初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用

■甘肅省張掖市民樂縣第四中學(xué) 費博學(xué)

一、初中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的重要作用

在數(shù)學(xué)解題的過程中，分類討論思想可以看作是一種邏輯劃分思想，因此，在對分類討論思想進(jìn)行應(yīng)用的過程中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生建立起化整為零的思考方式，并在此基礎(chǔ)上讓其對學(xué)習(xí)的知識和遇到的習(xí)題進(jìn)行總結(jié)，通過這樣的方式更好地認(rèn)清習(xí)題和知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終達(dá)到扎實地掌握知識并靈活進(jìn)行運用的目標(biāo)。除了有效提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量之外，通過引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握分類討論思想，可以幫助學(xué)生在面對各種問題的時候更加清晰有序地進(jìn)行思考，不但可以更好地提升學(xué)生的解題準(zhǔn)確度，也可以大幅度提升學(xué)生的解題效率。學(xué)生在不斷對問題進(jìn)行分析和總結(jié)的過程中，領(lǐng)會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣所在，這對于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣是非常有幫助的。在初中數(shù)學(xué)的解題過程中，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用分類討論的思想進(jìn)行解題是非常有必要的。

二、初中數(shù)學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用原則

（一）互斥性原則

在應(yīng)用分類討論思想的過程中，互斥性原則一直是最基礎(chǔ)也是最核心的原則之一。在對目標(biāo)進(jìn)行分類的過程中，互斥性原則指的是分類之中的各個子項應(yīng)該保持相互排斥的原則，不能存在某一因素既可以屬于這個子項，又可以屬于另外一個或者幾個子項的情況。例如在學(xué)校開展聯(lián)歡會的過程中，A班有16名學(xué)生參加了唱歌、舞蹈以及小品演出，參加唱歌演出的學(xué)生共有8人，參加舞蹈演出的學(xué)生共有5人，參加小品演出的學(xué)生共有4人，在這種情況下，如果單純將17人分別劃分為參加唱歌、舞蹈和小品演出的學(xué)生，則會出現(xiàn)邏輯上的錯誤。為此，學(xué)生在應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題的過程中，需要充分遵守互斥性原則，避免出現(xiàn)上述的分類錯誤問題，從而更好地發(fā)揮出分類討論思想的重要作用。

（二）相稱性原則

除了互斥性原則之外，相稱性原則也是學(xué)生在應(yīng)用分類討論思想的過程中需要遵守的核心原則之一。相較于互斥性原則，相稱性原則更難以被學(xué)生所理解，因此需要教師對學(xué)生進(jìn)行一定的幫助和引導(dǎo)。在對目標(biāo)對象進(jìn)行分類的時候，學(xué)生需要更好地對目標(biāo)對象的主次進(jìn)行分析，確保其不存在遺漏或者疊加等問題。例如在初中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)三角形的過程中，學(xué)生可以將三角形分為等腰三角形、直角三角形以等，在對其分類的過程中，學(xué)生要時刻遵循相稱性原則，只有保證其分類子項的并集與母項的子集相稱，才可以保證分類過程中不存在問題，以此為發(fā)揮分類討論思想的作用打下良好的基礎(chǔ)。

三、初中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的應(yīng)用步驟

（一）全面了解題目

在應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題的過程中，學(xué)生首先需要對題目進(jìn)行全面了解。在目前的解題過程中，很多學(xué)生只是簡單地閱讀了題目便開始采用分類討論方法進(jìn)行解題，這使學(xué)生經(jīng)常在解題過程中產(chǎn)生思維混亂，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生解題困難或者解題出錯。為了更好地保證解題效率和準(zhǔn)確性，學(xué)生應(yīng)該全面對題目進(jìn)行解讀，了解題目特點后再應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題。

（二）確定分類標(biāo)準(zhǔn)

在對題目進(jìn)行解讀之后，應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題之前，學(xué)生還需要對分類討論的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行確定。通過設(shè)定分類標(biāo)準(zhǔn)并按標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，才可以更加全面準(zhǔn)確地進(jìn)行解題。例如在題目IaI=7，IbI=10，求a+b=？這一問題中，學(xué)生需要將a和b分別列為一類，從而進(jìn)行分類組合求解。

（三）逐一進(jìn)行討論

在完成上述步驟后，學(xué)生便可以開始應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題了，在解題的過程中，為了更好地避免出現(xiàn)遺漏或者錯誤的情況，學(xué)生應(yīng)該嚴(yán)格按照分類情況逐一進(jìn)行討論，通過這樣的方式可以更好地保證解題的效率以及準(zhǔn)確性。在完成解題之后，學(xué)生還需要養(yǎng)成對答案進(jìn)行檢查的好習(xí)慣，通過這樣的方式更好地提升數(shù)學(xué)習(xí)題的解答質(zhì)量。

