非絕熱和樂量子計算新進(jìn)展

薛正遠(yuǎn)，陳 濤

(華南師范大學(xué) 物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

量子計算是基于量子力學(xué)規(guī)律調(diào)控量子信息單元進(jìn)行計算的一種新型計算模型.相對傳統(tǒng)的經(jīng)典計算，量子計算能更有效解決一些經(jīng)典計算機(jī)難以解決的問題[1]，但它在理論和應(yīng)用上均面臨很大挑戰(zhàn)，尤其是量子信息處理過程.一方面，量子體系與環(huán)境間不可避免的相互作用導(dǎo)致量子系統(tǒng)的退相干，使計算要求的量子系統(tǒng)相干性無法保持；另一方面，大規(guī)模量子計算的實(shí)現(xiàn)需要糾正量子程序執(zhí)行過程中產(chǎn)生的錯誤.因此，通用量子計算要求實(shí)現(xiàn)高保真度的完備量子門組合.

為解決以上量子計算存在的問題，實(shí)現(xiàn)高保真度的量子操控，一系列基于阿貝爾[2]和非阿貝爾[3]幾何相位的量子計算方案[4-10]相繼被提出.由于幾何相位具有僅依賴過程整體的性質(zhì)，基于幾何相位的量子操作就能天然避免一些局域噪聲的影響.但是，早期的幾何量子計算方案是基于絕熱演化獲得的幾何相位來實(shí)現(xiàn)量子門的，為滿足絕熱條件，系統(tǒng)將長時間與環(huán)境相互作用，會帶來較大的退相干，同時絕熱操控的門速度也十分緩慢.為克服這一困難，研究人員提出了基于阿貝爾[11-15]和非阿貝爾相位[16-22]的非絕熱幾何量子計算，實(shí)現(xiàn)了快速的高保真度的量子門.這一方案在多種量子體系中得到了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，如超導(dǎo)線路體系、NMR體系及金剛石電子自旋(金剛石色心)體系等[23-39].

為突破當(dāng)前幾何量子計算物理實(shí)現(xiàn)中一些局限，在超導(dǎo)線路體系中實(shí)現(xiàn)非絕熱和樂量子計算方案已成為研究熱點(diǎn).超導(dǎo)線路體系具有易集成、操作快等優(yōu)點(diǎn)，是最有希望實(shí)現(xiàn)量子信息處理的體系之一，因此如何在這樣一種簡便體系中實(shí)現(xiàn)非絕熱和樂量子計算成為關(guān)鍵.此外，超導(dǎo)線路體系易集成為二維晶格結(jié)構(gòu)，具有支持大規(guī)模量子計算的優(yōu)勢，因而提供了一種實(shí)現(xiàn)非絕熱和樂量子計算的有效途徑.

筆者簡要綜述非絕熱和樂量子計算方案在理論和實(shí)驗(yàn)方面的新進(jìn)展.論文內(nèi)容安排如下：第1節(jié)介紹幾何相位的一般構(gòu)建方法.第2節(jié)詳細(xì)介紹基于非阿貝爾相位下非絕熱和樂量子計算方案的理論及其物理實(shí)現(xiàn).第3節(jié)介紹可優(yōu)化的非絕熱和樂量子計算.第4節(jié)是全文的總結(jié)和該方向后續(xù)工作[40]的展望.

1 幾何相位的一般構(gòu)建方法

|ψm(t)〉=U(t)|ψm(0)〉，

其中

(1)

|ψm(τ)〉=|νm(τ)〉=|νm(0)〉=|ψm(0)〉.

(2)

需要注意的是，由于|νm(t)〉不滿要足薛定諤方程，因此以上邊界條件總是可以滿足.|ψm(t)〉由{|νm(t)〉}展開為

(3)

其中：ckm(t)是一個含時的系數(shù)矩陣元，且ckm(0)=δkm.τ時刻，有

因此，在滿足循環(huán)演化條件的時刻，演化算符的矩陣元為ckm(τ).

下面分析此時系統(tǒng)哈密頓量的形式.對式(3)兩邊求導(dǎo)可得

代入薛定諤方程后可得

Hlk(t)=〈νl(t)|H(t)|νk(t)〉=exp[ifl(t)-ifk(t)]〈ψl(t)|H(t)|ψk(t)〉=

通過計算可得

(4)

ckm(t)=δkmcmm(t),cmm(t)=exp(ifm(t)).

