構造法在求數(shù)列通項公式中的應用探究

李佳

（河北省唐山市開灤一中，河北 唐山 063000）

數(shù)列通項公式的求解方法包括累加法、構造法、待定系數(shù)法以及特征根法等，而構造法是是通過題型當中的數(shù)據(jù)、坐標或者外形等特征，利用題目中的一些給定的已知條件，應用數(shù)據(jù)關系式與相關數(shù)學理論，在解題思維意識中構造出滿足已經條件或者結論的數(shù)學對象，進而使求解的問題答案能夠構造出的數(shù)學對象當中體現(xiàn)出來。應用構造法解決數(shù)列通項公式的相關問題，省時省力，而且求解的答案也具有較高的精準度。

下面以構造法求解數(shù)列通項公式的一些常用類型為例，對構造法的解題思路進行闡釋。

一、an+1=pan+q型（p、q常數(shù)且p≠1）

例題1：數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=2an+1則an=?

解：∵an+1=2an+1

∴an+1+1=2an+2=2（an+1）

又∵a1+1=2

∴an+1+1=2,an+1=2

{an+1}是首項為2公比為2的等比數(shù)列

an+1=2·2n-1=2n，∴an=2n-1

例題2：已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=2an+5,求數(shù)列{an}通項公式？

本題的解題思路是：將an+1=pan+q型轉化為an+1+t=p（an+t）型，以此構造成等比數(shù)列再注該題的通項公式。

解：將an+1=2an+5轉化為an+1+t=2（an+t），展開可求得t=5，即an+1+5=2（an+5）。

∴數(shù)列{an+5}是以a1+5=6為首項、公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式得an+5=6·2n-1。

∴an=6·2n-1-5

二、an+1/an=f（n）型

已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=n/n+1·an，求數(shù)列{an}通項公式。

解：∵an+1/an=n/n+1，

∴a2/a1=1/2，a3/a2=2/3，…，an/an-1=n-1/n。

如果將上n-1個式子左右兩這分別相乘得到an/a1=1/n。

又∵a1=1，∴an=1/n。

三、an+1-an=f（n）型

例題1：已知數(shù)列{an},a1=0，an+1=an+2n-1，求數(shù)列{an}的通項公式[1]。

此題的解題思路是可將an+1=an+2n-1轉化成為an+1-an=f（n），利用累加法求通項公式。

解：∵an+1-an=2n-1

∴a2-a1=2×1-1，a3-a2=2×2-1，依次類推得到：an-an-1=2（n-1）-1

將以上的n-1個式子兩邊分別相加得到：

an-a1=2[1+2+3…+（ n-1）]-（n-1）

∴an=（n-1）2

例題2：在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（1+1/n）an+n+1/2n，設bn=an/n，求數(shù)列{bn}的通項公式？

解：由已知條件得出，an+1/n+1=an/n+1/2n，∴bn+1-bn=1/2n，∴b2-b1=1/2，b3-b2=1/22，…，bn-bn-1=1/2n-1（n≥2）。于是bn=b1+1/2+1/22+…+1/2n-1=2-1/2n-1（n≥2），由于b1=1也滿足上述公式，∴通項公式bn=2-1/2n-1。

四、an+1=pan+f（n）型

設數(shù)列{an}的前n項和為sn，a1=1，sn+1=4an+2。求（1）設bn=an+1-2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列。（2）求數(shù)列{an} 的通項公式。

（一）解：由 a1=1及 sn+1=4an+2， 有 a1+a2=4a1+2， a2=3a1+2=5，∴b1=a2-2a1=3。

由sn+1=4an+2 ①

由當n≥2時，有sn=4an-1+2 ②

由①-②可得an+1=4an-4an-1，∴an+1-2an=2（an-2an-1）

又∵bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1。

∴該數(shù)列{bn}是首項為b1=3、公比等于2的等比數(shù)列。

（二）解：由（1）可以得出bn=an+1-2an=3·2n-1，∴an+1/2n+1-an/2n=3/4

∴數(shù)列{an/2n}是首項等于1/2、公差等于3/4的等差數(shù)列。

∴an/2n=1/2+（n-1）3/4=3/4n-1/4，即an=（3n-1）·2n-2

在該題中的第個問題當中，由于an+1-2an=3·2n-1是an+1=pan+qn（p，q常數(shù)）型，在解題時，只需將兩邊同時除以qn+1，再利用構造法求解該數(shù)列的通項公式[2]。

五、an+2=pan+1+qan型

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，求數(shù)列{an}的通項公式。

本題的解題思路是：假如p+q=1，則構造成為an+2-an+1=（p-1）·（an+1-an）。

解：∵an+2=3an+1-2an，∴an+2-an+1=2（an+1-an）。

∴數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=2首項，公比為2的等比數(shù)列。

∴an+1-an=2×2n-1=2n。

∴a2-a1=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1。

將以上n-1個式子兩邊分別相加得到：an-a1=2+22+…+2n-1，

∴an=2n-1。

結束語：

構造法是求解通項公式較為常用的方法，學生在解題過程中，只有具備扎實的數(shù)學理論基礎，經常性的對所學過的數(shù)學知識進行溫習，在應用構造法解決數(shù)列通項公式問題時能夠靈活運用正確的數(shù)學理論以及便捷高效的解題方法，求數(shù)列通項公式的問題也會迎刃而解。