處理三角恒等變換問(wèn)題的三個(gè)視角

■任海濤

三角恒等變換是一種重要的數(shù)學(xué)思想和方法，三角恒等變換在解題中的主要作用是化簡(jiǎn)和求值。熟練掌握一些三角恒等變換的技巧，可以把復(fù)雜的關(guān)系用簡(jiǎn)單的形式表示出來(lái)，下面就該類問(wèn)題進(jìn)行歸納，供大家學(xué)習(xí)與參考。

一、運(yùn)用函數(shù)與方程思想，整體代換

例1已知2 sinθ-cosθ=1，求的值。

解：設(shè)，則（1-t）sinθ+（1+t）cosθ=t-1，聯(lián)立2 sinθ-cosθ=1，解得利用sin2θ+cos2θ=1，解得t=0或t=2。

評(píng)析：將所求式子設(shè)為t，然后看成關(guān)于sinθ，cosθ的方程，與已知條件聯(lián)立，求出sinθ，cosθ的值，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，建立關(guān)于t的方程求值。

二、運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，巧妙變角

例2已知，則

解：由可得

評(píng)析：本題是條件求值問(wèn)題，所求角是α，已知角是，所求角和已知角之間的關(guān)系是利用這種關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化可求出所求的值。

三、運(yùn)用換元思想，合理轉(zhuǎn)化

例3已知函數(shù)f x（）=sinx+cosx+sinxcosx，求f x（）的最大值。

解：令則所以故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)

評(píng)析：利用已知條件中的特定關(guān)系，把式子sinx+cosx用t表示，實(shí)現(xiàn)變量替換，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最大值。

例4已知求證：a2+b2=1。

證明：由已知得1-b2≥0，1-a2≥0，即

設(shè)a=cosx，b=cosy，x，y∈ [0，π]。

因?yàn)閤+y∈[0，2 π]，所以

故a2+b2=cos2x+cos2y=cos2x+

評(píng)析：由1-b2≥0，1-a2≥0，得這符合三角函數(shù)的有界性，故可考慮用三角換元法進(jìn)行求解。