關(guān)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中折疊問題的解題探討

江蘇省鹽城市大豐區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 吳 俊

德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)說過：思維想象能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必不可少的載體。幾何數(shù)學(xué)中的圖形空間折疊問題包含了較多的基礎(chǔ)圖形，需要學(xué)生在混亂的組合圖形中找出數(shù)學(xué)等量關(guān)系，對(duì)隱含條件進(jìn)行挖掘，提升自身的數(shù)學(xué)思維能力，從而感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的趣味性。

一、幾何圖形在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

俗話說：得民心者得天下，幾何圖形在數(shù)學(xué)中的地位也是一樣。在每年中考數(shù)學(xué)科目結(jié)束后，幾何圖形出題的難易度都受到學(xué)生及老師的熱切關(guān)注，甚至直接決定學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)，例如：在幾何圖形中添加輔助線解題、二次函數(shù)與幾何圖形間的聯(lián)合解題等等，這些幾何圖形與其他知識(shí)點(diǎn)間的結(jié)合千變?nèi)f化，是初中生幾何學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，可以說，初中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要沿線就是幾何圖形。

二、初中數(shù)學(xué)幾何圖形折疊問題解題思路分析

1．找出幾何圖形折疊問題的特點(diǎn)

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性在于幾何圖形的變化，能夠吸引學(xué)生的好奇心，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力及自豪感。雖然折疊問題在幾何圖形中的形式千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，總會(huì)有一定的規(guī)律，所以學(xué)生在對(duì)幾何圖形折疊問題進(jìn)行解析時(shí)，一定要親身體驗(yàn)圖形折疊的過程，這對(duì)于空間感較差的學(xué)生來說難度非常大，但學(xué)生只有經(jīng)歷圖形的折疊過程，才能對(duì)變換前及變換后的圖形有一個(gè)更直觀的概念，提高學(xué)生的理解能力。例如：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16，將正方形折疊，使點(diǎn)B 落在邊CD 上的點(diǎn)Q 位置，折痕為MN，QC 的值為4，求BN 和AM 的值。老師可以利用實(shí)物讓學(xué)生按照例題的表述動(dòng)手折疊，學(xué)生經(jīng)過多次動(dòng)手實(shí)踐后得出其中的結(jié)論：折疊的過程就是軸對(duì)稱變換的過程，根據(jù)軸對(duì)稱變換圖形的規(guī)律可知：AM=A′M，BM=QM，AN=A′N，BN=QN，再根據(jù)邊長(zhǎng)BC 值為16，QC=4，BN=QN，在直角三角形QCN 中，可求出BN 的值，又因?yàn)锽M=QM，再帶入直角三角形QDM 中，即可得出AM 的值。

2．與其他基礎(chǔ)圖形搭配解題

實(shí)質(zhì)上，初中數(shù)學(xué)中教授的圖形都具有一定的共性，許多圖形的特點(diǎn)都非常明顯，用法非常簡(jiǎn)單，但卻可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。在折疊的過程中非常容易形成全等三角形，如上述例題，只要在點(diǎn)M 向BC 作垂直線段，就可以形成兩個(gè)明顯的全等三角形，當(dāng)學(xué)生在解決幾何圖形折疊問題時(shí)，能夠把直角及折疊的相關(guān)性質(zhì)活學(xué)活用，就可以拓展自身的思維，打開解題的思路，達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的目的。例如：已知在長(zhǎng)方形ABCD 中，邊AB、AD 分別為16、14，將這個(gè)長(zhǎng)方形由B 點(diǎn)向AD 上折疊，落在x 點(diǎn)，則折痕的長(zhǎng)度為多少？學(xué)生在解決這類折疊題型時(shí)，應(yīng)該通過添加輔助線，將兩個(gè)相似三角形找出來，然后再計(jì)算折痕的長(zhǎng)。

