化學(xué)反應(yīng)-擴(kuò)散系統(tǒng)中奇美拉斑圖的研究

(徐州醫(yī)科大學(xué) 化學(xué)教研室，江蘇 徐州 221000)

1 奇美拉斑圖介紹

振蕩作為自然界最常見(jiàn)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象之一，廣泛地存在于各類物理、化學(xué)、生命、生態(tài)甚至社會(huì)系統(tǒng)中。大量的振蕩單體在相互耦合或在外界刺激影響下，通過(guò)同步形成了時(shí)間、空間或功能上的有序結(jié)構(gòu)或現(xiàn)象[1]，如化學(xué)反應(yīng)-擴(kuò)散系統(tǒng)中的時(shí)空斑圖，生物體內(nèi)的神經(jīng)元放電與心臟起搏現(xiàn)象等。_ENREF_1_ENREF_3一直以來(lái)，人們始終認(rèn)為具有相同動(dòng)力學(xué)模式的振蕩子經(jīng)由相互耦合最終將達(dá)到相位上的連續(xù)(即時(shí)空斑圖)或完全無(wú)序狀態(tài)。但是近期研究發(fā)現(xiàn)，大量單一振蕩子在特定的耦合模式或外界刺激的作用下，會(huì)地出現(xiàn)一種有趣的連續(xù)(coherent)與不連續(xù)(incoherent)模式共存的時(shí)空現(xiàn)象，這種奇特的結(jié)構(gòu)被以希臘神話中獅頭羊身蛇尾的怪獸“奇美拉”命名。即奇美拉態(tài)(Chimera state)[2]。

研究者認(rèn)為奇美拉態(tài)與生命體內(nèi)的一些的生理現(xiàn)象有關(guān)，如海豚和候鳥(niǎo)的半腦短波睡眠(Unihemispheric slow-wave sleep)，即在活動(dòng)獲飛行中保持大腦一個(gè)半球運(yùn)轉(zhuǎn)而另一個(gè)半球休息的狀態(tài)[3]。此外，奇美拉態(tài)也被認(rèn)為與神經(jīng)元系統(tǒng)所導(dǎo)致的腦部疾病，如帕金森病，癲癇，阿爾茲海默病與腦腫瘤等癥狀有密切的關(guān)系[4]。但是在生命系統(tǒng)內(nèi)，由于包含的生物和化學(xué)反應(yīng)的高度非線性(表現(xiàn)為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)變量多和參數(shù)多)以及大量生體振蕩彼此之間的復(fù)雜共振等因素的存在，很多生理節(jié)律的形成機(jī)理及其同步現(xiàn)象的理論描述尚未實(shí)現(xiàn)，這也為相關(guān)病癥的有效臨床治療設(shè)置了障礙。

K.Showalter等人在光敏性BZ反應(yīng)中通過(guò)調(diào)節(jié)光場(chǎng)強(qiáng)度，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)化學(xué)振子之間的非局部耦合，觀測(cè)到了兩種模式共存的奇美拉態(tài)[5]。在電化學(xué)振蕩以及多層非耦合神經(jīng)元系統(tǒng)內(nèi)都發(fā)現(xiàn)了類似的奇美拉現(xiàn)象[6]。這些研究成果大都采用了非局部耦合的方式來(lái)達(dá)成振蕩子之間的同步，從而形成了包含奇美拉態(tài)的時(shí)空有序結(jié)構(gòu)。但是非局部耦合的實(shí)驗(yàn)重現(xiàn)一般需要采用較為復(fù)雜的設(shè)置，從而提升了實(shí)驗(yàn)難度和限制了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的尺度。

