三角恒等變換與函數(shù)最值的綜合問題

■趙 昆

三角函數(shù)的最值問題有兩大類型：一是通過恒等變換，轉化成一種三角函數(shù)，如y=Asin（ω x+φ）的形式，再借助三角函數(shù)的有界性、單調性求出最值；二是通過恒等變換，轉化成同名、同角的三角函數(shù)的平方式，如y=asin2x+bsinx+c的形式，再利用二次函數(shù)求最值。

一、化成f（x）=Asin（ω x+φ）+b型

1.借助兩角和與差的公式求最值

例1已知函數(shù)求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值。

解：f（x）=sin 2xcos

評析：函數(shù)f（x）=Asin（ω x+φ）+b在給定區(qū)間上的最值問題，一般通過換元法，令t=ω x+φ，由x的取值范圍求出t的取值范圍，這樣問題就轉化為y=Asint在給定區(qū)間上的最值問題，然后借助正弦函數(shù)的圖像，即可求出函數(shù)的最值。

2.借助降冪公式求最值

例2求函數(shù)f（x）=sin2x+2 sinx·cosx+3 cos2x，x∈R的最大值。

解：f（x）=sin2x+2 sinxcosx+3 cos2x=1+2 sinxcosx+2 cos2x=2+sin2x+

由x∈R，可知當時，函數(shù)

評析：利用降冪公式和二倍角公式先把角統(tǒng)一，然后通過輔助角公式化成一個角的三角函數(shù)求最值。如果題中給出了x的取值范圍，要注意x取何值時，函數(shù)取得最值。

二、化成一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題

1.利用同角三角函數(shù)的平方關系求最值

例3求函數(shù)f x（）=2 sin2x+2 sinx-的最值。

解：令t=sinx，則

故函數(shù)f x（）在上的最小值為1，最大值為

評析：函數(shù)y=asin2x+bsinx+c，x∈D的最值問題，通過換元，令t=sinx，將所求問題轉化為一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，再借助一元二次函數(shù)的單調性求最值。

2.利用cos 2x與sin2x的關系求最值

例4求函數(shù)f（x）=2 cos 2x+sin2x-4 cosx的最值。

解：f（x）=2（2 cos2x-1）+（1-cos2x）-4 cosx=3 cos2x-4 cosx-1。

令t=cosx，則t∈[-1，1]，所以所求問題可轉化為函數(shù)y=3t2-4t-1在t∈[-1，1]上的最值問題。

由一元二次函數(shù)的單調性可知，當t=-1時，此函數(shù)取得最大值6；當時，此函數(shù)取得最小值

評析：借助二倍角公式化成一種三角函數(shù)，再通過換元法，將所求問題轉化成一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解。

3.利用sinx+cosx與sinxcosx的關系求最值

例5求函數(shù)f（x）=2a（sinx+cosx）-sinxcosx-2a2（a＞0）的最值。

解：令t=sinx+cosx，則t=且

故y=2a（sinx+cosx）-sinxcosx-

評析：令t=sinx±cosx，把所求問題轉化成關于t的一元二次函數(shù)，然后利用一元二次函數(shù)的單調性求最值。當然，sinx±cosx與sinxcosx的關系也可以是（sinx+a）（cosx+b）的形式。