一類非自衡對象的魯棒內(nèi)模PID控制器設(shè)計方法

劉 立 業(yè)

(石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣與電子工程系，河北 石家莊 050081)

0 引言

為了確保能源設(shè)備運行與操作的可靠性與穩(wěn)定性，需要維持自控系統(tǒng)的基本參數(shù)不變.在一些情況下，需要在很小的范圍內(nèi)維持一定的操作復(fù)位速率.因此，為了實現(xiàn)能源設(shè)備操作運行的穩(wěn)定性，自動控制系統(tǒng)(Automated Control Systems，縮寫為ACS)的功能就需要進(jìn)行拓展和升級，以滿足現(xiàn)場復(fù)雜工作和生產(chǎn)環(huán)境的需要.

先進(jìn)魯棒控制技術(shù)與ACS中的軟硬件相結(jié)合，極大地提高了ACS的靈活性與穩(wěn)定性.這是由于優(yōu)先選擇控制器的結(jié)構(gòu)和整定控制器的參數(shù)能夠降低系統(tǒng)的運行與維護(hù)成本[1].魯棒控制系統(tǒng)運行時，僅依靠于可能的、外部干擾的先驗信息[2]，這是H∞(H無窮)控制器的主要特征，也說明魯棒控制系統(tǒng)具有一定的保守性.因此，魯棒控制器是為了在最差的工況下保持系統(tǒng)的穩(wěn)定運行而設(shè)計的.

但魯棒分析法中嚴(yán)格的數(shù)學(xué)算法并不完全適合解決具體的工程任務(wù)，這是由于魯棒分析法的算法較為復(fù)雜，且計算所得的控制器為理論控制器，具有高階、大時滯和非線性等特點.基于上述情況，迫切需要一種簡化的魯棒控制器設(shè)計方法.

控制系統(tǒng)的控制精度取決于控制器和被控對象的類型.在設(shè)計控制器的過程中應(yīng)考慮到被控對象的具體特征.如果被控為非自衡對象，那么控制器的設(shè)計過程就非常復(fù)雜，且很難達(dá)到預(yù)期的控制效果.非自衡對象的主要特征是被控模型中包含有積分器，而積分器的存在會增大系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，且使控制器的設(shè)計過程變得更加復(fù)雜.對于穩(wěn)定的被控對象，許多控制方法都可以實施，例如傳統(tǒng)的PID(Proportion-Integration-Differentiatio，譯為比例-積分-微積)控制器或者Smith預(yù)測控制等.對帶積分器的被控對象，人們也提出了大量的控制方法[3].雖然傳統(tǒng)的PID控制器也能應(yīng)用于帶積分器的被控對象，但PID控制器容易導(dǎo)致控制系統(tǒng)品質(zhì)惡化.由于帶積分器的被控對象本身不穩(wěn)定，導(dǎo)致閉環(huán)控制系統(tǒng)也不穩(wěn)定；而Smith預(yù)測控制要求內(nèi)部是穩(wěn)定的，在積分對象中很難取得較好的控制效果.

為此，迫切需要提出一種新型的控制器設(shè)計方法，以適用于對非自衡被控對象的控制，并且使控制系統(tǒng)具有期望的魯棒特性及穩(wěn)定性.

1 問題描述

內(nèi)?？刂?Internal Model Control，簡稱IMC)的控制原理是，基于過程數(shù)學(xué)模型，通過引入低通濾波器設(shè)計系統(tǒng)控制器.文獻(xiàn)[4]研究了一些經(jīng)常使用的積分指示器，這些暫態(tài)的指示器包含了系統(tǒng)的動態(tài)、頻域和魯棒穩(wěn)定條件等重要信息.為了解決帶大時間常量被控對象由輸出到外部干擾通道的轉(zhuǎn)換問題，提出了一種改進(jìn)型的IMC控制策略.這種控制方法的主要原理是，通過減少特征方程中的極點，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性.通過這種控制方法，不僅可以得到控制系統(tǒng)自適應(yīng)控制器的解析解，還可以得到控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的條件.