化學(xué)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為與良好的可操作性，一直被研究者視為理想的實(shí)驗(yàn)研究環(huán)境。具有多個(gè)正負(fù)反饋的化學(xué)振蕩反應(yīng)系統(tǒng)可以產(chǎn)生包括混合模式振蕩，倍周期振蕩和混沌動(dòng)力學(xué)等一系列復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)模式，非常適用于振蕩同步的研究。我們通過(guò)調(diào)節(jié)擴(kuò)散系數(shù)，在化學(xué)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)了具有奇美拉結(jié)構(gòu)的螺旋波，這為在反應(yīng)-擴(kuò)散實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中形成具有奇美拉結(jié)構(gòu)的化學(xué)時(shí)空斑圖奠定了理論基礎(chǔ)。

2 模型介紹

本文中所采用的數(shù)值模擬模型是一個(gè)典型的三變量化學(xué)反應(yīng)-擴(kuò)散模型: Hastings-Powell模型(一下簡(jiǎn)稱HP模型)：

該模型可以用于描述一個(gè)連續(xù)反應(yīng)過(guò)程，其中u,v和w是參與反應(yīng)的三個(gè)組分，分別對(duì)應(yīng)著反應(yīng)底物、中間產(chǎn)物和最終產(chǎn)物。模型中其他參數(shù)是系統(tǒng)的控制參數(shù)。在之前的研究(無(wú)論是在理論模擬還是實(shí)驗(yàn)研究)，非局部耦合或全局耦都是奇美拉現(xiàn)象的出現(xiàn)的必要條件。非局部耦合是指反應(yīng)系統(tǒng)內(nèi)任意一點(diǎn)ai，i=1…N可以和與其距離小于M的點(diǎn)(ai-1，ai-2…ai-M和ai+1，ai+2…ai+M，M

3 HP反應(yīng)-擴(kuò)散系統(tǒng)中的奇美拉螺旋波

(a)奇美拉螺旋波在波核區(qū)域的局部放大圖；(b)圖(a)的剖面圖

圖1 具有不連續(xù)波核的穩(wěn)定奇美拉雙臂螺旋波

圖1給出了使用方程1進(jìn)行數(shù)值模擬得到的具有奇美拉態(tài)的螺旋波結(jié)構(gòu)。如圖所示，螺旋波的外側(cè)是穩(wěn)定的具有雙臂結(jié)構(gòu)的波壁，但是在螺旋波的波核區(qū)域卻出現(xiàn)了在空間上不連續(xù)的區(qū)域。這種螺旋波可以在模擬過(guò)程中長(zhǎng)期穩(wěn)定的存在，從而達(dá)到連續(xù)波壁與不連續(xù)波核的共存，即奇美拉螺旋波。

化學(xué)反應(yīng)-擴(kuò)散體系內(nèi)的奇美拉態(tài)螺旋波具有空間定態(tài)不連續(xù)結(jié)構(gòu)，由于多反饋系統(tǒng)由于不均衡擴(kuò)散而引發(fā)了特定方向上的振蕩抑制，這導(dǎo)致了多個(gè)新的空間定態(tài)缺陷點(diǎn)，從而在系統(tǒng)空間內(nèi)構(gòu)成了定態(tài)的不連續(xù)結(jié)構(gòu)。與非局部耦合中出現(xiàn)的奇美拉斑圖相比，這種同時(shí)具有定態(tài)不連續(xù)結(jié)構(gòu)和穩(wěn)定時(shí)空有序斑圖的時(shí)空自組織現(xiàn)象更貼近于自然界中的多態(tài)共存現(xiàn)象，如半腦短波睡眠狀態(tài)中，海豚的一半腦細(xì)胞是處于休眠狀態(tài)(定態(tài)不連續(xù)結(jié)構(gòu))，而另一半是處于活躍狀態(tài)(連續(xù)結(jié)構(gòu))。同時(shí)，如果擴(kuò)散條件改變，定態(tài)不連續(xù)結(jié)構(gòu)就會(huì)隨之消失，這也對(duì)應(yīng)著海豚等動(dòng)物在外界條件改變睡醒時(shí)大腦處于完全活躍時(shí)的狀態(tài)。