(5)

因此，演化算符最終的形式為

(6)

其中：fm(τ)為演化過程產(chǎn)生的總相位.在以{|ψm(t)〉}為演化態(tài)的幾何量子計算中，為使得到的相位為純幾何相位，要求

(7)

任意時刻均成立.此條件的物理含義是所有演化態(tài)在演化過程中不發(fā)生相互躍遷，即滿足平行輸運(yùn)條件.值得注意的是，在絕熱過程中，此條件要求哈密頓量隨時間變化必須非常緩慢[2].最終目的是得到對角化的有效哈密頓，且使fm(τ)是純幾何相位.

綜上所述，構(gòu)建{|ψm(t)〉}為演化態(tài)的非絕熱幾何相位量子門，需滿足式(2),(7)，它們分別對應(yīng)循環(huán)演化條件和平行輸運(yùn)條件.當(dāng)然，也可選擇{|νm(t)〉}作為演化態(tài)構(gòu)造幾何相位[40]，通過選擇{|νm(t)〉}的形式，可放松條件(7)的約束，使哈密頓量具有更大的靈活性.

2 非絕熱和樂量子計算方案

2.1 非絕熱和樂量子門

在最近的非絕熱演化方案[16]中，式(7)的平行輸運(yùn)條件是可以通過對系統(tǒng)哈密頓量的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的限制來達(dá)到的.具體來說，考慮一個3能級體系，如圖1(a)所示，體系的3個裸態(tài)能級分別為|0〉，|1〉和|e〉，它們的能量分別為w0，w1和we，|0〉和|1〉可分別通過頻率為ν0，ν1的激光激發(fā)使其激發(fā)躍遷至|e〉.此情況下，這3個能級形成一個Λ型3能級結(jié)構(gòu).在相互作用繪景中，忽略高頻震蕩項(xiàng)，體系和激光相互作用的哈密頓量可表示為

H(t)=Δ0|0〉〈0|+Δ1|1〉〈1|+Ω(t)(ω0|e〉〈0|+ω1|e〉〈1|+H.c.)，

其中：Δk=2πνk-wek，wek=we-wk(k=1,2),Δk的大小隨νk的變化而變化；ω0和ω1為激光參數(shù)，描述|0〉→|e〉和|1〉→|e〉躍遷的相對強(qiáng)度和相位，且|ω0|2+|ω1|2=1.哈密頓量的打開和關(guān)閉可通過實(shí)數(shù)耦合強(qiáng)度Ω(t)的調(diào)整實(shí)現(xiàn).

圖1 文獻(xiàn)[16]中用于實(shí)現(xiàn)非絕熱和樂單比特量子門的能級圖

若采用Δk=0的雙光子共振過程，則哈密頓量可簡化為

H(1)(t)=Ω(t)(ω0|e〉〈0|+ω1|e〉〈1|+H.c.)=Ω(t)|e〉〈b|+H.c..

(8)

(9)

滿足以上條件后，演化算符在基矢{|e〉,|b〉,|d〉}下可寫為

易知，演化態(tài)|b〉獲得了一個π的幾何相位.演化算符在計算基矢{|0〉,|1〉,|e〉}下可表示為

(10)

將U(τ)截取至計算子空間{|0〉,|1〉}，可得和樂單比特門

(11)

其中：n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)為3維實(shí)空間中的一個單位矢量，σ=(σx,σy,σz)為作用在|0〉和|1〉上的泡利算符.連續(xù)進(jìn)行兩個不同路徑的周期演化，不同演化路徑對應(yīng)的單位矢量分別為n和m，則式(11)可進(jìn)一步表達(dá)為

U(1)(C)=U(1)(Cm)U(1)(Cn)=n·m-iσ·(n×m)，

(12)

其為一個SU(2)變換.通過選擇合適的單位矢量n和m，所有的單比特門均可通過這種非絕熱的幾何方法得到.從上可知，要通過兩個循環(huán)才能得到一個任意的和樂單比特量子門，這是此方案的另一局限性所在.

要實(shí)現(xiàn)通用的量子計算，除了單比特門，還需要非平庸的兩比特門.接下來，說明如何得到非絕熱的兩比特和樂量子門.

