函數(shù)知識(shí)引領(lǐng)與題型點(diǎn)擊

摘要：函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)各主干知識(shí)的交匯點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思想、方法的綜合點(diǎn)，也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，更是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的切入點(diǎn)。所以，函數(shù)便理所當(dāng)然地成為歷年來(lái)高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。以下筆者談?wù)労瘮?shù)的熱點(diǎn)題型。

關(guān)鍵詞：函數(shù);向量知識(shí);信息遷移

中圖分類號(hào)：G633.6 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）11-0123

一、以三次函數(shù)為主線的問(wèn)題

三次函數(shù)交匯了不等式、方程、解析幾何等眾多知識(shí)點(diǎn)，以它為載體的試題背景新穎、獨(dú)特，選拔功能強(qiáng)。由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，因此以導(dǎo)數(shù)為工具，可用二次函數(shù)知識(shí)對(duì)三次函數(shù)的形態(tài)進(jìn)行研究。

例1：已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-[23]與x=1時(shí)都取得極值。

1. 求a，b的值;

2. 若對(duì)x∈[-1，2]，f（x）

思路分析：因?yàn)楹瘮?shù)在x=-[23]與x=1時(shí)都取得極值，所以其導(dǎo)數(shù)值為0，可求得a=-[12]，b=-2于是f（x）=x3-[12]x2-2x+c，

且當(dāng)x∈[-1，-[23]]，f（x）>0，x∈[-[23]，1]，f（x）<0。

所以當(dāng)x=-[23]時(shí)，f（x）有極大值為[f（-23）]=[2227+c]，

因f（2）=2+c>[f（-23）]。

所以當(dāng)x∈[-1，2]，f（x）的最大值為f（2）=2+c。

因?yàn)閤∈[-1，2]，f（x）

所以c2>2+c，c<-1，或者c>2故c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）。

友情提醒：

（1）考查三次函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問(wèn)題，要通過(guò)對(duì)三次函數(shù)的求導(dǎo)，可將“三次”變?yōu)椤岸巍?，于是轉(zhuǎn)化為考查熟悉的二次函數(shù)、二次方程及相關(guān)問(wèn)題。

（2）對(duì)于恒成立問(wèn)題，例如x∈[-1，2]，f（x）

x∈[-1，2]，f（x）的最大值

例2：求過(guò)點(diǎn)P（0，0）且與曲線y=f（x）=-[23]x3+x2+4x相切的切線方程。

思路分析：因?yàn)辄c(diǎn)P（0，0）在曲線上，它可以是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P（0，0）是切點(diǎn)時(shí)，由k=f ′（0）=4，求得切線方程為y=4x，當(dāng)點(diǎn)P（0，0）不是切點(diǎn)時(shí)，另設(shè)切點(diǎn)Q（x0，y0），（x0≠0），則以Q為切點(diǎn)的切線的斜率為k1=-2x0+2x0+4，又k1=kPQ=[y0x0]=-[23x20]+x0+4，解得x0=[34]，k1=[358]，得切線方程為y=[358x]。故過(guò)點(diǎn)P（0，0）且與曲線y=f（x）=-[23]x3+x2+4x相切的切線方程有兩條，其方程為y=4x和y=[358x]。此時(shí)，一個(gè)切點(diǎn)是P（0，0），另一個(gè)切點(diǎn)是Q（[34，10532]）。

友情提醒：

1. 求過(guò)一點(diǎn)P（x0，y0）的曲線y=f（x）的切線方程與求過(guò)曲線y=f（x）上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程，雖然是同一類問(wèn)題，但有所不同。前者曲線的切線其切點(diǎn)可以是P（x0，y0），也可以是曲線上其余的點(diǎn);切線可以存在，也可不存在。若存在，切線可以不唯一。而后者一般情況下，點(diǎn)P（x0，y0）是曲線的切點(diǎn)，以P（x0，y0）為切點(diǎn)的切線是唯一存在的。

2. 曲線與直線相切，并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)曲線是二次曲線時(shí)，直線和曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。這種觀點(diǎn)對(duì)一般的曲線不一定正確，上例正說(shuō)明了這一點(diǎn)。

拓展引申：（1）已知拋物線C1∶y=x2+2x和拋物線C2∶y=-x2+a，當(dāng)a取什么值時(shí)，C1，C2有且僅有一條公切線？寫出公切線l的方程。

解析：設(shè)公切線L切于C1于點(diǎn)P1（x1，y1），切C2于點(diǎn)P2（x2，y2），則L的方程有兩種表達(dá)方式：y-y1=（2x1+2）（x-x1）…①y-y2=-2x2（x-x2）…②，y1=[x21]+2x1，y2=[x22]+a，①②分別是y=（2x1+2）x-[x21]，y=-2x2x+[x22]+a，

∴[2x1+2=-2x2-x21=x22+a]<e：＼雜志＼2019＼11下＼11下6-12＼06教學(xué)反思＼韋忠文（孟憲玲）函數(shù)復(fù)習(xí)要111-兩個(gè)版-119＼image37.pdf>消x2得2[x21]+2x1+1+a=0，

