振幅放大型鋼軌吸振器對(duì)彈性波傳播的控制研究

馮青松, 張瀚文, 郭文杰, 梁玉雄, 陸建飛

(1. 華東交通大學(xué) 軌道交通基礎(chǔ)設(shè)施性能監(jiān)測與保障國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南昌 330013;2. 江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

近些年我國輪軌交通發(fā)展迅速,在給居民的出行帶來巨大便利的同時(shí),也引發(fā)了新的噪聲污染問題。從噪聲的聲源來看,輪軌噪聲占主導(dǎo)地位,而鋼軌振動(dòng)又是輪軌噪聲最主要的貢獻(xiàn)源[1-2],因此對(duì)鋼軌采取相應(yīng)的減振措施可以使輪軌噪聲得到有效的控制。

針對(duì)鋼軌的減振降噪措施有很多種,包括鋼軌的重型化和無縫化、阻尼鋼軌[3]以及安裝動(dòng)力吸振器等。其中,鋼軌動(dòng)力吸振器具有減振效果好、易于安裝及維護(hù)等特點(diǎn),尤其對(duì)于已經(jīng)建成的線路,安裝動(dòng)力吸振器無疑是實(shí)現(xiàn)減振降噪的最優(yōu)措施之一,其作用原理是給鋼軌結(jié)構(gòu)附加上質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng),使鋼軌同質(zhì)量塊之間產(chǎn)生諧振及阻尼耗散從而降低鋼軌的振動(dòng)。

國內(nèi)外已有不少關(guān)于動(dòng)力吸振器應(yīng)用于軌道結(jié)構(gòu)減振降噪的研究。Wu[4]分析了吸振器的不同參數(shù)和安裝位置對(duì)鋼軌減振效果的影響。Thompson[5]提出了一個(gè)多自由度多調(diào)諧頻率的組合式吸振器,可以在更寬頻范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)減振降噪。孫曉靜等[6]對(duì)安裝了動(dòng)力吸振器的鋼軌的垂向振動(dòng)進(jìn)行了現(xiàn)場測試,發(fā)現(xiàn)動(dòng)力吸振器能在特定頻段有效抑制鋼軌振動(dòng)。孟鐸[7]建立了按周期規(guī)律附加吸振器的軌道結(jié)構(gòu)模型,并分析了吸振器參數(shù)對(duì)鋼軌振動(dòng)帶隙的影響。Wang等[8]同樣基于帶隙機(jī)理研究了周期性布置吸振器對(duì)鋼軌振動(dòng)的衰減效果,發(fā)現(xiàn)新引入的局域共振帶隙和原來的軌道結(jié)構(gòu)帶隙之間存在耦合和躍遷,并在耦合位置形成寬頻帶隙,從而抑制結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播。

目前,關(guān)于鋼軌動(dòng)力吸振器的研究及優(yōu)化設(shè)計(jì)基本都是圍繞如何在更寬的頻率范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)減振降噪開展的,要想拓寬吸振器的減振頻率段必須增大吸振器的質(zhì)量,而自身過大的質(zhì)量難免會(huì)給吸振器的實(shí)際工程應(yīng)用造成困難。因此,本文從控制周期結(jié)構(gòu)中彈性波傳播的角度出發(fā),基于振幅放大機(jī)制提出了一種新型的鋼軌動(dòng)力吸振器,并對(duì)其減振效果進(jìn)行了對(duì)比分析,為在不增大吸振器質(zhì)量的前提下提升其工作性能提供了參考。

1 吸振器的設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的基于振幅放大機(jī)制的鋼軌動(dòng)力吸振器,如圖1所示,將其布置在鋼軌的跨中位置[9]。吸振器整體類似于一個(gè)杠桿裝置,一頭為連接鋼軌底部的磁座;另一頭為可以疊加橡膠墊層和鉛塊的承重臺(tái);支座和下部的軌道板相連接。在實(shí)際工程中,通過改變承重臺(tái)上鉛塊的數(shù)量和換用不同規(guī)格的橡膠墊層來調(diào)節(jié)吸振器系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度等參數(shù),從而改變吸振器的設(shè)計(jì)頻率,滿足不同頻率段的減振需求。

圖1 基于振幅放大機(jī)制的鋼軌吸振器(mm)Fig.1 Schematic diagrams of rail vibration absorber using an amplitude magnification mechanism (mm)

為便于理解新型吸振器的振幅放大特性,給出了該裝置的平面簡化分析示意圖(見圖1(b))。杠桿兩端力臂長度的分配比即振幅的放大倍數(shù)表示為

σ=l1/l0

(1)