考慮一個有一系列束縛的離子體系，其中每個離子均有一個如上文所述的Λ型3能級結(jié)構(gòu).當(dāng)對其中的一對離子分別施加頻率為±(ν±δ)和±(ν?δ)的激光激發(fā)時，|0〉→|e〉和|1〉→|e〉的躍遷就在兩個離子間同時進(jìn)行.非對角的激發(fā)態(tài)|e0〉，|0e〉，|e1〉，|1e〉可通過兩束激光的Rabi頻率|Ω0|和|Ω1|遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于ν來進(jìn)行有效的抑制.兩個離子在Lamb-Dicke近似下的有效哈密頓量為

其中：η為Lamb-Dicke參數(shù)，且η2?1；σ0(φ)=eiφ|e〉〈0|+H.c.；σ1(-φ)=e-iφ|e〉〈0|+H.c..

為了使以上哈密頓量可解，在選擇激光脈沖的參數(shù)時，要求參量φ，及Ω0與Ω1的比值均不含時.σ0(φ)和σ1(-φ)展開后，哈密頓領(lǐng)H(2)可寫為

(13)

其中

因?yàn)镠0和H1是對易的，因此演化一個π的脈沖周期后，可得

U(2)(C)=cosθ|00〉〈00|+sinθe-iφ|00〉〈11|+

sinθeiφ|11〉〈00|-cosθ|11〉〈11|+|01〉〈01|+|10〉〈10|.

(14)

因此，通過選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)可實(shí)現(xiàn)兩比特糾纏門.例如，當(dāng)θ=0，φ=0時，可以實(shí)現(xiàn)非平庸的兩比特控制相位門.

2.2 非共振單圈非絕熱和樂量子門

上文提到的是利用共振的激光脈沖在Λ型3能級體系中實(shí)現(xiàn)通用的非絕熱和樂量子門，這種方法通常需要通過兩個循環(huán)去實(shí)現(xiàn)一個任意的和樂單比特量子門.實(shí)際上，這需要兩束連續(xù)的任意波形的激光脈沖來實(shí)現(xiàn)兩個循環(huán)銜接.這種方法一個顯而易見的缺點(diǎn)就是暴露在環(huán)境中的時間加倍了，會引起多種誤差，如退相干的影響就會因?yàn)檠h(huán)的增多而增大為兩倍.為此研究人員嘗試減少循環(huán)的次數(shù)，提高抵抗外界噪聲的能力，其中一個方法是在Λ型3能級中利用失諧的激光脈沖在單循環(huán)的情況下實(shí)現(xiàn)量子門[18]，另一個方法是在Λ型3能級中利用共振的多脈沖激光在單循環(huán)的情況下實(shí)現(xiàn)量子門[19].

考慮一個Λ型3能級體系，這個體系的3個裸態(tài)能級分別為|0〉，|1〉和|e〉，它們的能量分別為w0，w1和we.|j〉→|e〉躍遷通過激光Ej(t)=εjgjcosνjt驅(qū)動，其中εj為極化值，gj為激光脈沖的包絡(luò)函數(shù)，νj為振蕩頻率.將|0〉，|1〉作為邏輯比特態(tài)，|e〉作為輔助態(tài).圖2為文獻(xiàn)[18]中的體系能級結(jié)構(gòu)和激光場分布.

圖2 文獻(xiàn)[18]中的體系能級結(jié)構(gòu)和激光場分布

失諧量Δj=νj-wej=Δ，相互作用哈密頓可寫為

(15)

其中：耦合強(qiáng)度Ωj=gj(t)〈e|μ·εj|j〉.

設(shè)定|j〉→|e〉躍遷通過方波激光脈沖實(shí)現(xiàn)，其參數(shù)設(shè)定為

Ω0(t)=Ωcosαcosγ，Ω1(t)=Ωeiβsinαcosγ，Δ=-2Ωsinγ.

(16)

當(dāng)Ω用矢量形式[Δ/2,Ω0(t),Ω1(t)]代替時，有效哈密頓量可寫為

Heff=Ωsinγ(|e〉〈e|+|b〉〈b|)+Ω[cosγ(|b〉〈e|+|e〉〈b|)+sinγ(|e〉〈e|-|b〉〈b|)]，

(17)

其中：|b〉=cosα|0〉+eiβsinα|1〉.