四、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運用

（一）分類討論思想在應(yīng)用題中的運用

例題：某學(xué)具店在舉行促銷活動，其中鋼筆的原價是20元一支，筆記本的價格為4元一本。學(xué)具店為了更好地提升活動效果，給消費者提供了兩種優(yōu)惠方案，方案一為購買鋼筆和筆記本可以享受9折優(yōu)惠，方案二為買一支鋼筆贈送一本筆記本。王老師想要購買20支鋼筆和若干本筆記本，在只能選擇一種優(yōu)惠方式的情況下，應(yīng)該如何進(jìn)行購買？

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，上述問題是一種非常常見的應(yīng)用題類型，很多學(xué)生在第一次面對類似問題時，會由于題目中沒有給出王老師具體想要購買的筆記本數(shù)量而陷入茫然，導(dǎo)致自身失去解題思路和方法。在面對這樣的問題時，通過應(yīng)用分類討論的思想可以很好地對其進(jìn)行解決，教師只需要引導(dǎo)學(xué)生對王老師需要購買的筆記本數(shù)量進(jìn)行分類，并根據(jù)不同的情況分別進(jìn)行計算，即可非常輕松地對這類問題進(jìn)行解決。

解法：首先，設(shè)王老師需要購買的筆記本數(shù)量為x，方案一價格為y1，方案二價格為y2。

方案一：y1=（20×20+4x）×90%=360+3.6x元

方案二：y2=20×20+（x-20）×4=320+4x元

由此可得方案一與方案二之間差價y=y1-y2=40-0.4x

因此，在y=40-0.4x＞0，也就是x＜100的情況下，選擇方案二更好，在y=40-0.4x＜0，也就是x＞100的情況下，選擇方案一更好，在y=40-0.4x=0，也就是x=100的情況下，方案一與方案二價格相同。

（二）分類討論思想在三角形問題中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，三角形的相關(guān)問題一直是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重點也是難點。為了更好地提升三角形問題的解題速度和精確性，同時提升學(xué)生對于三角形相關(guān)問題的掌握能力。教師需要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用分類討論思想分析問題，以此更好地提升學(xué)生對該部分知識的掌握程度和應(yīng)用能力。

例題：已知一直角三角形的兩邊長度分別為30cm和40cm，求該三角形的第三邊長。

在進(jìn)行這道例題的講解過程中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將分類討論的思想應(yīng)用在題目之中，從而將問題分類為30cm、40cm的兩條邊為兩條直角邊，或者30cm、40cm分別對應(yīng)直角邊和斜邊這兩種情況。通過這樣的分類可以更好地幫助學(xué)生認(rèn)識到兩種情況的不同區(qū)別，并針對性地對其進(jìn)行求解。通過這樣的解題思路，學(xué)生的邏輯能力可以得到非常大的提升，同時也可以加深學(xué)生對初中幾何知識的學(xué)習(xí)興趣和掌握熟練度，這對于提升初中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量有著非常大的幫助。

（三）分類討論思想在圓中的應(yīng)用

在初中幾何學(xué)習(xí)的過程中，三角形和圓一直是學(xué)生較難掌握的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。在進(jìn)行圓相關(guān)的問題解題過程中，通過應(yīng)用分類討論思想，可以更好地讓學(xué)生認(rèn)識到問題的核心所在，并在此基礎(chǔ)上根據(jù)不同的分類情況針對性地進(jìn)行解題，這可以在很大程度上提升學(xué)生的解題效率和準(zhǔn)確度。

例題：半徑分別為40cm和60cm的兩個圓處于相切的狀態(tài)，兩個圓的圓心距離是多少。

在對這個問題進(jìn)行解答的過程中，學(xué)生非常容易產(chǎn)生先入為主的思想，進(jìn)而導(dǎo)致解題出現(xiàn)遺漏的情況。為了更好地避免類似問題的發(fā)生，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將分類討論思想應(yīng)用在解題的過程之中。首先學(xué)生需要考慮到兩圓相切共包含兩種情況，分別為兩圓內(nèi)切或者兩圓外切，在題目中并沒有給出明確說明兩圓屬于內(nèi)切還是外切的情況下，學(xué)生應(yīng)該針對這兩種情況分別進(jìn)行計算，并求出兩種情況下的圓心距離。通過應(yīng)用分類討論思想，可以更好地避免學(xué)生片面地思考問題，幫助學(xué)生以一個更加全面的角度去看待問題，這樣不但對于學(xué)生解題能力的提升有著很大幫助，同樣也會為學(xué)生未來的發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。

五、結(jié)語

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題的過程中，分類討論思想一直是數(shù)學(xué)思維中非常重要的思維方式之一，教師通過對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，幫助其掌握分類討論思想，可以讓學(xué)生更加直觀地了解到各種數(shù)學(xué)題目之中問題的核心，從而讓學(xué)生快速地掌握這一類型問題的解題思路。在這樣的情況下，對于提升學(xué)生的解題效率和精準(zhǔn)度都有著非常大的幫助。除此之外，應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題還可以更好地活躍學(xué)生的思維，通過這樣的形式讓學(xué)生可以靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決各種問題，這對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以及實際應(yīng)用能力有著非常大的幫助。