式中:l0為剛性桿左端點(diǎn)到支座頂端的水平距離;l1為剛性桿右端點(diǎn)到支座頂端的水平距離。

此外,圖1(b)中的鉸支支座與軌道板之間為剛性連接,剛性桿與軌底、剛性桿與鉸支支座之間均為鉸接連接,其中剛性桿可以沿著支座頂部的鉸接點(diǎn)水平方向滑移,以確保該機(jī)構(gòu)不會(huì)發(fā)生部件卡殼從而導(dǎo)致失效。

當(dāng)振幅放大倍數(shù)σ取值為3時(shí),吸振器的整體尺寸見圖1(c),雖然相較于常規(guī)的軌底吸振器,振幅放大型吸振器的尺寸大小基本不會(huì)受到軌底可利用空間的制約,但杠桿長度分配比和鉛塊質(zhì)量的選取等仍可能受制于軌道板上的可利用空間及杠桿的極限承載能力,所以相應(yīng)的振幅放大倍數(shù)σ和質(zhì)量m等參數(shù)的取值也不宜過大。

2 計(jì)算模型

本文基于能量法計(jì)算周期性布置吸振器的鋼軌結(jié)構(gòu)的帶隙,由于主要考慮吸振器對(duì)鋼軌振動(dòng)的衰減效果,且軌道板等下部基礎(chǔ)的剛度較大,近似于剛性基礎(chǔ),為便于分析和計(jì)算,將軌道結(jié)構(gòu)簡化為如圖2所示的周期性布置吸振器系統(tǒng)的單層梁模型,采用Timoshenko梁模擬鋼軌,彈簧模擬扣件,取一個(gè)長度為l的典型單元進(jìn)行分析,由于運(yùn)動(dòng)車輛引起的周期性鋼軌結(jié)構(gòu)振動(dòng)以垂直方向的振動(dòng)為主,故本文選擇鋼軌結(jié)構(gòu)的垂向振動(dòng)作為研究對(duì)象。

圖2 周期性布置振幅放大型吸振器的鋼軌示意圖Fig.2 Schematic diagrams of rail with periodic arrangement of amplitude magnification vibration absorber

鋼軌的位移場表示為[10]

(2)

式中:w(x,t)為鋼軌振動(dòng)的垂向位移;θ(x,t)為鋼軌的截面轉(zhuǎn)角;φi(x)為基函數(shù);ai(t)和bi(t)為權(quán)重系數(shù)。

由于本文提出的新型吸振器通過杠桿機(jī)構(gòu)放大了鋼軌跨中點(diǎn)的振幅,所以連接質(zhì)量塊的彈簧變形量為[σ·w(0)-u*](u*為系統(tǒng)中質(zhì)量塊的垂向位移),則典型周期單元的整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)能、彎曲應(yīng)變能分別表示為

(3)

(4)

扣件的彈性勢能表示為

(5)

式中,kf為扣件的垂向剛度。

在利用傳統(tǒng)能量法進(jìn)行周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙求解時(shí),需要構(gòu)造滿足周期邊界條件的位移函數(shù)[11-12],對(duì)使用者的數(shù)學(xué)構(gòu)造能力要求較高,本文采用虛擬彈簧模擬周期邊界條件,無需對(duì)位移函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造。通過虛擬彈簧將鋼軌的周期單元之間首尾連接(見圖2),則典型周期單元的邊界彈性勢能可表示為

(6)

該典型周期單元結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)狀態(tài)下的拉格朗日量表示為

(7)

(8)

圖3 周期性布置常規(guī)型吸振器的鋼軌示意圖Fig.3 Schematic diagrams of rail with periodic arrangement of conventional vibration absorber

用以表征周期性結(jié)構(gòu)帶隙特性的方式通常包括能帶結(jié)構(gòu)和傳遞率,通過分析有限長周期結(jié)構(gòu)的傳遞率能夠清晰地描述該結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)波傳播的衰減能力,本文繼續(xù)利用能量法對(duì)傳遞率進(jìn)行求解。從軌道結(jié)構(gòu)中選取一段由N個(gè)周期單元組成的有限長結(jié)構(gòu),在結(jié)構(gòu)的左端施加一個(gè)單位垂向簡諧荷載作為激振點(diǎn),右端作為響應(yīng)點(diǎn),并提取兩端點(diǎn)的位移幅值從而得到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性曲線。

對(duì)于如圖4所示的有限長鋼軌結(jié)構(gòu),其動(dòng)能以及考慮阻尼效應(yīng)的彎曲應(yīng)變能相較前述的能帶計(jì)算部分只需要疊加求和即可,故不在此贅述,結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的表達(dá)式見附錄C。

圖4 周期性布置振幅放大型吸振器的鋼軌傳遞率分析示意圖Fig.4 Schematic diagrams of transfer rate analysis of rail with periodic arrangement of amplitude magnification vibration absorber

對(duì)于鋼軌結(jié)構(gòu)的受迫振動(dòng),由于需要考慮外力做功,所以式(7)的拉格朗日量改寫為

(9)