值得注意的是，Δ和Ωj均是由激光的頻率和振幅決定的，所以除了方波，對其他脈沖波形很難做到兩束激光和失諧量三者的含時變化是同步的，這是此方案的局限之一.取映射|e〉〈e|+|b〉〈b|→I，|b〉〈e|+|e〉〈b|→σx，|e〉〈e|-|b〉〈b|→σz，可將有效哈密頓量表示為Heff=ΩsinγI+Ω(cosγσx+sinγσy).接下來計算演化算符U(t)=e-iHefft.

當(dāng)演化周期T=π/Ω時，演化算符在計算基矢{|e〉,|b〉,|d〉}下可寫為

(18)

其中：φ=πsinγ+π.當(dāng)截取邏輯子空間至{|0〉,|1〉}，演化算符U(t)可寫為

(19)

通過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)

成立，即滿足非絕熱和樂量子門構(gòu)建所需要的周期性條件和平行輸運(yùn)條件，因此，非共振單圈方案得到的演化矩陣U(t)在{|0〉,|1〉}張成的子空間上是一個和樂矩陣.

2.3 共振單圈非絕熱和樂量子門

2.2節(jié)中介紹的在Λ型3能級中利用失諧的激光脈沖在單循環(huán)實(shí)現(xiàn)單比特量子門的方法，解決了多次循環(huán)構(gòu)建通用和樂量子門帶來的問題.但是，這種失諧單圈方案存在自身的不足，其一是激光脈沖只能使用方波，這消除了通過優(yōu)化脈沖波形來得到較強(qiáng)魯棒性的可能性；其二是旋轉(zhuǎn)角度小、脈沖短和激光場振幅小均導(dǎo)致門操作的不穩(wěn)定，這大大降低了構(gòu)建的和樂量子門的魯棒性.因此，文獻(xiàn)[19]為解決以上非共振單圈方案帶來的問題，提出了共振單圈多脈沖方案，此方案將循環(huán)分成多個分段來進(jìn)行.

考慮一個Λ型3能級體系(見圖1)，這個體系的3個裸態(tài)能級分別為|0〉，|1〉和|e〉，它們的能量分別為w0，w1和we，|0〉和|1〉可分別通過頻率為ν0，ν1的激光躍遷至|e〉.

在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，描述體系和激光的相互作用的哈密頓量為

H(t)=Δ0|0〉〈0|+Δ1|1〉〈1|+Ω(t)(ω0|e〉〈0|+ω1|e〉〈1|+H.c.)，

其中：Δk=2πνk-wek，wek=we-wk；ω0和ω1描述|0〉→|e〉和|1〉→|e〉躍遷的相對強(qiáng)度和相位，且|ω0|2+|ω1|2=1.哈密頓量的打開和關(guān)閉可通過Ω(t)來實(shí)現(xiàn).在旋波近似下，忽略了高頻的震蕩項(xiàng).

H(t)=Ω(t)(|e〉〈b|+|b〉〈e|)≡Ω(t)H，

(20)

其中：H=|e〉〈b|+|b〉〈e|.哈密頓量H(t)的形式表明體系演化的動力學(xué)過程可視為|b〉和|e〉間以Ω(t)的頻率做Rabi振蕩.接下來，討論如何在Λ型3能級體系中實(shí)現(xiàn)共振單圈多脈沖方案.

圖3 文獻(xiàn)[19]中的3能級體系單圈多脈沖方案示意圖

以下介紹和樂單圈多脈沖方案單比特量子門的構(gòu)建.

路徑劃分的流程為:

(1) 路徑的第1個分段路徑開始于目標(biāo)子空間{|b〉,|d〉}(等價于{|0〉,|1〉})，且由零失諧(共振)的哈密頓量H1(t)=Ω(t)(|e〉〈b|+|b〉〈e|)驅(qū)動.

(2) 第n個分段路徑的起點(diǎn)為第n-1個分段路徑的終點(diǎn)，其中n=2,3,…,L.

(3) 驅(qū)動系統(tǒng)沿每一個分段路徑演化的共振哈密頓量為

Hn(t)=Ωn(t)[|ψn;e(0)〉〈ψn;b(0)|+|ψn;b(0)〉〈ψn;e(0)|]≡Ωn(t)Hn(t)，

(21)

其中

|ψn;k(0)〉=Vn|ψn-1;k(0)〉，k=b,d.

