介于T5與T6空間之間的拓撲空間

金渝光,羅 飛,高 瑾

(1.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 400047;2.四川理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,四川 自貢 643000)

1 基本概念

定義1[12]設(shè)X是一個拓撲空間, ?x∈X,U?X, 如果存在X的開集V滿足條件x∈V?U, 則稱U為點x的鄰域, 點x的所有鄰域構(gòu)成點x的鄰域簇, 記作V(x).

定義2設(shè)X是一個拓撲空間，若對X的任意兩點x1和x2，x1≠x2，存在V1∈V(x1),V2∈V(x2)，滿足x1?V2,x2?V1,則稱X為T1空間.

定義3設(shè)X是一個拓撲空間，如果X的任意兩個隔離子集A,B，分別有開鄰域U和V，使得U∩V=?,則稱拓撲空間是一個完全正規(guī)空間.完全正規(guī)的T1空間稱為T5空間.

定義4設(shè)X是一個拓撲空間，任意非空閉集F,存在連續(xù)映射f:X→[0,1],使得x∈F,f(x)=0和x∈Fc,f(x)≠0,則稱拓撲空間是一個完備正規(guī)空間.完備正規(guī)的T1空間稱為T6空間.

2 相關(guān)定理及主要結(jié)論

定理1[12]設(shè)X,Y是鄰域空間，f:X→Y是映射，則f連續(xù)?鄰域、開集、閉集的逆象分別是鄰域、開集、閉集.

定理2[13]拓撲空間X是T1空間的充要條件是每一個單點集為閉集.

引理設(shè)X,Y是兩個拓撲空間，f:X→Y是映射，則f連續(xù)則等價于

(1)

證明根據(jù)定理1，知f連續(xù)等價于

?B?Y,f-1(B)是X中的閉集.

(2)

要想證明引理，只需要證明(1),(2)式等價.

定理3完備正規(guī)的空間一定是擬完備正規(guī)的空間.

設(shè)X是完備正規(guī)的，任意非空閉集F?X，存在連續(xù)映射f:X→[0,1],使得

x∈F,f(x)=0,

x∈Fc,f(x)≠0.

g(x)=0,x∈A，

g(x)=1,x∈B，

從而對任意的隔離集A,B,存在連續(xù)映射g:X→[0,1]，使得

g(x)=0,x∈A，

g(x)=1,x∈B,

故X是擬完備正規(guī).

設(shè)(X,V)擬完備正規(guī)空間的T1空間.任意隔離集A,B，存在連續(xù)映射f:X→[0,1]，使得

x∈A,f(x)=0,

x∈B,f(x)=1.

所以，有

f-1(C)∩f-1(D)=?，A?f-1(C),B?f-1(D),

故X是完全正規(guī)的.證畢.

注定理4所闡述的關(guān)系反之不一定成立.

例1存在擬完備正規(guī)而卻不是完備正規(guī)的拓撲空間.

設(shè)X為一不可數(shù)集，p∈X.命X的非空開集為XC，其中：C或含有點p，或為有限集.

例2存在完全正規(guī)而卻不是擬完備正規(guī)的拓撲空間[14].

設(shè)X為實直線，令

(a,b)=∪{(α,b)|a<α

易證{[a,b)|a,b∈X}為X上的一個鄰域基，這個鄰域基生成X上的一個拓撲τ而使X為一個拓撲空間.于是，形如(-∞,a),[a,b),[a,+∞)的集都是既開又閉的.因

(a,b)=∪{(α,b)|a<α

故(a,b)是開集.同理，形如(-∞,a),[a,+∞)的集都是開集.因此，拓撲τ強于X上的歐式拓撲，從而(X,τ)是Handorff空間.

(3)

則OA是包含A的開集.類似地，可以定義

(4)

現(xiàn)證OA∩OB=?.假如OA∩OB≠?，則存在a∈A,b∈B,有

[a,xa)∩[b,xb)≠?.

OA∩OB=?，

故X完全正規(guī)空間.

由(3)，(4)式可以知道，對任意隔離集A和B，都不存在連續(xù)映射f，使得f(A)=0,f(B)=0，故X不是擬完備正規(guī)的空間.

由X是擬完備正規(guī)，故存在連續(xù)映射f:X→[0,1]，使得f(A)=0,f(B)=1.令g=fM:M→[0,1]是連續(xù)映射，且g(A)=0,g(B)=1，故M是擬完備正規(guī)的空間，即擬完備正規(guī)是可遺傳的.

因為X擬完備正規(guī)，故存在連續(xù)映射h，令g=h°f-1:Y→[0,1]是連續(xù)映射，且

g(A)=h°f-1(A)=0,

g(B)=h°f-1(B)=1，

因此Y是擬完備正規(guī)型空間.