創(chuàng)設(shè)深度說(shuō)理時(shí)空培養(yǎng)歸納推理能力

林彩蓮

歸納推理是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。歸納推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程和教學(xué)的重要目標(biāo)，歸納推理能力的培養(yǎng)有利于數(shù)學(xué)推理能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的形成。小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的關(guān)鍵期，在小學(xué)數(shù)學(xué)中適時(shí)、適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行歸納推理的教學(xué)，有利于小學(xué)生思維水平產(chǎn)生及時(shí)的飛躍，甚至可以提前產(chǎn)生質(zhì)變。

史寧中教授指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)……會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界……數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是模型。”這一觀點(diǎn)基本符合小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)，只不過(guò)在小學(xué)階段是初步要求，或初步滲透。曹培英教授認(rèn)為：“啟發(fā)學(xué)生說(shuō)理，是培養(yǎng)推理能力初級(jí)教學(xué)階段最主要的手段與基本途徑。誘導(dǎo)學(xué)生恰如其分地使用尚未學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)理，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一種境界?！币虼?，作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，要有意識(shí)地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)深度說(shuō)理的時(shí)間和空間，恰如其分地啟迪學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)歸納推理過(guò)程，使學(xué)生無(wú)意識(shí)地進(jìn)行推理，“用而不宣”，即“滲透”，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的目標(biāo)。

一、分層啟迪，在理清關(guān)系中培養(yǎng)歸納推理能力

學(xué)生歸納推理能力的培養(yǎng)，需要經(jīng)歷在教師啟迪下的一定層次的分析說(shuō)理，通過(guò)縱橫對(duì)比，在發(fā)現(xiàn)不同點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)相同點(diǎn)，理清關(guān)系，從而歸納出結(jié)論。

【片段一】

層次一：縱橫分析，尋找異同

師：剛才我們通過(guò)擺一擺，寫(xiě)出了很多算式，我們一起來(lái)觀察一下，這些算式之間有什么不同的地方？有什么相同的地方呢？

層次二：引發(fā)猜想，驗(yàn)證結(jié)論

師：（圈上除數(shù)，同時(shí)板書(shū)：除數(shù)）你能發(fā)現(xiàn)每個(gè)除法算式的余數(shù)和除數(shù)之間的秘密嗎？如果用一個(gè)符號(hào)來(lái)連接，你會(huì)用什么符號(hào)？……如果用20根小棒擺正方形，余數(shù)也是比除數(shù)小嗎？……25根呢？30根呢？ 39根呢？……看來(lái)，余數(shù)確實(shí)比除數(shù)?。ú寥ィ?/p>

層次三：歸納小結(jié)，形成結(jié)論

師：那為什么余數(shù)一定要比除數(shù)小呢？余數(shù)比除數(shù)大行嗎？如果剩余的小棒數(shù)為4根、5根、6根，行嗎？……看來(lái)，如果余數(shù)是4根、5根、6根都還可以再擺一個(gè)正方形，只有余數(shù)小于4根才不能再擺正方形，所以余數(shù)<除數(shù)。

層次四：深入感悟，理性認(rèn)識(shí)

師：既然我們知道余數(shù)必須比除數(shù)小的關(guān)系，那么是不是所有的除法算式都適用呢？如果不是用小棒擺正方形，而是擺三角形，如果有剩余，可能剩余幾根小棒？……用一堆小棒擺五邊形，如果有剩余，又可能剩幾根小棒？……看來(lái)，不管擺幾根小棒，也不管擺成什么圖形，剩余的根數(shù)都比除數(shù)小。

以上是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》二年級(jí)下冊(cè)第六單元編排的例2“余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)片段，在學(xué)生進(jìn)行了“自主探究，合作交流”后，筆者有意識(shí)地啟迪學(xué)生縱橫分析，尋找除法算式的異同，從而發(fā)現(xiàn)余數(shù)小于除數(shù)的關(guān)系;接著分別通過(guò)增加小棒（改變被除數(shù)的大?。┖透淖冃螤睿ǜ淖兂龜?shù)的大?。┑幕顒?dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷各層的感悟過(guò)程，讓學(xué)生在說(shuō)理的過(guò)程中領(lǐng)悟余數(shù)必須小于除數(shù)的關(guān)系，體驗(yàn)和感悟歸納推理思想，積累一定的操作、猜想、歸納的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、表達(dá)、動(dòng)手操作及歸納推理的能力，在思想引領(lǐng)下產(chǎn)生頓悟，理解余數(shù)必須比除數(shù)小的道理，實(shí)現(xiàn)了歸納推理從方法到思想層面的上升，促進(jìn)了學(xué)生歸納推理能力的發(fā)展，讓課堂成為學(xué)生終身發(fā)展的起點(diǎn)。

