待定系數(shù)法在圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的應(yīng)用

王瑞華

摘要：待定系數(shù)法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的數(shù)學(xué)方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)的圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題中有著廣泛使用。本文簡(jiǎn)單闡述了待定系數(shù)法的概念、理論依據(jù)及其解題步驟，并通過(guò)具體的實(shí)例重點(diǎn)論述了待定系數(shù)法在圓錐曲線中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：待定系數(shù)法;圓錐曲線;中學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）11-0009

一、待定系數(shù)法的定義及其理論依據(jù)

將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新形式，這樣就得到一個(gè)恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的方程或方程組，其后通過(guò)解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方法叫作待定系數(shù)法。更廣泛地說(shuō)，是要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知數(shù)，然后根據(jù)所給條件確定這些未知數(shù)，使問(wèn)題得到解決的方法。其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式[f（x）≡g（x）]的充要條件：對(duì)于一個(gè)任意的[a]值，都有[f（a）=g（a）];或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。

二、待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟

利用待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程，使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決。要判斷一個(gè)問(wèn)題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法解題的一般步驟可歸納為以下三點(diǎn)。

1. 確定所求問(wèn)題含待定系數(shù)的解析式;

2. 根據(jù)恒等條件，列出一個(gè)（組）含待定系數(shù)的方程;

3. 解方程或消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決。

如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程;由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程;利用定義本身的屬性列方程;利用幾何條件列方程。

三、待定系數(shù)法在圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的應(yīng)用

橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)方法相同，得出方程形式類(lèi)似，所以它們的解法也就有很多共同點(diǎn)，比如：已知曲線的軌跡是橢圓或雙曲線時(shí)，求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)都可用待定系數(shù)法，若焦點(diǎn)位置確定，直接設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)求解;但若焦點(diǎn)位置不確定，直接設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)求解需要討論兩種情況，有可能會(huì)導(dǎo)致漏解或過(guò)程繁瑣，運(yùn)算量增大。這就要加強(qiáng)對(duì)題目條件合理的使用，對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹案脑臁?，達(dá)到避繁就簡(jiǎn)，事半功倍的效果。

例1：已知橢圓[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]的離心率為[22]，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)[F1]、[F2]為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為[4（2+1）]。一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)[P]為該雙曲線上已于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線[PF1]和[PF2]與橢圓的交點(diǎn)分別為[A]、[B]和[C]、[D]。求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：設(shè)橢圓的半焦距為[c]，則橢圓的離心率為[ca=22]?？傻玫疥P(guān)系式[2a+2c=4（2+1）]，即得[a=22]，[c=2]，根據(jù)[a2=b2+c2]，得[b=2]，故標(biāo)準(zhǔn)方程為[x28+y24=1]。設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2m2-y2m2=1][（m>0）]，由于等軸雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，則有[m=2]。

評(píng)注：要用待定系數(shù)法求解解析式，首先要知道函數(shù)解析式的形式，然后用字母表示出解析式，然后根據(jù)題目中給出的已知條件解出未知數(shù)，最后寫(xiě)出解析式。

例2：求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)[A（2，22）]，[B（-2，-32）]的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：可設(shè)橢圓的方程為[mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n）]，將[A（2，22）]，[B（-2，-32）]兩點(diǎn)帶入，得[4m+12n=1]和[2m+34n=1]，解得[m=18]，[n=1]。故標(biāo)準(zhǔn)方程為[x28+y2=1]。

評(píng)注：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在[x]軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2a2+y2b2=1]，焦點(diǎn)在[y]軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2b2+y2a2=1]。從形式上看，[1a2]和[1b2]分別是[x2]和[y2]前的系數(shù)，所以可以將標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一改造成[mx2+ny2=1]，當(dāng)[m>n>0]時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在[y]軸上;當(dāng)[n>m>0]時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在[x]軸上，從而避免了討論。

待定系數(shù)法實(shí)際就是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)建立等式關(guān)系，從而列出方程或方程組，解方程或方程組即可得待定的未知數(shù)，只需根據(jù)題目給出的條件解題即可。用待定系數(shù)法解題，思路較為清晰，操作比較方便，在很多解題過(guò)程中都可以用到。但是在解題過(guò)程中，待定系數(shù)法并不是最為簡(jiǎn)單、合適的方法。因此解題時(shí)要根據(jù)具體的題目，選擇簡(jiǎn)單又適合的方法。

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基金項(xiàng)目：重慶市研究生教育教學(xué)改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目：基于創(chuàng)新理念的系統(tǒng)理論研究生專(zhuān)業(yè)課程體系優(yōu)化研究（yjg182019）。

（作者單位：重慶市沙坪壩區(qū)大學(xué)城第一中學(xué)校 ? 400000）