高中物理教學(xué)中引入微積分方法的必要性

王彥蕓

摘要：文章從高中物理教材的現(xiàn)狀，高中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，物理概念與微積分的聯(lián)系，導(dǎo)數(shù)和積分在解決物理問題的方便性等角度論述了微積分應(yīng)用于高中物理教學(xué)的必要性。這對(duì)于加深學(xué)生對(duì)物理概念的理解，開闊學(xué)生解決問題的思路，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力都有重要的意義。

關(guān)鍵詞：微積分;高中物理教材;數(shù)學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G642.41? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2019）49-0198-04

2003年制定的“普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)”中，強(qiáng)調(diào)“在科學(xué)探究與學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)用物理學(xué)研究方法、數(shù)學(xué)工具的能力”[1]。高考的考試能力要求中強(qiáng)調(diào)“運(yùn)用物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法確定物理量之間的定量關(guān)系”和“找出物理量之間的關(guān)系，利用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行分析求解”[2]。但現(xiàn)行的高中物理教材[3]主要講解物理概念和規(guī)律，對(duì)解決物理問題所用到的數(shù)學(xué)方法很少提及。

高中階段，學(xué)生應(yīng)該采用什么數(shù)學(xué)方法解決物理問題呢？這取決于高中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。函數(shù)概念、基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、定積分、空間向量等內(nèi)容包含在“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中[4]，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要求掌握的知識(shí)內(nèi)容[5]所以高中學(xué)生已掌握了較廣泛的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。遺憾的是這些數(shù)學(xué)方法沒有被有效地利用起來去解決物理問題。

高中物理教材的編寫對(duì)數(shù)學(xué)方法的忽視是導(dǎo)致這一現(xiàn)象的首要原因。高中教學(xué)中，教師和學(xué)生首先要按照課本逐步進(jìn)行，課堂內(nèi)容、考試要求、參考書、輔導(dǎo)書都以課本為基礎(chǔ)對(duì)課本解讀。所以，課本對(duì)數(shù)學(xué)方法的忽視，就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)高中教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)方法的忽視。高中教師因循守舊、各自為戰(zhàn)的教學(xué)模式是導(dǎo)致這一現(xiàn)象的另一原因。教師沿襲十幾年前的教學(xué)模式和題目設(shè)置，埋頭于本學(xué)科教學(xué)而不關(guān)心數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容，竟未發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程已為你準(zhǔn)備了更好的工具。

數(shù)學(xué)方法是物理教育的重要組成部分，物理規(guī)律和數(shù)學(xué)方法本來就是一個(gè)整體，二者的教學(xué)應(yīng)當(dāng)同步進(jìn)行。目前，高中物理課程中的數(shù)學(xué)方法明顯落后于高中生的數(shù)學(xué)水平，學(xué)生已熟練掌握的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等內(nèi)容，沒有應(yīng)用在物理課程中，建議在以下幾個(gè)方面做些改進(jìn)。

一、高中物理教材中應(yīng)體現(xiàn)函數(shù)的概念和應(yīng)用

函數(shù)可以描述事物運(yùn)動(dòng)變化的動(dòng)態(tài)過程，是描述變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。相對(duì)于刻畫靜態(tài)現(xiàn)象的數(shù)，函數(shù)更利于描寫現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)變化的動(dòng)態(tài)現(xiàn)象，函數(shù)的思想方法將貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終。物理量之間的依賴關(guān)系是典型的函數(shù)關(guān)系，在物理教材中應(yīng)指出這種函數(shù)關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言明確表達(dá)。明確函數(shù)關(guān)系有助于學(xué)生運(yùn)用初等函數(shù)的性質(zhì)解決和理解物理問題。

例題：人教版必修教材2第76頁例題。把一個(gè)小球用細(xì)線懸掛起來，就成為一個(gè)擺，擺長(zhǎng)為l，最大偏角為θ。如果阻力可以忽略，小球運(yùn)動(dòng)到最低位置的速度是多大？