(22)

Un(an,0)=e-ianHn=|ψn;d(0)〉〈ψn;d(0)|+cosan[I-|ψn;d(0)〉〈ψn;d(0)|]-

isinan[|ψn;e(0)〉〈ψn;b(0)|+|ψn;b(0)〉〈ψn;e(0)|].

(23)

因此，Hn(t)為Λ型3能級體系的哈密頓量，且哈密頓量在所有分段路徑對應(yīng)子空間的演化均為純幾何的.和樂矩陣可表示為

U(C1×C2×…×CL)=UL(aL,0)UL-1(aL-1,0)…U1(a1,0)P(0)，

(24)

其中：P(0)∈{|b〉,|d〉}≡{|0〉,|1〉}.通過選擇激光參數(shù)，可使(C1×C2×…×CL)形成一個完整的周期回路，U(C1×C2×…×CL)是作用在子空間{|0〉,|1〉}上的一個幺正算符.

下面通過L=2的路徑特例說明任意和樂量子門的構(gòu)建.起點(diǎn)為|ψ1;e(0)〉=|e〉，|ψ1;b(0)〉=|b〉和|ψ1;d(0)〉=|d〉，計算子空間由基矢{|b〉,|d〉}張成.當(dāng)演化時間算符滿足a1=π/2時，有

U1(π/2,0)=|d〉〈d|-i(|e〉〈b|+|b〉〈e|)

(25)

及

|ψ1;e(π/2)〉=U1(π/2,0)|e〉=-i|b〉，

|ψ1;b(π/2)〉=U1(π/2,0)|b〉=-i|e〉，

|ψ1;d(π/2)〉=U1(π/2,0)|d〉=|d〉.

通過選擇第2個分段路徑C2起點(diǎn)的狀態(tài)為|ψ2;k(0)〉，使分段路徑C2的終點(diǎn)與分段路徑C1的起點(diǎn)重合及C1×C2構(gòu)成一個周期回路.選取

|ψ2;e(0)〉=V2|ψ1;e(π/2)〉=-i|b〉，

|ψ2;b(0)〉=V2|ψ1;b(π/2)〉=-ieiη|e〉，

|ψ2;d(0)〉=V2|ψ1;d(π/2)〉=-ieiη|d〉，

其中

V2=|ψ1;e(π/2)〉〈ψ1;e(π/2)|+eiη|ψ1;b(π/2)〉〈ψ1;b(π/2)|+

e-iη|ψ1;d(π/2)〉〈ψ1;d(π/2)|=|b〉〈b|+eiη|e〉〈e|+e-iη|d〉〈d|.

(26)

在第2個分段路徑上激光脈沖驅(qū)動的對應(yīng)哈密頓量可寫為

H2(t)=Ω2(t)(e-iη|b〉〈e|+eiη|e〉〈b|).

(27)

演化時間滿足a2=π/2時，有

U2(π/2,0)=|d〉〈d|-i(e-iη|b〉〈e|+eiη|e〉〈b|).

(28)

對比亮態(tài)的表達(dá)式，可知哈密頓量H2(t)的結(jié)構(gòu)變化等效于兩束激光的參數(shù)ωp同時多了相同的相移η，即ωp→eiηωp.在周期回路C1×C2上，時間演化算符U1(π/2,0)和U2(π/2,0)依次作用，最終的演化算符為

U(C1×C2)=U2(π/2,0)U1(π/2,0)P(0)，

(29)

其中：U(C1×C2)是幺正的，且其在計算基矢{|b〉,|d〉}下可表示為

(30)

其中：相因子exp[i(π-η)/2]是全局相位，可以忽略.算符exp[-i(π-η)n·σ/2]為繞矢量n旋轉(zhuǎn)π-η角度的門操作，可實(shí)現(xiàn)任意的和樂量子門.

基于和樂量子門U(C1×C2)，選擇不同的相移η和激光參數(shù)n可實(shí)現(xiàn)任意的單比特變換.文獻(xiàn)[19]中避免了非絕熱和樂量子計算早期方案的不足，降低了因暴露時間長而產(chǎn)生的誤差，保留了脈沖波形和周期選擇的靈活性.與文獻(xiàn)[18]的失諧方案相比，文獻(xiàn)[19]方案的量子門維持了原始方案[16]，即只要求兩個耦合脈沖的波形是同步的.在L=2的方案中，兩對脈沖同時擁有π/2的脈沖面積，這對兩個路徑分段能在Grassmann流行中構(gòu)成一個周期回路極其重要.旋轉(zhuǎn)角π-η獨(dú)立于脈沖持續(xù)的時間，因此小角度限制問題是可以解決的，且不會違反旋波近似.因此，共振單圈和樂單比特量子門克服了失諧方案的困難，且保留了文獻(xiàn)[16]方案的優(yōu)點(diǎn).

