例談小學(xué)數(shù)學(xué)概念的抽象及其本質(zhì)特征

馬喜平

（河北省唐縣都亭鄉(xiāng)北都亭小學(xué)，河北 唐縣 072350）

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論體系的基礎(chǔ)，從20世紀(jì)40年代起，概念理解逐漸成為教育心理學(xué)的一個主要研究課題，然而因為受到“回歸基礎(chǔ)”運動的影響，在20世紀(jì)80年代中期典型的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂里，有85%以上的時間花在練習(xí)運算程序上，只有不到15%的時間用于發(fā)展概念的理解。到了20世紀(jì)90年代后期，概念理解才又重新成為數(shù)學(xué)課堂的焦點。盡管如此，在我國當(dāng)前的小學(xué)課堂教學(xué)中，重定義輕理解的現(xiàn)象仍然普遍存在。這也可以從教師們在教學(xué)時產(chǎn)生的困惑中窺見一斑，如一位教師在“比的意義”課后反思中談到：“一節(jié)課下來，做后測時問學(xué)生，什么是比？學(xué)生也能對答如流：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。過幾天再測，學(xué)生回答起來就有些茫然，追問原因，學(xué)生的回答是沒背下來，忘了。捫心自問，小學(xué)的概念教學(xué)只是讓學(xué)生把概念背下來就算學(xué)會了嗎？教師上課時也設(shè)計了一些貼近生活的情境，為什么經(jīng)過幾天的擱置，學(xué)生對概念的理解就會淡忘甚至遺忘呢？”相信這位教師的困惑也是很多一線教師的困惑，那么數(shù)學(xué)概念本身有哪些特點？學(xué)生對數(shù)學(xué)概念有著怎樣的學(xué)習(xí)與認(rèn)識過程？教師如何幫助學(xué)生理解與鞏固數(shù)學(xué)概念？本文擬以“比的意義”一課為例，對這些問題進(jìn)行一些梳理和探討。

一、數(shù)學(xué)概念的形成是一個抽象的過程

從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來看，數(shù)學(xué)概念的來源一般認(rèn)為有兩個方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得；二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過多級抽象所獲。所以說，數(shù)學(xué)概念既有它的抽象性，也有它的具體內(nèi)容。例如“比的意義”這部分內(nèi)容，2001年版課標(biāo)下的各個版本教材盡管在處理方式上有所不同，但都是通過設(shè)計豐富的情境，如國旗的長與寬的關(guān)系、路程與時間的關(guān)系等情境，在引導(dǎo)學(xué)生充分感知和體會的基礎(chǔ)上，再抽象出“兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比”或“兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除”。不管采用什么樣的情境，一般來說，大陸版教材都將比的含義劃分為兩層：一是比例（刻畫同類兩個量之間的關(guān)系，如按比例分配、溶液的濃度等）；二是比率（刻畫異類兩個量之間的關(guān)系，如路程與時間、總價與數(shù)量之間的關(guān)系）。臺灣版教材中用“對等關(guān)系”來刻畫“比”，并將這種對等關(guān)系更加細(xì)致地劃分為四種類型：

（1）組合：一組親子游戲中三個小孩，需要兩個大人來協(xié)助；（2）母子：一打襯衫有12件，其中4件是藍(lán)色的；（3）交換：小華拿了135本雜志到圖書館換了9本小說；（4）密度：30立方厘米的水重30克。傳統(tǒng)教材中的“概念” （確切地說是“定義”）多是以“黑體字”的形式呈現(xiàn)，凡是“黑體字”就是教師授課時要再三強調(diào)的，也是需要學(xué)生必須記住的，新課改后的教材取消了“黑體字”，而代之以多樣化的情境抽象出“概念”的過程，是符合數(shù)學(xué)概念的發(fā)展順序，更加符合兒童概念學(xué)習(xí)和理解的認(rèn)知規(guī)律的。正如杜威指出的：只有當(dāng)他具備了和意義有實際聯(lián)系的某些情境的經(jīng)驗，他才能掌握這些符號的意義。如果僅以文字來推演意義，而與事物沒有關(guān)聯(lián)，文字就會失去可理解的含義。因此，呈現(xiàn)多種現(xiàn)實情境，對幫助學(xué)生全面而深刻地理解“比的意義”是大有裨益的，這也是不同版本教材均呈現(xiàn)多樣化情境的目的所在。

二、“概念”需揭示事物的本質(zhì)特征

對課堂上學(xué)生的表現(xiàn)教師深感困惑：為什么學(xué)生會對比與除法之間如此明顯的關(guān)系“視而不見”？我們對前述教師課堂上學(xué)生的反應(yīng)進(jìn)行一個回放。

情境1：第一次試講。教師引導(dǎo)學(xué)生列出幾種數(shù)量關(guān)系之間的除法算式。

（1）一面長60厘米、寬40厘米的國旗，長與寬之間的關(guān)系怎么表示？長是寬的幾倍：60除以40， 也可以寫成60比40。（2）一列火車2小時行駛了500千米，速度是多少？500除以2，也可以寫成500比2。路程除以時間=速度。（3）買4斤蘋果花了20元，蘋果的單價是多少？20除以4，也可以寫成20比4?？們r除以數(shù)量=單價。在作了這些鋪墊后詢問學(xué)生：“什么是比？”本以為學(xué)生會很順利地回答出“比”的定義，卻發(fā)現(xiàn)沒有一個學(xué)生能夠回答這個問題，于是教師直接給出“兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比”這一定義。課后教師在反思時談到，學(xué)生之所以回答不上來，是因為自己沒有反復(fù)強調(diào)和勾連“除法”與“比”之間的關(guān)系。于是在第二次試講時，教師將重點放在了聯(lián)系二者的關(guān)系上。

那么比到底是什么？作為數(shù)學(xué)名詞，目前看到的有如下三種不同的解釋：（1）比是表示兩個量倍數(shù)關(guān)系的記錄（1999年版《辭?！罚唬?）比是表示兩個數(shù)相除關(guān)系的記錄（大陸小學(xué)數(shù)學(xué)教材）；（3）比是表示兩個量對等關(guān)系的記錄（臺灣小學(xué)數(shù)學(xué)教材）。王永老師指出：比源于度量，比能夠解決物體不可度量的屬性的可比性，這才是比的本質(zhì)。