解析：小球的速度隨著位置的變化而變化，可建立速度對(duì)位置的函數(shù)關(guān)系，此處位置用角度φ表示，從偏角為θ到偏角為φ的過程中用動(dòng)能定理知，

，速度v對(duì)φ的函數(shù)表達(dá)式為 ，定義域?yàn)?。把φ=0代人可以得到速度的最大值

明確這個(gè)函數(shù)關(guān)系后，可以更深入了解小球運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)變化過程。

二、高中物理教材中應(yīng)體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)概念和變化率的關(guān)系

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念，高中數(shù)學(xué)課本選修2-2第一章，先講了平均變化率，又講了平均變化率的極限——瞬時(shí)變化率，最后引出導(dǎo)數(shù)的定義，如下圖。

既然高中數(shù)學(xué)中已經(jīng)明確了導(dǎo)數(shù)的定義和意義，我們可以從導(dǎo)數(shù)角度定義上述物理量。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)x（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，加速度是速度函數(shù)v（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是磁通量函數(shù)φ（t）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)。從導(dǎo)數(shù)角度給上述物理量的下定義，可以明確看到各物理量數(shù)學(xué)形式上的一致性，拋開具體的物理情景，發(fā)現(xiàn)幾個(gè)物理量在數(shù)學(xué)本質(zhì)上是相同的，都是某個(gè)函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，反映了該函數(shù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)和變化快慢。這樣，便于學(xué)生從更高層次上理解和掌握概念。

三、從導(dǎo)數(shù)角度編寫教材，可使簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和交流電等內(nèi)容更便于理解

1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。彈簧振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，是中學(xué)物理中最復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式，是加速度變化的一種運(yùn)動(dòng)形式。學(xué)生在分析位移、速度、加速度、回復(fù)力、動(dòng)能、勢(shì)能的變化規(guī)律時(shí)，一邊分析復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程，一邊分析物理量的變化，容易出錯(cuò)。若引入導(dǎo)數(shù)后，通過導(dǎo)數(shù)求出速度和加速度隨時(shí)間變化的表達(dá)式，使物理量的變化一目了然，減小了學(xué)習(xí)該部分知識(shí)的難度。

2.交流電的產(chǎn)生。課本中對(duì)交流感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的推導(dǎo)，是通過切割磁感線的公式E=Blvsinθ，對(duì)線框速度分解出垂直切割的速度后進(jìn)行計(jì)算，此處的難點(diǎn)在于速度的分解，然后返回到磁通量的變化產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。這個(gè)過程對(duì)學(xué)生來說，思路上迂回曲折，難以掌握和理解。如果引入導(dǎo)數(shù)，從導(dǎo)數(shù)上求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，邏輯上就很自然順暢，降低了學(xué)生理解這部分知識(shí)的難度。

例題：如下圖交變電流產(chǎn)生的原理圖，單匝線框面積為S，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，繞OO'轉(zhuǎn)到的角速度是ω，從右圖虛線出開始計(jì)時(shí)，求磁通量隨時(shí)間的變化關(guān)系，求線框中產(chǎn)生的瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大??？分析第一個(gè)四分之一周期內(nèi)磁通量和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的變化。

解析：經(jīng)過時(shí)間t后，線框轉(zhuǎn)到的角度為ωt，磁通量的大小可以表示為φ（t）=BSsin（ωt），這樣就得到了磁通量對(duì)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。對(duì)磁通量函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=φ′（t）=BSωcos（ωt）。在0— T內(nèi)，相位ωt從0到 變化，所以磁通量φ（t）從0增大到最大，而感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)從最大減小到0。

比較兩個(gè)例題，一個(gè)是彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是交變電流的產(chǎn)生。完全不相干的物理問題，其函數(shù)關(guān)系和變化規(guī)律則是完全相同的正弦函數(shù)。這正是數(shù)學(xué)的抽象之美，不依賴于具體的問題情境，又能體現(xiàn)它們的共同屬性。對(duì)這些本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，加深了學(xué)生對(duì)交流電產(chǎn)生和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的理解，深化了物理規(guī)律和物理概念的內(nèi)在聯(lián)系。