3．注重?cái)?shù)形結(jié)合的應(yīng)用

幾何圖形折疊問題所要考察的知識(shí)點(diǎn)不僅僅局限在圖形的推理論證方面，還需要將幾何圖形與函數(shù)相結(jié)合，找出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，繼而簡(jiǎn)化運(yùn)算。出題者在進(jìn)行出題設(shè)計(jì)時(shí)，經(jīng)常會(huì)將多種基礎(chǔ)圖形進(jìn)行折疊形成一個(gè)新的多邊形，學(xué)生要在復(fù)雜的圖形中找出相等的關(guān)系、無變化的條件及其他搭配組合，這樣才可以將題目中的隱含條件全部挖掘出來，提升解題速度，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的領(lǐng)悟程度越來越快。例如：在矩形ABCD 中，AB=6，在BC 上存在點(diǎn)Q，BQ 的值為2，將三角形ABQ 沿著AQ 進(jìn)行折疊，點(diǎn)B 落在B′處，將QB′延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)D，再以點(diǎn)Q 將其折疊，使點(diǎn)C 落在F 點(diǎn)，求BC 的長(zhǎng)。學(xué)生在解決這類折疊問題時(shí)，由于折疊的次數(shù)較多，題型較復(fù)雜，易產(chǎn)生恐懼心理，因此，在解題過程中應(yīng)該先找到圖形中相等的三角形結(jié)構(gòu)，通過簡(jiǎn)單分析可知∠AQE 的角度為90，可以設(shè)CE 為x，那么QC=DQ=AD=3x，所以CF=BQ=2。再根據(jù)FE=CE=x，DE=6-x，代入直角三角形EFD 中，根據(jù)勾股定理可知：x2=22+（6-x）2，計(jì)算出x 的值，從而得出BC 的長(zhǎng)度。

4．合理運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系

在幾何圖形折疊問題中加入其他數(shù)學(xué)問題，能夠考查學(xué)生的分析研究能力及邏輯思維。將平面直角坐標(biāo)系加入幾何圖形折疊問題中，既可以反映出數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又可以為學(xué)生提供更多的解題方法，這也說明了為什么近年來折疊圖形在中考試題中出現(xiàn)的頻率越來高。

5．正確理解幾何圖形原理的內(nèi)涵

在解決幾何圖形問題時(shí)，輔助線可以幫助學(xué)生更好地理解幾何圖形的折疊規(guī)律，對(duì)理解幾何圖形原理的內(nèi)涵具有深遠(yuǎn)的意義。例如：在長(zhǎng)方形OABC 中，OC、BC 的值分別為6、8，已知OA 上有一點(diǎn)P，若將三角形OPC 沿著PC 折疊，使點(diǎn)O 落在長(zhǎng)方形OABC 的對(duì)角線上的點(diǎn)O′處，那么OP 的值應(yīng)為多少？學(xué)生在解決這樣的折疊幾何問題時(shí)，應(yīng)以點(diǎn)C 為中心，OC 為半徑畫一個(gè)圓，并添加長(zhǎng)方形OABC 的對(duì)角線輔助線，可以在圖中清晰地看出存在兩個(gè)O′點(diǎn)，也就是說有兩個(gè)P 點(diǎn)，這樣就簡(jiǎn)化了復(fù)雜的幾何問題。學(xué)生在計(jì)算過程中，需要連接PO′，根據(jù)三角形的勾股定理及已知條件，求得OP 的值為3 或者4.5。學(xué)生需要在變化的折疊中找出有效條件，添加輔助線段，結(jié)合多種圖形的基本規(guī)律進(jìn)行綜合分析，通過多次練習(xí)，找到圖形中的對(duì)等關(guān)系，逐漸增加自身的邏輯思維能力，在題海戰(zhàn)術(shù)中總結(jié)自身的解題規(guī)律，從而提高中考數(shù)學(xué)成績(jī)。

雖然人們能夠在音樂中感悟情感，在繪畫中陶冶情操，在詩歌中抒發(fā)心情，在哲學(xué)中領(lǐng)悟人生，通過科學(xué)技術(shù)提高自身的生活水平，但數(shù)學(xué)能夠得到這一切。對(duì)于學(xué)生來說，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，可以提高其他學(xué)科的學(xué)習(xí)效果，鍛煉自身的數(shù)學(xué)邏輯思維，為學(xué)生的思維良性發(fā)展提供基礎(chǔ)。