由題意知：Δ=4-8（1+a）=0，a=-[12]，x1=x2=-[12]，y1=y2=-[34]，

所以P1，P2重合，故當(dāng)a=-[12]時(shí)，C1，C2有且僅有一條公切線，其方程為y=x-[14]。

（2）已知函數(shù)①若函數(shù)f（x）=x3-[12]x2+bx+c的圖像有與x軸平行的切線，求b的取值范圍;②若f（x）在x=1時(shí)取得極值，且x∈[-1，2]時(shí)，f（x）

解析：①f ′（x）=3x2-x+b，設(shè)切點(diǎn)P（x0，y0），則f（x）在點(diǎn)P的切線的斜率k=f ′（0）=3x0-x0+b，由題意，k=f ′（0）=3x0-x0+b=0有解，故有Δ=1-12b≥0，∴b≤12。

②因?yàn)閒（x）在x=1時(shí)取得極值，所以x=1為方程f ?′（x）=3x2-x+b=0的一個(gè)根，

∴b=-2 由3x2-x-2=0可得f ′（x）=0的另一個(gè)根x2=-[23]當(dāng)x<-[23]或x>1，f ′（x）>0，

所以當(dāng)x∈[-1，2]，時(shí)，f（x）在[-1，-[23]]上是增函數(shù)，

在（-[23]，1）是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)。

所以f（x）有極大值f（-[23]）=[2227+c]又f（2）=2+c。

所以當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)f（x） 有最大值f（2）=2+c，

因?yàn)閒（x）

∴2+c2。

反思：本題第（1）題利用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程有解問(wèn)題。第（2）題為恒成立問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值。

二、以抽象函數(shù)為主線的問(wèn)題

這里所謂的抽象函數(shù)，是指只給出函數(shù)的一些性質(zhì)，而未給出函數(shù)解析式的一類函數(shù)。抽象函數(shù)一般以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景，且構(gòu)思新穎、條件隱蔽、技巧性強(qiáng)、解法靈活。因此抽象函數(shù)在近幾年的各種考試中，成為考查的重點(diǎn)。

例3：定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：

（1）對(duì)任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（[x+y1+xy]）;

（2）當(dāng)x∈（-1，0），時(shí)，有f（x）>0，

求證：f（[15]）+f（[111]）+…+f（[1n2+3n+1]）>f（[12]）。

思路分析：先賦值判斷奇偶性，令x=y=0，得f（0）=0，再令y=-x，得f（x）+f（-x）=0，所以f（x）是奇函數(shù)。再利用定義證明f（x）在x∈（-1，0）時(shí)是減函數(shù)，則在x∈（0，1）上仍然是減函數(shù)，且f（x）<0。最后將f（[1n2+3n+1]）裂項(xiàng)為f（[1n+1]）-f（[1n+2]），于是f（[15]）+f（[111]）+…+f（[1n2+3n+1]）=[f（[12]）-f（[13]）]+[f（[13]）-f（[14]）]+…+[f（[1n+1]）-f（[1n+2]）]=f（[12]）-f（[1n+2]）>f（[12]）。

友情提醒：

（1）本題先確定函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用裂項(xiàng)求和進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)條件用放縮法證明不等式;在解題過(guò)程中，利用題設(shè)充分挖掘隱含條件，開(kāi)拓解題思路，使問(wèn)題得到解決。

（2）解決抽象函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵是挖掘函數(shù)的特征，考慮特殊值的代入、類比、推理等方法，或脫去抽象函數(shù)中的記號(hào)f，化為具體函數(shù)解決。

拓展引申：

1. 設(shè)a是常數(shù)，函數(shù)f（x）對(duì)一切x∈R都滿足f（a-x）=-f（a+x）。

求證：函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）成中心對(duì)稱圖形。

解析：證明一個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱性問(wèn)題，只需在此函數(shù)圖像上任取一點(diǎn)P，證明它的對(duì)稱點(diǎn)Q也在其圖像上。

證明：∵f（a-x）=-f（a+x）對(duì)一切x∈R都成立，

∴f（x）=f[a-（a-x）]=-f[a+（a-x）]=-f（2a-x）]，所以在f（x）的圖像上任取一點(diǎn)（x0，y0），則其關(guān)于（a，0）的對(duì)稱點(diǎn)（2a-x0，-y0）也在其圖像上，所以函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）成中心對(duì)稱圖形。

2. 已知函數(shù)f（x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)x滿足f（x）=f（12-x），若方程f（x）=0有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，這n個(gè)實(shí)數(shù)根的和是48，求n的值。

解析：由方程根的意義及等式f（x）=f（12-x）的意義知，方程的根是成對(duì)出現(xiàn)的，且成對(duì)兩根之和是12。

由方程f（x）=f（12-x）知，如果x0是方程的根，那么12-x0也是方程的根，且x0≠12-x0，x0+（12-x0）=12，由48=12×4，可知方程f（x）=0有四對(duì)不同的實(shí)數(shù)根，即方程f（x）=0有8個(gè)不同的實(shí)根。所以n=8。

