含有高階非線性kerr效應的薛定諤方程的解

王 媛

(山西能源學院， 山西 晉中 030600)

0 引言

光纖通訊中超短光脈沖的傳導可由階數(shù)更高的非線性薛定諤方程描述，本文主要研究一個含有高階非線性kerr效應的薛定諤方程， 其方程如下[1]：

iuz+utt+2|u|2u+iαuttt+iβ(u|u|2)t+iγ(u|u|4)t+δu|u|4=0.

(1)

此方程是由Radhakrishnan，Kundu，Lakshmanan提出的，描述的是飛秒級的光脈沖在光纖通訊中的傳輸.

一些專家和學者對此方程進行過研究[2-5]，本文主要是利用符號計算系統(tǒng)Maple以及廣義的Jacobu展開方法[6]對此方程進行研究， 以便可以得到此方程更多形式的解.

1 廣義的Jacobi展開方法

給出一個非線性方程如下

P(u，ut，uz，utt，uzt…)=0.

(2)

1)設u=u(ξ)，ξ=k(z-ct)，將(2)式化為關(guān)于ξ的微分方程

F(u，u′，u″，…)=0.

(3)

2)設

u(ξ)=a0+a1cn(ξ)+a2sn(ξ)+a3dn(ξ).

(4)

其中：

sn(ξ)=JacobiSN(ξ，m)，cn(ξ)=JacobiCN(ξ，m)，dn(ξ)=JacobiDN(ξ，m)

cn2(ξ)=1-sn2(ξ)，dn2(ξ)=1-r2sn2(ξ).

(5)

sn′(ξ)=cn(ξ)dn(ξ)，cn′(ξ)=-sn(ξ)dn(ξ)，dn′(ξ)=-r2sn(ξ)cn(ξ).

(6)

3)將(4)、(5)、(6)代入(3)，提取sni(ξ)cnj(ξ)dnk(ξ)(i=0，1，…;j=0，1;k=0，1)的系數(shù)并令其為0，可以得到關(guān)于ai(i=0，…，3)，k，c的非線性方程組;

4)借助于數(shù)學軟件Maple解上述非線性方程組，可以得到ai(i=0，…，3)，k，c.

2 方程(1)的周期解

首先對方程(1)做如下變換

u(z，t)=φ(ξ)eiη，ξ=kt+ωz，η=λt+μz.

(7)

其中k，ω，λ，μ是常數(shù).將(7)代入(1)，得到

(3αλ-1)k2φ''=(αλ3-λ2-μ)φ+(2-λβ)φ3+(δ-λγ)φ5.

(8)

αk3φ'''+(ω+2λk-3αλ2k)φ′+3βkφ2φ′+5γkφ4φ′=0.

(9)

情形一： 當3αλ-1≠0時，將(9)積分并令其積分常數(shù)為0，得到

αk3φ''=-(ω+2λk-3αλ2k)φ-βkφ3-γkφ5.

(10)

由(8)、(10)進一步可得

其中

這樣(8)、(10)就變?yōu)?/p>

(11)

為了得到方程的解，做如下變換

(12)

將(12)代入(11)得

-αk3(2ψψ''-ψ'2)-(8kλ-12αλ2k+4ω)ψ2-4kβψ3-4kγψ4=0.

(13)

假設(13)有如下形式的解

ψ(ξ)=a0+a1cn(ξ)+a2sn(ξ)+a3dn(ξ).

(14)

其中，ai(i=0，…，3)是常數(shù)，將(14)代入(13)，得到了方程(1)7種形式的解，具體如下(其中m為雅可比橢圓函數(shù)的模)：

其中

μ=-(180k4m4δγ2-36k4m2δγ2+64k6m6δ5+48k4m4δ4-36δ3k2m2+405γ2k2m2-

81γ2k2-27δ2)/(288k2m2δγ2).

其中

μ=-(180k4δγ2-36k4m2δγ2+64k6δ5+48k4δ4-36k2δ3+405γ2k2-81γ2k2m2-27δ2)/(288k2δγ2).