魯棒控制的最終目的是為了轉(zhuǎn)化成可實現(xiàn)的PID控制器，這種控制理論稱之為魯棒PID控制理論[5].魯棒PID控制器的優(yōu)點是能夠解決系統(tǒng)控制器結(jié)構(gòu)受限條件下的魯棒控制問題.在實踐中經(jīng)常使用PI(Proportion-Integration，簡寫為PI)控制器或PID控制器.文獻(xiàn)[5]提出了基于IMC控制策略的PID控制器整定方法，證明了魯棒PID控制器的可行性和易操作性.

在控制器設(shè)計中，考慮使用系統(tǒng)魯棒性的控制方法一般有兩種情況：一種是已知魯棒控制系統(tǒng)，但沒有明確的系統(tǒng)魯棒區(qū)域[6]；另一種是有明確的魯棒區(qū)域.為優(yōu)化干擾輸出通道的轉(zhuǎn)化過程，文獻(xiàn)[7]提出了基于IMC分析法的PID控制器參數(shù)整定策略.第二種情況的主要設(shè)計思想是，利用魯棒性的定義，設(shè)計期望的閉環(huán)系統(tǒng)的最大靈敏度函數(shù)，然后求解相應(yīng)的控制器參數(shù)，并且將之拓展到二自由度控制系統(tǒng)中.

H∞控制屬于魯棒控制的范疇，是對系統(tǒng)的頻域特性進(jìn)行整形，并通過調(diào)整系統(tǒng)頻率域特性來獲得預(yù)期特性的方法，它主要研究被調(diào)輸出和噪聲之間的傳遞函數(shù)的無窮范數(shù)是否小于給定的值.魯棒H∞控制，在某些場合下可以表示系統(tǒng)參數(shù)受擾動的情況下，依然保持H∞范數(shù)小于某個界，這是H∞控制技術(shù)最大的優(yōu)勢.本文針對二階非自衡對象，提出一種基于H∞控制理論的魯棒內(nèi)模PID控制器的設(shè)計方法.

2 非自衡對象的H∞-IMC控制器設(shè)計方法

經(jīng)典的負(fù)反饋控制系統(tǒng)如圖1所示.

圖1經(jīng)典的負(fù)反饋控制系統(tǒng)

圖1中，P(s)為非自衡被控對象；R(s)為控制器；d(s)為干擾輸入量；u(s)為控制量；e(s)為誤差量；r(s)為輸入量；y(s)為輸出量；s為拉普拉斯算子.

圖1中有兩個獨立的輸入量r(s)和d(s)，兩個獨立的輸出量y(s)和u(s).使閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)且僅當(dāng)從輸入量r(s)和d(s)到輸出量y(s)和u(s)之間的傳遞函數(shù)矩陣H(s)是穩(wěn)定的.

(1)

將內(nèi)?？刂破鬓D(zhuǎn)換成經(jīng)典的反饋控制結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2中，Q(s)為IMC控制器；Pm(s)為被控對象P(s)的匹配模型.當(dāng)系統(tǒng)模型完美匹配時，有Pm(s)=P(s)，可計算得出內(nèi)模控制Q(s)為：

圖2等效內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)

(2)

因此，等效反饋控制器的傳遞函數(shù)為：

(3)

那么傳遞函數(shù)矩陣H(s)可以表示為：

(4)

在系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)中，當(dāng)被控對象P(s)是非自衡對象且Q(s)穩(wěn)定時，整個系統(tǒng)就穩(wěn)定；當(dāng)P(s)中加入不穩(wěn)定的積分環(huán)節(jié)時，就不能保證整個系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

因此，假設(shè)在圖2中，P(s)為非自衡對象，要保證系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足兩個條件：Q(s)穩(wěn)定和[1-P(s)Q(s)]P(s)為穩(wěn)定的傳遞函數(shù).

