演化特性，充分考慮了壓縮荷載作用下，破壞單元將轉(zhuǎn)化為能繼續(xù)承受壓力荷載的“接觸單元”，因此，本文建立的巖石細(xì)觀損傷本構(gòu)模型能夠模擬出巖石試樣損傷部位的愈合特征。因而試樣在峰值應(yīng)力后的殘余強(qiáng)度得到體現(xiàn)。

由Lemaitre應(yīng)變等價(jià)原理[15]，即受損材料在應(yīng)力作用下的應(yīng)變與無(wú)損材料在有效應(yīng)力下的應(yīng)變可以等價(jià)，建立起細(xì)觀單元的損傷本構(gòu)方程。

σ=Eε=σ(1-D)=E0(1-D)ε

(1)

式中E0——損傷前細(xì)觀單元的彈性模量；E——損傷后細(xì)觀單元的彈性模量；D——細(xì)觀單元的損傷變量值。

圖4為細(xì)觀單元在單軸荷載作用下的應(yīng)力應(yīng)變曲線。細(xì)觀單元在單軸壓縮荷載作用下，在壓縮應(yīng)力沒(méi)有達(dá)到單元壓縮強(qiáng)度之前，單元為完全彈性體，計(jì)算參數(shù)由彈性模量和泊松比確定；隨著應(yīng)力達(dá)到峰值應(yīng)力σc時(shí)，單元發(fā)生脆性壓縮損傷，在應(yīng)力～應(yīng)變曲線圖上表現(xiàn)為應(yīng)力的突然降低，此時(shí)單元的力學(xué)參數(shù)發(fā)生折減，并認(rèn)為發(fā)生損傷后巖石仍能承受較小荷載；在壓縮應(yīng)變達(dá)到某一極值εcu時(shí)，認(rèn)為此時(shí)損傷物質(zhì)被完全壓碎，單元主壓應(yīng)力兩側(cè)相鄰單元發(fā)生接觸。單元在單軸拉伸荷載作用下，當(dāng)拉伸應(yīng)力達(dá)到單元拉伸強(qiáng)度前，單元為完全線彈性體；當(dāng)應(yīng)力超過(guò)單元拉伸強(qiáng)度時(shí)，發(fā)生脆性拉伸損傷；當(dāng)拉伸應(yīng)變達(dá)到某一極值εtu時(shí)，認(rèn)為單元被完全拉壞，不具備任何承載能力。

2.2 損傷變量演化

見(jiàn)圖4，細(xì)觀單元中單軸受拉壓狀態(tài)下的一維損傷變量演化規(guī)律，在單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，損傷變量的表達(dá)式為：

(2)

在單軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，損傷變量的表達(dá)式為：

公路橋梁養(yǎng)護(hù)作為一項(xiàng)兼具科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性的工作，要求其工作人員具備較高的職業(yè)素養(yǎng)。首先，有關(guān)部門在公路橋梁工作人員的招聘方面要將更多的關(guān)注點(diǎn)放在工作人員的道路養(yǎng)護(hù)技術(shù)水平與職業(yè)素養(yǎng)的提升方面，在對(duì)員工進(jìn)行招聘后還要定期對(duì)公路橋梁養(yǎng)護(hù)的工作人員進(jìn)行道路養(yǎng)護(hù)標(biāo)準(zhǔn)化流程的相關(guān)知識(shí)培訓(xùn)，不斷提高工作人員的職業(yè)素養(yǎng)與技術(shù)水平；其次，有關(guān)企業(yè)還要定期對(duì)員工進(jìn)行職業(yè)素養(yǎng)的培訓(xùn)，通過(guò)宣傳力度的加強(qiáng)來(lái)使員工意識(shí)到公路橋梁養(yǎng)護(hù)的重要性，以此為基礎(chǔ)增強(qiáng)自身工作的責(zé)任感與使命感，進(jìn)而深度挖掘員工公路橋梁養(yǎng)護(hù)的工作潛力[6]。

(3)