2.4 超導(dǎo)系統(tǒng)中非絕熱和樂量子計算的實(shí)現(xiàn)

該節(jié)詳細(xì)闡述基于超導(dǎo)線路的普適非絕熱和樂量子計算的實(shí)現(xiàn)[22].由于具有良好的可測量和可擴(kuò)展性，超導(dǎo)量子線路被視為實(shí)現(xiàn)量子計算的一個有前途的平臺.最近研究表明超導(dǎo)transmon比特的高能級有較長的相干時間，這就意味著transmon比特可作為穩(wěn)定的多能級量子體系.然而，transmon比特只具有弱非諧性，通過傳輸線諧振腔與transmon比特間的色散耦合實(shí)現(xiàn)的比特間相互作用將導(dǎo)致頻譜擁擠.關(guān)于該節(jié)討論的非絕熱和樂量子計算，由于非平庸的兩比特和樂量子門需要復(fù)雜的比特間相互作用，其實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)仍是一個嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).

如圖4所示，改變與transmon比特共振耦合的兩個微波場的振幅和相位差，可實(shí)現(xiàn)通用的單比特和樂量子門，其中的單比特量子門采用2.3節(jié)提到的共振單圈多脈沖方案構(gòu)建.此外，非平庸的兩比特量子門是通過傳輸線諧振腔與兩個比特分別耦合、微波場驅(qū)動比特來實(shí)現(xiàn)的.文獻(xiàn)[41]提出有效共振可調(diào)的傳輸線諧振腔與比特耦合方案， 其中3個耦合的量子體系同樣視為單激發(fā)子空間中的3能級體系，因此與單比特和樂量子門構(gòu)建過程類似，非平庸的兩比特和樂量子門的構(gòu)建也可通過相同的過程實(shí)現(xiàn).另外，文獻(xiàn)[22]提出的方案容易拓展為2維晶格體系，可用于拓展的量子計算.

(a):兩束微波場與transmon比特三個能級的共振耦合；(b):單比特門的幾何演化；(c):非平庸的兩比特門中的耦合；(d):兩個量子比特與傳輸線諧振器的等效耦合；(e):方案的可擴(kuò)展性示意圖，其中原圈表示transmon比特、單鍵表示傳輸線諧振器.圖4 文獻(xiàn)[22]中量子門實(shí)現(xiàn)的相關(guān)模型示意圖

2.4.1 任意的和樂單比特門

圖4中，量子比特為transmon比特，其可視為具有非諧性質(zhì)的諧振子，相應(yīng)的哈密頓量為

(31)

HI=HI0+Hosc=Ω0e(t)eiφ0|g〉〈e|+Ω1e(t)eiφ0|f〉〈e|+H.c.+

Ω0e(t)eiφ0eiαt|g〉〈e|+Ω1e(t)eiφ0eiαt|f〉〈e|+H.c.，

(32)

其中：ωeg=f0，ωfe=f1.Hosc為引起振蕩的相互作用項(xiàng)，通過忽略頻率為2f0，2f1，f0+f1高頻振蕩項(xiàng)，體系哈密頓量有效形式可寫為

H1=Ω0e(t)eiφ0|g〉〈e|+Ω1e(t)eiφ0|f〉〈e|+H.c.=

(33)

(34)

式(34)描述的是繞軸n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)做γ/2角度的旋轉(zhuǎn)，通過選擇不同(θ,φ)，可構(gòu)建出任意的單比特量子門.哈密頓量驅(qū)動演化空間實(shí)現(xiàn)完整的路徑循環(huán)(見圖4 (b))，其演化路徑的立體角正是對應(yīng)的幾何相位.需要強(qiáng)調(diào)的是，文獻(xiàn)[22]提出方案中的Ω(t)是波形可任意調(diào)節(jié)的脈沖，為分析單比特門的整體性能，綜合考慮所有誤差，用主方程計算，計算結(jié)果表明可得到保真度很高的門.