二、巧妙留白，在公式的推導(dǎo)中培養(yǎng)歸納推理能力

小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系式有很多，其中計(jì)算公式主要是圖形的周長(zhǎng)、面積和體積公式，以及比、正比例、反比例、比例尺、百分?jǐn)?shù)等的應(yīng)用和計(jì)算。很多計(jì)算公式是在學(xué)生探索、交流的基礎(chǔ)上歸納得到的，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行公式的推導(dǎo)過(guò)程中，如果能夠巧妙地留白，有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力。

浙江省的袁曉萍老師在執(zhí)教浙教版五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形的面積”中，首先為每一位學(xué)生提供兩張畫(huà)有完全一樣的平行四邊形的紙，其中一個(gè)畫(huà)在方格紙上，一個(gè)畫(huà)在白紙上，讓學(xué)生自主選擇獨(dú)立驗(yàn)證“平行四邊形的面積為什么等于底乘高”后，發(fā)出挑戰(zhàn)：“你能不能不僅自己會(huì)研究，還能看懂別人是怎么研究的？”

【片段二】

留白一：生3：我認(rèn)為他那里面有漏洞，這個(gè)和這個(gè)可以拼……但是他并沒(méi)有數(shù)。師：他關(guān)注的漏洞是哪一部分？……然后他告訴了我們一個(gè)很重要的動(dòng)詞你們聽(tīng)到了沒(méi)有？……他說(shuō)像這樣小的部分我們要把它拼起來(lái)，就可以把這些小的三角形拼成剛才這個(gè)男孩子所說(shuō)的1平方厘米的正方形了。

留白二：師：我們繼續(xù)來(lái)欣賞——你還能再看懂嗎？……師：這個(gè)同學(xué)又是怎樣拼的？跟前面的拼法有什么不一樣呢？

留白三：師：我們繼續(xù)來(lái)看，你還能再看懂嗎？……師：我沒(méi)聽(tīng)懂耶，哪一部分拉到哪一部分？……

留白四：師：不管我們用哪一種方法，我們?cè)诜礁窦埉?dāng)中，通過(guò)圖形變換，都研究出了平行四邊形面積?！瓫](méi)有用上方格紙的同學(xué)他們的思考方法和我們的思考方法是不是差不多呢？誰(shuí)有本事，看到了差不多的地方？……師：不管我們是數(shù)出來(lái)的，還是用我們的方法直接進(jìn)行移動(dòng)的，我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上我們算出來(lái)的這個(gè)答案都是——……有沒(méi)有同學(xué)說(shuō)我算出來(lái)的，和你們數(shù)出來(lái)的是不一樣的？生：沒(méi)有。師：那我們現(xiàn)在可不可以說(shuō)這個(gè)平行四邊形的面積是可以用底乘——高來(lái)計(jì)算的，可以了嗎？……

正是由于袁老師在學(xué)生的困惑點(diǎn)進(jìn)行的四次巧妙的留白，把說(shuō)理的時(shí)間和空間交給學(xué)生，不僅能讓在學(xué)生思辨、交流中發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積等于底乘高，并理解其中的道理，達(dá)到了知其然又知其所以然的目的，又能讓學(xué)生擁有了一次“將平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形面積”的成功經(jīng)驗(yàn)，從而觸動(dòng)了學(xué)生對(duì)于平面圖形推導(dǎo)的多米諾骨牌，推開(kāi)了圖形面積推導(dǎo)的一扇窗，培養(yǎng)了學(xué)生的歸納推理能力。