式中E0——單元初始彈模；σc——無(wú)側(cè)限抗壓強(qiáng)度；εcu——σc下峰值壓應(yīng)變；σcr——?dú)堄鄩簭?qiáng)；λ——單元的殘余強(qiáng)度系數(shù)，σcr=λcσc,σtr=λtσt;σt——細(xì)觀單元的單軸抗拉強(qiáng)度；σtr——單元初始拉伸破壞時(shí)的殘余強(qiáng)度；εt——彈性極限下峰值應(yīng)變，定義為拉伸破壞應(yīng)變閥值；εtu——極限拉伸應(yīng)變,定義η為極限應(yīng)變系數(shù)，εcu=ηεc。

(4)

式中，ε1、ε2、ε3分別為主應(yīng)變，〈〉是一個(gè)函數(shù)，意義如下：

(5)

當(dāng)單元處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)并滿足摩爾-庫(kù)倫準(zhǔn)則時(shí)，可以得到單元的最大壓縮主應(yīng)變?chǔ)與0為：

(6)

在三維壓縮狀態(tài)下，用最大壓縮主應(yīng)變?chǔ)?來(lái)代替式(3)中的單軸壓應(yīng)變?chǔ)?。如此，就可以將一維狀態(tài)下的損傷演化方程推廣到三維狀態(tài)下。

巖石細(xì)觀單元采用彈脆性損傷本構(gòu)方程，選取具有拉伸截?cái)嗟哪?庫(kù)侖準(zhǔn)則作為細(xì)觀單元破壞的準(zhǔn)則。采用拉伸準(zhǔn)則優(yōu)先的原則，若單元受到的最大主應(yīng)力達(dá)到單元拉伸強(qiáng)度時(shí)，細(xì)觀單元發(fā)生拉伸損傷，此時(shí)根據(jù)公式(2)確定損傷變量的大小，不以摩爾-庫(kù)侖作為判斷準(zhǔn)則，在單元不滿足拉伸準(zhǔn)則時(shí)，采用摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則作為判斷準(zhǔn)則。

2.3 細(xì)觀非均勻性模擬

巖體是典型的非均勻性材料，其中含有裂紋、裂隙、成巖過(guò)程中的氣泡等缺陷。巖石顆粒從理論上講也應(yīng)該是非均勻的，這種不均勻性可以用其力學(xué)參數(shù)的分布特性來(lái)描述。一般采用二參數(shù)Weibull分布用于描述巖石顆粒的細(xì)觀單元力學(xué)特性[17-18]：即形狀和尺度參數(shù)。形狀參數(shù)較之尺寸參數(shù)作用更大，控制分布密度曲線基本特征，尺度參數(shù)對(duì)于密度曲線形狀起到調(diào)節(jié)作用，另外可用于表示不同階段的失效情況。一般用W(μ0,m)表示二參數(shù)的Weibull分布，可由下式表示：

(7)

(8)

式中μ——分布參數(shù)的數(shù)值；m——形狀參數(shù)；μ0——尺度參數(shù)，是一個(gè)與所有單元參數(shù)平均值有關(guān)的參數(shù)，但并不是該參數(shù)的平均值，所以為了表述方便，文中稱之為均值。在模擬材料的非均勻性時(shí)也需要首先確定材料的m和μ0值，這兩個(gè)參數(shù)對(duì)Weibull分布的影響見(jiàn)圖5。

見(jiàn)圖5，參數(shù)m決定了分布的離散度，m越高，材料細(xì)觀單元力學(xué)參數(shù)越集中，m越小，材料參數(shù)越均勻，所有參數(shù)更接近于給定參數(shù)μ0。常數(shù)m數(shù)值模型中材料的細(xì)觀均勻性，可稱之為均值度。m越小，材料越均勻。對(duì)Weibull概率密度函數(shù)積分，得分布函數(shù)：

(9)

首先采用公式(9)生成數(shù)量與數(shù)值網(wǎng)格數(shù)量N相同個(gè)數(shù)的符合Weibull分布隨機(jī)數(shù)。將生成的隨機(jī)參數(shù)隨機(jī)賦予細(xì)觀單元。因此，這些單元體材料參數(shù)雖然具備離散型，但是整體符合統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，由此巖石類介質(zhì)參數(shù)的隨機(jī)非均勻分布特性得到體現(xiàn)。