文獻(xiàn)[22]中的方案已在超導(dǎo)實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證[38].簡化的實(shí)驗(yàn)裝置如圖5(a)所示，其中兩對transmon比特分別與對應(yīng)的兩個微波腔耦合，這兩個微波腔分別用于實(shí)驗(yàn)信息讀出和存儲.如圖5(b)所示，實(shí)驗(yàn)過程為：初態(tài)制備、微波驅(qū)動的量子門的構(gòu)建、測量結(jié)果的讀出，最終在比特Q1中實(shí)現(xiàn)和樂門.

圖5 文獻(xiàn)[38]中的實(shí)驗(yàn)裝置(a)及實(shí)驗(yàn)過程(b)

圖6 為文獻(xiàn)[38]中的量子過程層析結(jié)果.分析圖6 (a)，(b)可知，φ=0時不同參數(shù)(θ,γ)下量子門的平均保真度Funatt=0.994.由圖6(c)可知，門操作I,X,-iY,Z的保真度分別達(dá)到0.997，0.996，0.996，0.996(考慮補(bǔ)充誤差后對應(yīng)的結(jié)果分別為0.976，0.980，0.963，0.988).

(a):單比特和樂量子門無衰減χ矩陣的保真度；(b):矩陣的跡隨參數(shù)θ和γ變化的結(jié)果；(c):基礎(chǔ)操作門的量子層析結(jié)果.圖6 文獻(xiàn)[38]中的量子過程層析結(jié)果

文獻(xiàn)[38]中采用了隨機(jī)基準(zhǔn)(RB)度量門方法，此方法不依賴高精度的態(tài)制備和測量技術(shù).圖7為 RB測量步驟及其對應(yīng)結(jié)果.通過選取參數(shù)(θ,γ,φ)，得到最終的單比特和樂門的平均保真度為0.996，和樂門Xπ，Xπ/2，H，Zπ的RB測量的結(jié)果分別為0.998，0.996，0.997，0.995.此結(jié)果與量子過程層析及理論數(shù)值模擬的結(jié)果幾乎一致，表明超導(dǎo)系統(tǒng)中和樂門構(gòu)建方案具有可行性.

圖7 文獻(xiàn)[38]中RB測量步驟(a)及其對應(yīng)結(jié)果(b)

2.4.2 非平庸的和樂兩比特門

考慮兩個比特分別與非線性傳輸線諧振器耦合，其非諧性大小與比特的非諧性相當(dāng).圖4 (c)中，傳輸線諧振器和微波場分別耦合誘導(dǎo)|g〉?|e〉和|f〉?|e〉，所對應(yīng)的能級差頻率分別為ωge和ωfe.非線性傳輸線諧振器及微波場與第i個比特的耦合強(qiáng)度分別為gi和Ωi，且對應(yīng)頻率分別為ωc和ωi.另外，這兩種耦合構(gòu)成雙光子共振，即：ωc-ωge=ωfe-ωi=Δ>α.當(dāng)Δ?{gi,Ωi}時，通過調(diào)節(jié)驅(qū)動場頻率(Ωi)實(shí)現(xiàn)AC Stark位移[22]的消除，最終相互作用體系的哈密頓量可寫為

(35)

在單激發(fā)子空間S1=span{|f0g〉,|g0f〉,〈g1g|}中，相互作用哈密頓量可改寫為

(36)

(37)

其為非平庸的和樂兩比特量子門.

下面討論兩比特門的性能.取Δ=2π×1 GHz，gi=2π×65 MHz，運(yùn)算可得等效耦合強(qiáng)度隨時間變化的表達(dá)式為

(38)

其中：T=40 ns，g0?2π×11.8 MHz.當(dāng)?=π/2，誘導(dǎo)得到的兩比特門是交換型(SWAP-like)兩比特門.如圖8所示，當(dāng)初態(tài)為|fg〉時，門的保真度為F2=0.994.需要強(qiáng)調(diào)的是，文獻(xiàn)[22]中的模擬是嚴(yán)格按原始哈密頓量進(jìn)行的，換句話說，哈密頓量包括由強(qiáng)微波驅(qū)動產(chǎn)生的高階效應(yīng)，如非共振躍遷至transmon高階能級上的泄露.文獻(xiàn)[22]中方案的缺點(diǎn)為：由于脈沖的振幅是含時的，這將導(dǎo)致AC Stark位移項(xiàng)也是含時的，但這可通過調(diào)節(jié)脈沖頻率ωi進(jìn)行補(bǔ)償.此外，目前的方案可將transmon比特和傳輸線諧振器以交錯的矩形拓展為一個2維的平面網(wǎng)格(見圖4 (d)).