四、對(duì)物理課程中最值問題，應(yīng)充分利用導(dǎo)數(shù)方法

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。對(duì)學(xué)生而言，在數(shù)學(xué)課上已經(jīng)熟練掌握了利用導(dǎo)數(shù)求極值和最值問題的基本方法。高中物理中涉及很多最大值和最小值問題，如豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，追及問題中的最小距離，交流電中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值等問題都可以采用導(dǎo)數(shù)方法解決。但實(shí)際中，高中課堂和教科書中，并沒有充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)求解方法。

例題：以20m/s從水平地面豎直上拋一個(gè)小球，不計(jì)空氣阻力，求小球何時(shí)上升到最高點(diǎn)，上升的最大高度是多少？重力加速度g=10m/s 。

解析：以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以豎直向上為正方向，建立坐標(biāo)系。

（1），根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，小球的位移對(duì)時(shí)間的函數(shù)為， ，其中定義域和值域t>0S（t）>0。

（2），對(duì)S（t）求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，有S′（t）=20-10t=0，得到一個(gè)極值點(diǎn)，t=2s，S（2）=20m。

（3），t<2s時(shí)，S′（t）>0，函數(shù)S（t）隨t單調(diào)增大;t>2s時(shí)，S′（t）<0，函數(shù)S（t）隨t單調(diào)減小;所以，當(dāng)t=2s時(shí)，S（t）有極大值。

（4），該唯一極大值點(diǎn)即為最大值點(diǎn)，把t=2s代人到函數(shù)S（t），S（2）=20m。即有t=2s時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，最大高度為20m。

由于高中物理問題情形簡(jiǎn)單，一般為二次函數(shù)或簡(jiǎn)單三角函數(shù)，而且定義域有明確限定，所以一般求出極值點(diǎn)則可以明顯看出最值點(diǎn)。對(duì)上面的例子，實(shí)際上只需要前兩個(gè)步驟就可以容易的解答出來，如下：（1）建立位移對(duì)時(shí)間的函數(shù)，S（t） （2）對(duì)S（t）求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，有S′（t）=20-10t=0，得到t=2s，代人原函數(shù)得到最大值S（2）=20m。

五、定積分方法在物理教學(xué)中應(yīng)得到展現(xiàn)

定積分和導(dǎo)數(shù)一樣，也是微積分中的核心概念。高中數(shù)學(xué)教材選修2-2不但用了較大篇幅講解定積分的概念，而且專門講解了定積分在物理中的應(yīng)用，如變力做功問題。

例題：如圖所示，在彈性限度內(nèi)，將一彈簧末端從平衡位置拉離l距離，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，求拉力所做的功。

解析：拉力F隨x的增大而增大，拉力等于彈簧彈力，F(xiàn)（x）=kx，拉力做的功就是力F對(duì)位移x的積分，積分區(qū)間為（0，l），有

上題中的定積分問題還可以看出彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)形式 。同樣，對(duì)點(diǎn)電荷Q電場(chǎng)中的正電荷q電勢(shì)能表達(dá)式 可以通過定積分

得到。因此，從高中物理教學(xué)中引入定積分方法，有助于學(xué)生對(duì)上述問題更深入的理解。

總結(jié)：通過上述幾個(gè)方面的改進(jìn)，可以改變高中物理教學(xué)中的數(shù)學(xué)方法滯后于高中生數(shù)學(xué)水平的現(xiàn)狀。函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等高等數(shù)學(xué)方法在物理課程中的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生更深入的理解物理概念，建立物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系，降低學(xué)生分析復(fù)雜物理過程的難度，為解決物理最值問題提供系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法。

致謝：本論文工作得到國(guó)家自然科學(xué)基金資助，項(xiàng)目名稱：芳烴超導(dǎo)體的晶體結(jié)構(gòu)和電子態(tài)的理論研究（項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)：11474004）。

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