3 數(shù)值模擬及試驗(yàn)結(jié)果分析

3.1 應(yīng)力～應(yīng)變曲線

巖石細(xì)觀參數(shù)通過(guò)遺傳算法進(jìn)行反演分析得到。通過(guò)Fortran編寫遺傳算法程序及其與Abaqus接口程序，以宏觀參數(shù)彈性模量、試樣強(qiáng)度為反演目標(biāo)，以形狀參數(shù)m、細(xì)觀單元強(qiáng)度均值FC、彈性模量E為反演參數(shù)。目標(biāo)函數(shù)為彈模、強(qiáng)度與試驗(yàn)中彈模、強(qiáng)度的誤差平方和。通過(guò)不斷試算反演參數(shù)值，使得目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最小，由此確定最優(yōu)反演參數(shù)。最終得到最佳細(xì)觀參數(shù)形狀參數(shù)m=7，細(xì)觀單元強(qiáng)度均值為FC=80 MPa，彈性模量均值為E=33 GPa。數(shù)值模擬中宏觀參數(shù)及物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)值見(jiàn)表2，十分接近。數(shù)值試驗(yàn)與物理試驗(yàn)的應(yīng)力～應(yīng)變曲線見(jiàn)圖6。

表2 巖石力學(xué)參數(shù)

3.2 應(yīng)力分析

采用位移加載模式模擬單軸壓縮試驗(yàn)。最小主應(yīng)力隨加載步的分布演化規(guī)律見(jiàn)圖7，最大主應(yīng)力隨加載步的分布演化規(guī)律見(jiàn)圖8。在荷載step6之前，位移加載較小，應(yīng)力分布均勻。隨著壓縮位移的增大，壓應(yīng)力逐漸增大，與均勻參數(shù)分布不同，出現(xiàn)應(yīng)力分布不均的現(xiàn)象，如step16。由于巖石細(xì)觀參數(shù)的隨機(jī)分布，參數(shù)強(qiáng)弱不均，在參數(shù)相對(duì)軟弱的細(xì)觀單元處出現(xiàn)明顯的較大變形如step20，并在這些細(xì)觀單元處出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象。

3.3 破壞形態(tài)分析

數(shù)值模擬計(jì)算不同位移加載步下的試樣損傷破壞過(guò)程見(jiàn)圖9。加載前期，由于細(xì)觀單元參數(shù)存在強(qiáng)弱差異，在參數(shù)相對(duì)較弱的單元，開(kāi)始出現(xiàn)損傷，且為隨機(jī)分布，如step16。在step20時(shí)，損傷開(kāi)始在左下角出現(xiàn)集聚。step22—24斷裂擴(kuò)展面開(kāi)始形成，并最終形成斷裂。設(shè)定狀態(tài)變量SDV1代表?yè)p傷值的大小，顏色越深表示損傷值越大。

數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)試樣最終破壞形態(tài)見(jiàn)圖10，在試樣下部發(fā)生剪切貫穿破壞。

4 結(jié)論

a) 建立了考慮細(xì)觀單元?dú)堄鄰?qiáng)度的本構(gòu)模型，并且實(shí)現(xiàn)了三維模型的單軸壓縮計(jì)算。模擬了材料逐漸從細(xì)觀損傷累積到集聚成核斷裂擴(kuò)展直至破壞的過(guò)程。

b) 基于考慮細(xì)觀單元?dú)堄鄰?qiáng)度的本構(gòu)模型，通過(guò)Weibull分布模擬巖石細(xì)觀層次上力學(xué)參數(shù)的隨機(jī)性及宏觀統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，巖石宏觀破壞過(guò)程的復(fù)雜現(xiàn)象可以得到充分模擬。

c) 通過(guò)室內(nèi)單軸壓縮實(shí)驗(yàn)，得到了砂巖試樣的彈性模量、單軸抗壓強(qiáng)度、應(yīng)力應(yīng)變曲線及斷裂形態(tài)。砂巖宏觀參數(shù)與基于考慮細(xì)觀單元?dú)堄鄰?qiáng)度的本構(gòu)模型所得模擬結(jié)果一致，斷裂形態(tài)及破壞特征一致。本文本構(gòu)模型的有效性得到驗(yàn)證。