三、逐一枚舉，在規(guī)律的探究中提升歸納推理能力

歸納推理一種情形是考察一類的全部個(gè)體對(duì)象，根據(jù)它們具有（或不具有）某種屬性，從而概括出關(guān)于該類全部對(duì)象的一般結(jié)論。這是完全歸納推理。另一種情形是只考察一類中的部分個(gè)體對(duì)象，根據(jù)它們具有（或不具有）某種屬性，從而概括出關(guān)于該類全部對(duì)象的一般結(jié)論。這是不完全歸納推理。不完全歸納推理的前提是對(duì)某類的許許多多個(gè)體對(duì)象進(jìn)行過(guò)考察。而且被考察過(guò)的對(duì)象僅僅是該類的部分對(duì)象，而不是該類的全部對(duì)象。雖然小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更多的是不完全歸納推理，但是就教學(xué)來(lái)說(shuō)，總是盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的歸納思維的過(guò)程，往往通過(guò)情境引出個(gè)別對(duì)象（一定事實(shí)材料或具體算式、圖形等），讓學(xué)生在觀察、分析、歸納得出可能的結(jié)論（猜想），再經(jīng)過(guò)多次的解釋、驗(yàn)證、證明，進(jìn)行修正、改進(jìn)，最后驗(yàn)證結(jié)論（猜想），從而提升學(xué)生的歸納推理能力。

在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)第100頁(yè)例1“數(shù)學(xué)思考”時(shí)，筆者有意識(shí)地讓學(xué)生在經(jīng)歷猜測(cè)，通過(guò)逐一枚舉，在充分實(shí)驗(yàn)、觀察的基礎(chǔ)上，完整表達(dá)自己的分析、類比、歸納的過(guò)程。

【片段三】

生：2個(gè)點(diǎn)連了1條，3個(gè)點(diǎn)連了3條，增加2條?！?個(gè)點(diǎn)連了6條，比上一次增加3條?！瓗煟?點(diǎn)連了幾條線段？……比前一次多了幾條？……6個(gè)點(diǎn)連了幾條線段？……師：8個(gè)點(diǎn)呢？……你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？……生：6個(gè)點(diǎn)的總條數(shù)就是從l加到5;8個(gè)點(diǎn)的總條數(shù)就是從1加到7;有多少個(gè)點(diǎn)，線段的總條數(shù)就是從1加到比人數(shù)少1的數(shù)。師：應(yīng)用剛才總結(jié)的規(guī)律，說(shuō)一說(shuō)12個(gè)點(diǎn)能連成多少條線段？……20個(gè)點(diǎn)呢？……如果是n個(gè)點(diǎn)呢？生：1+2+3+……+（n-1），現(xiàn)在，你能解決剛開(kāi)始上課時(shí)老師出的那道數(shù)學(xué)題“100個(gè)點(diǎn)能連成多少條線段”嗎？……

讓學(xué)生從2個(gè)點(diǎn)開(kāi)始連線，逐步經(jīng)歷連線過(guò)程，隨著點(diǎn)數(shù)的增多，得出每次增加的線段數(shù)和總線段數(shù)，初步感知點(diǎn)數(shù)、增加的線段數(shù)和總線段數(shù)之間的聯(lián)系。通過(guò)課件演示，先探究2個(gè)點(diǎn)時(shí)總線段數(shù)怎么計(jì)算，之后列出3個(gè)點(diǎn)和4個(gè)點(diǎn)時(shí)總線段數(shù)對(duì)應(yīng)的算式，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)這些算式的共有特征：都是從1依次加到點(diǎn)數(shù)減1的那個(gè)數(shù)，從而讓學(xué)生明白總線段數(shù)其實(shí)就是從1依次連加到點(diǎn)數(shù)減1的那個(gè)數(shù)的自然數(shù)數(shù)列之和。然后再追問(wèn)：如果是8個(gè)點(diǎn)、12個(gè)點(diǎn)時(shí)，這樣計(jì)算你們感覺(jué)怎樣？于是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的思考，由于大部分學(xué)生已掌握了“等差數(shù)列求和”的計(jì)算方法，很自然地引出用字母表示規(guī)律，有效地促進(jìn)了學(xué)生歸納推理能力的發(fā)展。

總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)教師要關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從知識(shí)教育、能力教育走向核心素養(yǎng)教育。兒童歸納推理能力的形成和發(fā)展不同于一般知識(shí)與技能的獲得，它是一個(gè)隱性的、緩慢的漸進(jìn)過(guò)程，我們要順應(yīng)兒童思維發(fā)展需要，給予他們充分說(shuō)理的時(shí)空，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，提升他們的推理能力，落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)。

責(zé)任編輯龍建剛