假設(shè)被控對象為二階非自衡對象，其傳遞函數(shù)為：

(5)

公式(5)中，T為慣性時間常數(shù)，s為拉普拉斯算子，k0為增益系數(shù)，e-τs為時滯環(huán)節(jié)，τ為時滯時間.采用一階Taylor近似法對時滯環(huán)節(jié)進(jìn)行處理，可得：

(6)

系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定時，需滿足以下條件：

(7)

為了實現(xiàn)這個條件，需采用Q(s)的最簡形式：

(8)

‖V(s)S(s)‖∞=‖V(s)[1-P(s)Q(s)]‖∞≥

(9)

那么最優(yōu)的控制器Q1opt(s)=τ.

代入到公式(8)中可得：

(10)

針對非自衡對象，需要引入一個濾波器F(s)，以保證非自衡對象的自動穩(wěn)定性及漸進(jìn)跟蹤特性，即

Q(s)=Qopt(s)F(s).

(11)

(12)

公式(12)中，λ為魯棒特性參數(shù)；F(s)濾波器中的系數(shù)m必須保證Q(s)是正則的.系數(shù)m的取值由公式(13)確定：

(13)

由公式(12)可知，采用三階濾波器即可滿足系統(tǒng)的漸進(jìn)跟蹤特性.

濾波器F(s)的表達(dá)式為：

(14)

將公式(14)代入最優(yōu)控制器Q(s)中，并根據(jù)公式(3)可得到等效的反饋控制器：

(15)

將等效反饋控制器R(s)轉(zhuǎn)化為PID控制器的形式.理想的PID控制由比例 (P)、積分(I)和微分(D)組成.但由于理想PID控制器容易出現(xiàn)高頻增益及受噪聲影響等現(xiàn)象，因此需引入低通濾波器抑制高增益及噪聲干擾現(xiàn)象.

(16)

公式(16)中kr為比例單元系數(shù)，Ti為積分單元系數(shù)，Td為微分單元系數(shù)，Tf為低通濾波器時間常數(shù).將公式(15)展開后，與公式(16)中的對象系數(shù)相等，可得：

(17)

3 仿真示例

根據(jù)公式(16)和公式(17)可知，PID控制器參數(shù)與魯棒特性參數(shù)λ有關(guān)，即PID控制器的參數(shù)的表達(dá)式為：

(18)

PID控制器參數(shù)與魯棒特性參數(shù)λ的關(guān)系如圖3所示.

a kr-λ關(guān)系

b Ti-λ關(guān)系

c Td-λ關(guān)系

d Tf-λ關(guān)系

從圖3可以看出，積分參數(shù)Ti與λ為線性關(guān)系，其他3個參數(shù)均為非線性關(guān)系.整個控制器的性能僅由閉環(huán)控制系統(tǒng)的非傳遞函數(shù)的常量決定.

圖4為不同λ值下的系統(tǒng)響應(yīng)輸出階躍曲線.

圖4 不同λ值條件下的系統(tǒng)響應(yīng)輸出曲線

從圖4可以看出，λ的值越大，系統(tǒng)的魯棒特性越強(qiáng)，系統(tǒng)的性能越差，超調(diào)量越大，調(diào)節(jié)時間越長；相反，λ的值越小，系統(tǒng)的魯棒特性越弱，系統(tǒng)性能越好，超調(diào)量越小，調(diào)節(jié)時間越短.因此，參數(shù)λ能夠很好地衡量控制系統(tǒng)的動態(tài)性能.

4 結(jié)語

本文提出的魯棒內(nèi)模PID控制器設(shè)計的方案適用于二階非自衡時滯的被控對象，根據(jù)不同的控制要求選取不同的魯棒特性參數(shù)λ，就能夠得到滿意的控制系統(tǒng)設(shè)定值跟蹤性能.用此方案設(shè)計的魯棒內(nèi)模PID控制器結(jié)構(gòu)簡單，參數(shù)整定容易，可以得到期望的控制效果.