圖8 文獻(xiàn)[22]中的態(tài)的布居和門的動力學(xué)保真度

2.5 噪聲抑制

實(shí)際量子計算的完成需要糾錯方案(如表面糾錯碼[42-43])，以精確獲取量子計算的結(jié)果.和樂量子計算因其幾何特性帶來的抗噪優(yōu)勢而備受關(guān)注，近期在不同物理系統(tǒng)中均得到了實(shí)現(xiàn)，但實(shí)驗(yàn)設(shè)備的不完善及實(shí)驗(yàn)操作的精度不高會大大降低量子門的性能.文獻(xiàn)[44]認(rèn)為系統(tǒng)誤差(耦合強(qiáng)度誤差)會導(dǎo)致和樂門的保真度低于動力學(xué)門的保真度.針對這個問題，可通過額外的優(yōu)化控制來增強(qiáng)幾何魯棒性，以及通過調(diào)控計算基矢的路徑來完成額外的演化周期次數(shù)，從而降低系統(tǒng)誤差[15,20].

實(shí)驗(yàn)中的物理系統(tǒng)不可避免與周圍的環(huán)境產(chǎn)生相互作用，退相干效應(yīng)產(chǎn)生的耗散成為獲得高保真量子門的最大阻礙.鑒于此，基于無退相干子空間編碼[45-47]的和樂量子計算方案[48-51]被提出，以抑制環(huán)境造成的集體退相干、增強(qiáng)和樂量子門的魯棒性.

3 可優(yōu)化的非絕熱和樂量子計算

為完成和樂量子門的構(gòu)建，平行輸運(yùn)條件需要時刻滿足，以剔除演化過程中產(chǎn)生的動力學(xué)相位.為每時每刻嚴(yán)格達(dá)到這一條件，不同能級的耦合脈沖必須是同步的，這使和樂量子門對系統(tǒng)噪聲非常敏感，大大降低了和樂量子門的魯棒性.為解決這一問題，需放寬此條件.文獻(xiàn)[40]給出了放松脈沖形狀限制的方案，為實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的非絕熱和樂量子計算提供了可能.

下面是文獻(xiàn)[40]方案的介紹.尋找一組輔助基矢{|νk(t)〉}，保證有效哈密頓量Heff(t)是對角的，也就是在l≠m時，滿足〈μm(0)|Heff(t)|μl(0)〉=0.演化算符可寫為

(39)

(40)

對于每一個k均成立，則得到的幺正演化算符一定是純幾何的.最終的幺正演化算符可寫為

(41)

因此，通過輔助基矢{|νk(t)〉}的選擇，可放松平行輸運(yùn)條件的限制，通過額外控制優(yōu)化，可增強(qiáng)方案的魯棒性.

只有當(dāng)系統(tǒng)的哈密頓量H(t)和由輔助基矢{|νk(t)〉}構(gòu)成的投影算符Πk(t)≡|νk(t)〉〈νk(t)|滿足Von-Neumann方程

(42)

時，矩陣才能對角化.非絕熱和樂量子計算和文獻(xiàn)[40]中方案的主要不同在于：非絕熱和樂量子計算要求平行輸運(yùn)條件在任意時刻的所有演化均成立，而文獻(xiàn)[40]方案中的可優(yōu)化的非絕熱和樂量子計算僅要求式(40)成立.限制條件的減少，使其可以和許多的優(yōu)化方案結(jié)合，以得到更高魯棒性的量子門[40].

4 總結(jié)和展望

筆者對非絕熱和樂量子計算的最新進(jìn)展進(jìn)行了概述，介紹了量子門的一般形式及其在超導(dǎo)系統(tǒng)中的物理實(shí)現(xiàn)，詳細(xì)闡述了和樂量子計算領(lǐng)域的理論及其實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的進(jìn)展.后續(xù)和樂量子計算，不僅要實(shí)現(xiàn)高保真度的通用量子門，還要探索和樂量子計算與參數(shù)可調(diào)的優(yōu)化方案相結(jié)合，提升抵御環(huán)境噪聲及實(shí)驗(yàn)誤差的魯棒性，為量子計算的實(shí)現(xiàn)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).