三、以向量知識(shí)為背景的函數(shù)問(wèn)題

向量由于具有幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份，能容數(shù)形于一體，因此以向量的相關(guān)知識(shí)為載體，以數(shù)形轉(zhuǎn)化思想方法為主線的函數(shù)問(wèn)題，其設(shè)計(jì)創(chuàng)新力度較大、綜合性較強(qiáng)，已成為近年高考的新熱點(diǎn)。

例4：（2005年湖北高考題）已知向量[a]=（x2，x+1），[b]=（1-x，t），若函數(shù)f（x）=[a·b]在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。

思路分析：

先求出f（x）=x2（1-x）+t（x+1）=-x3+x2+tx+t，則f ′（x）=-3x2+2x+t，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，則在（-1，1）上f ′（x）≥0，則t≥3x2-2x在區(qū)間（-1，1）上恒成立。

考慮函數(shù)g（x）=3x2-2x在（-1，1）的取值范圍，有g(shù)（x）

當(dāng)t≥5時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上滿足f ′（x）>0，即函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，故t≥5。

友情提醒：

1. 本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)分析和解決問(wèn)題。

2. 研究近幾年高考試題，發(fā)現(xiàn)平面向量與函數(shù)知識(shí)交匯融合的創(chuàng)新潛力較大，已漸成高考的熱點(diǎn)。

拓展引申：

設(shè)平面向量[a]=（[32]，-[12]），[b]=（[12]，[32]）若存在不同時(shí)為零的兩個(gè)實(shí)數(shù)s，t及實(shí)數(shù)k，使[x]=[a]+（t2-k）[b]，[y]=-s[a]+t[b]，且[x]⊥[y]。

（1）求函數(shù)關(guān)系式s=f（t）;

（2）若函數(shù)s=f（t）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍。

解析：（1）∵[a]=（[32]，-[12]），[b]=（[12]，[32]），

∴|[a]|=|[b]|=1，[a]·[b]=0，又[x]⊥[y]，

∴[x]·[y]=0，即[[a]+（t2-k）[b]]·（-s[a]+t[b]=0

∴-s+t（t2-k）=0，

∴s=f（t）=t3-kt。

（2）f ′（t）=2t2-k，∵f（t）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以在[1，+∞）上有f ′（t）≥0，或f ′（t）≤0。由f ′（t）≥0，可得，k≤3t2，∴k≤（3t2）min，k≤3。由f ′（t）≤0可得k≥3t2，而y=3t2在[1，+∞）上是增函數(shù)，沒(méi)有最大值。此時(shí)，不存在k使k≥3t2在[1，+∞）上恒成立。故k的取值范圍是k≥3。

四、信息遷移中的函數(shù)問(wèn)題

數(shù)學(xué)信息題一般取材較新，多以社會(huì)熱點(diǎn)或最新科技動(dòng)態(tài)為背景，具有濃郁的時(shí)代特征和生活氣息。在題目中給出的是新情景、新結(jié)構(gòu)、新概念、新函數(shù)、新運(yùn)算等信息，要求學(xué)生在考試時(shí)完成現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)，在短時(shí)間內(nèi)從大量的信息中捕捉相關(guān)信息，通過(guò)分析、歸納，探索有關(guān)規(guī)律，應(yīng)用聯(lián)想、猜想、演繹、類比、遷移等方法將它與已有的知識(shí)結(jié)合起來(lái)，把所學(xué)的知識(shí)遷移到新的情景中，去做進(jìn)一步推理、運(yùn)算、證明，才能獲得解決。

例5：設(shè)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，又是最小正周期為π的周期函數(shù)，而且f（x）在（0，[π2]）上是增函數(shù)，試寫出函數(shù)f（x）的解析式。

思路分析：

這是結(jié)論開(kāi)放型信息遷移題，由于f（x）是周期函數(shù)，故容易想到從三角函數(shù)入手進(jìn)行探究。

想到函數(shù)f（x）=[sinx]符合條件;由此可得f（x）=[1-cos2x]也符合條件;由余弦函數(shù)性質(zhì)可得f（x）=-cos2x符合條件，由此可得f（x）=acos2x+b，（a，b∈R，a<0）;由于sin2x=[1-cos2x2]，故f（x）=sin2x也符合要求;從復(fù)合函數(shù)的角度來(lái)思考，還有f（x）=[esinx];一般地有f（x）=[asinx]，（a>1）也滿足條件。

友情提醒：

1. 此類問(wèn)題讀懂題意是關(guān)鍵的一步。搞清題意才能確定探索方向，尋找合理的解題途徑。

2. 我們常見(jiàn)的是已知f（x）的解析式來(lái)分析f（x），即使是求解析式也往往是已知圖像或者函數(shù)的一部分解析式，這樣的解答結(jié)果是唯一確定的;而本問(wèn)題卻是反其道而行之，給出函數(shù)奇偶性、單調(diào)性和周期性性質(zhì)，反過(guò)來(lái)寫出符合條件的函數(shù)，將信息逆向遷移，具有開(kāi)放性。

（作者單位：江蘇省懷仁中學(xué) ? ?214196）