除了圖1中顯示的穩(wěn)定奇美拉螺旋波，在HP模型的模擬過(guò)程中還在系統(tǒng)振蕩模式切換區(qū)域觀測(cè)到具有特殊調(diào)制結(jié)構(gòu)的奇美拉斑圖，如圖2中所示的調(diào)制奇美拉螺旋波。與一般的螺旋波不同，同時(shí)出現(xiàn)了振幅調(diào)制和徑向調(diào)制的螺旋波在傳播的過(guò)程中其螺距和振幅隨著波臂所處的相位不同而發(fā)生了明顯的調(diào)制，會(huì)使得時(shí)空斑圖系統(tǒng)通產(chǎn)生了明顯的調(diào)制現(xiàn)象。在圖2中分別給出了幾種典型的奇美拉調(diào)制螺旋波與自然系統(tǒng)中生物體系斑圖的對(duì)比，不難看出，其斑圖動(dòng)力學(xué)的演化規(guī)律具有一定的相似性。

(a)具有超靶波結(jié)構(gòu)的奇美拉螺旋波；(b)具有超螺旋波結(jié)構(gòu)的奇美拉螺旋波；(c)具有復(fù)雜調(diào)制結(jié)構(gòu)的奇美拉螺旋波

圖2 具有調(diào)制結(jié)構(gòu)的奇美拉斑圖與自然界中的復(fù)雜斑圖對(duì)比

這些復(fù)雜調(diào)制現(xiàn)象產(chǎn)生原因是多反饋系統(tǒng)中不同混合模式振蕩模式的轉(zhuǎn)換受到不均衡擴(kuò)散的耦合作用影響發(fā)生了改變，這種擴(kuò)散引發(fā)的失穩(wěn)效應(yīng)較低，并非完全消失，在這些調(diào)制結(jié)構(gòu)中，其局域動(dòng)力學(xué)中仍然表現(xiàn)出不同混合模式振蕩所構(gòu)成的準(zhǔn)周期振蕩，從而產(chǎn)生了振幅調(diào)制現(xiàn)象。第二個(gè)原因則是螺旋波波核區(qū)域出現(xiàn)不連續(xù)結(jié)構(gòu)，奇美拉態(tài)螺旋波的波核被不連續(xù)的結(jié)構(gòu)所取代，而波核會(huì)對(duì)螺旋波斑圖產(chǎn)生根本性的影響，如果波核的性質(zhì)發(fā)生了改變(從連續(xù)態(tài)變成無(wú)序狀態(tài))，毫無(wú)疑問(wèn)會(huì)引起整個(gè)螺旋波結(jié)構(gòu)的調(diào)制，從而引發(fā)包括徑向調(diào)制在內(nèi)的復(fù)雜調(diào)制，最終形成了這些有趣的螺旋波斑圖。

4 小結(jié)

同時(shí)具有連續(xù)結(jié)構(gòu)和不連續(xù)非相干結(jié)構(gòu)的奇美拉態(tài)是近年來(lái)在非線性斑圖學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)。通過(guò)一個(gè)具有多反饋的三變量的化學(xué)擴(kuò)散系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，本文得到了各種具有奇美拉態(tài)的螺旋波斑圖。在此類奇美拉態(tài)斑圖進(jìn)行分析后，得到以下結(jié)論：

(1)在非均衡的擴(kuò)散條件下，多變量的化學(xué)反應(yīng)-擴(kuò)散系統(tǒng)在復(fù)雜振蕩區(qū)域內(nèi)會(huì)產(chǎn)生具有奇美拉態(tài)的螺旋波結(jié)構(gòu)，其表現(xiàn)為不連續(xù)的波核和連續(xù)的波壁長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定共存。

(2)同的混合模式振蕩之間的切換在不均衡擴(kuò)散的影響下，會(huì)導(dǎo)致振幅調(diào)制和徑向調(diào)制同時(shí)在螺旋波上出現(xiàn)，構(gòu)成具有調(diào)制結(jié)構(gòu)現(xiàn)象的奇美拉螺旋波，這種螺旋波具有與現(xiàn)實(shí)體系中非常相似的結(jié)構(gòu)特征。