其中

μ=(144k4m4δγ2+36k4m2δγ2-64k6m6δ5+48k4m4δ4+36δ3k2m2-324γ2k2m2-

81γ2k2-27δ2)/(288k2m2δγ2).

其中

μ=(144k4δγ2+36k4m2δγ2-64k6δ5+48k4δ4+36k2δ3-324γ2k2-81γ2k2m2-27δ2)/(288k2δγ2).

其中

ω=(-36γ2k2+45γ2k2m2+16δ4k4-32δ4k4m2+24δ3k2-24δ3k2m2+16δ4k4m4-27δ2)/48δ2γk(m2-1).

μ=(-64k6m6δ5-144k4δγ2+192k6m4δ5-192k6m2δ5+96δ4k4m2-48δ4k4m4+36δ3k2m2+64k6δ5-

48k4δ4-36k2δ3-405γ2k2m2+324γ2k2+324γ2k4m2δ-180k4m4γ2δ+27δ2)/288k2δγ2(m2-1).

其中

ω=(9γ2k2+27γ2k2m+9γ2k2m2-δ4k4m4-4δ4k4m3-6δ4k4m2-

6δ3k2m2-4δ4k4m-12δ3k2m-δ4k4-6δ3k2+27δ2)/12δ2(m+1)2γk.

μ=(12δ4k4m3+18δ4k4m2+3δ4k4+9δ3k2-81γ2k2-243γ2k2m-81γ2k2m2+9δ3k2m2+12δ4k4m+

18δ3k2m+45δk4γ2m3+72k4δγ2m2+9k4δγ2m4+45k4δγ2m-k6δ5-20k6δ5m3-15k6δ5m2+9k4δγ2-

6k6δ5m-k6δ5m6-6k6δ5m5-15k6δ5m4+3δ4k4m4-27δ2)/72γ2(m+1)2δk2.

其中

ω=(9γ2k2-27γ2k2m+9γ2k2m2-δ4k4m4+4δ4k4m3-6δ4k4m2-

6δ3k2m2+4δ4k4m+12δ3k2m-δ4k4-6δ3k2+27δ2)/12δ2(m-1)2γk.

μ=(-12δ4k4m3+18δ4k4m2+3δ4k4+9δ3k2-81γ2k2+243γ2k2m-81γ2k2m2+9δ3k2m2-12δ4k4m-

18δ3k2m-45δk4γ2m3+72k4δγ2m2+9k4δγ2m4-45k4δγ2m-k6δ5+20k6δ5m3-15k6δ5m2+

9k4δγ2+6k6δ5m-k6δ5m6+6k6δ5m5-15k6δ5m4+3δ4k4m4-27δ2)/72γ2(m-1)2δk2.

情形二：當

3αλ-1=0 .

方程(8)變成

(αλ3-λ2-μ)φ+(2-λβ)φ3+(δ-λγ)φ5=0 .

令φ，φ3，φ5得系數(shù)為0，可以得到

(15)

將(15)代入(9)，得到

3α2k3φ''+(3αω+k)φ+18α2kφ3+9δα2kφ5=0.

(16)

為了得到方程的周期解，做如下變換

(17)

將(17)代入(16)得

3α2k3(2ψψ''-ψ'2)+(12αω+4k)ψ2+72α2kψ3+36δα2kψ4=0.

(18)

假設(18)有如下形式的解

ψ(ξ)=a0+a1cn(ξ)+a2sn(ξ)+a3dn(ξ).

(19)

其中，ai(i=0，…，3)是常數(shù)， 將(19)代入(18)，得到了方程(1)7種形式的解，具體如下(其中m為雅可比橢圓函數(shù)的模)：

其中

其中

其中

其中

其中

其中

其中

3 結(jié)論

本文主要利用廣義的Jacobi展開方法對一個含有高階非線性kerr效應的薛定諤方程進行了研究，最終得到了兩種情形下此方程7種類型的周期解，其中，解u1，u3，u4在以前的文獻中出現(xiàn)過，其余解是本文得到的新解，在其他的文獻中沒有出現(xiàn)過，這些解在光纖通訊的傳輸中是及其有用的.