(10)

3 算例分析

本章基于能量法計(jì)算出的周期性布置兩種不同的吸振器時(shí)鋼軌的垂向振動(dòng)帶隙,并結(jié)合鋼軌振動(dòng)的位移導(dǎo)納和振動(dòng)加速度級(jí)對(duì)兩種吸振器的減振效果進(jìn)行對(duì)比分析,采用60 kg/m鋼軌,鋼軌的具體參數(shù)如表1所示。

表1 鋼軌結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of rail structure

研究表明,鋼軌振動(dòng)的Pinned-Pinned模態(tài)對(duì)輪軌噪聲的貢獻(xiàn)較大[13-15],本文主要針對(duì)鋼軌的Pinned-Pinned頻率設(shè)計(jì)動(dòng)力吸振器的參數(shù),由于算例所選用的鋼軌的第一階Pinned-Pinned共振發(fā)生在頻率1 073 Hz處[16-17],因此在動(dòng)力吸振器的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)中,質(zhì)量m取4 kg,剛度k取1.8×108N/m,阻尼損耗因子c取0.2,振幅的放大倍數(shù)σ取3,模擬周期邊界條件的人工彈簧剛度分別取ktx=1012N/m,krx=1012N/rad,位移型函數(shù)表示為

(11)

式中,n=1,2,…,R,R為截?cái)囗?xiàng)數(shù)。

由于在計(jì)算過程中存在疊加求和,因此計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性受到截?cái)囗?xiàng)數(shù)R的影響,需要對(duì)其進(jìn)行收斂性分析。以圖3所示的周期性布置常規(guī)型吸振器的鋼軌結(jié)構(gòu)的能帶求解為例。從頻散曲線中挑選波數(shù)在0.5×π/l處的前三階頻率作為研究對(duì)象,計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 波模態(tài)頻率隨截?cái)囗?xiàng)數(shù)R取值變化曲線Fig.5 Change curve of the wave modal frequency with the truncation term R

由圖5可以看出,在0～3 500 Hz的分析頻段范圍內(nèi),當(dāng)R取值為8時(shí),波模態(tài)頻率值已經(jīng)基本收斂,因此將它作為后續(xù)算例分析中截?cái)囗?xiàng)數(shù)的取值。

3.1 模型驗(yàn)證及帶隙分析

為了證明所提出模型的可靠性,基于有限元法對(duì)布置兩種不同吸振器時(shí)鋼軌結(jié)構(gòu)的帶隙計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。利用COMSOL Multiphysics有限元軟件的固體力學(xué)模塊進(jìn)行建模分析,相較于其他商用有限元軟件,COMSOL能夠直接添加Floquet周期性邊界條件。布置振幅放大型吸振器的鋼軌結(jié)構(gòu)的有限元模型,如圖6所示。

圖6 布置振幅放大型吸振器的鋼軌典型單元有限元模型Fig.6 Finite element model of a typical unit of rail arranged amplitude magnification vibration absorber

鋼軌及吸振器系統(tǒng)均采用實(shí)體單元建立,扣件簡化為線彈簧基礎(chǔ),鋼軌模型相關(guān)參數(shù)的取值與表1一致,為保證吸振器系統(tǒng)中用于振幅放大的杠桿具有足夠大剛度,剛性桿材料的彈性模量值取1016Pa。

計(jì)算出按周期規(guī)律布置兩種不同吸振器的鋼軌垂向振動(dòng)帶隙的理論及有限元計(jì)算結(jié)果,如圖7所示。

圖7 布置兩種不同吸振器時(shí)鋼軌的頻散曲線Fig.7 Frequency dissipation curve of the rail with arrangement of two different vibration absorbers

對(duì)比頻散曲線的理論計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),兩者吻合度很好,證明了本文所提計(jì)算模型的可靠性。將對(duì)應(yīng)于兩種吸振器的理論及有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,如表2所示。

表2 周期性布置兩種吸振器時(shí)鋼軌的振動(dòng)帶隙頻率對(duì)比Tab.2 Comparison of the vibration band gap of the rail with periodic arrangement of two different vibration absorbers 單位:Hz

從圖7和表2中可以看出,在吸振器的其他參數(shù)一致的情況下,相較于常規(guī)吸振器,振幅放大型吸振器能夠顯著拓寬第二階帶隙(即局域共振帶隙)和第三階帶隙(即Bragg帶隙),并在Pinned-Pinned振動(dòng)頻率附近有效地拓寬了帶隙范圍,因此,本文提出的振幅放大型吸振器可以在更寬的頻率范圍內(nèi)抑制鋼軌結(jié)構(gòu)中振動(dòng)的傳播。同時(shí),由于振幅放大機(jī)制通過放大質(zhì)量塊的等效質(zhì)量,相應(yīng)地增大了整個(gè)鋼軌系統(tǒng)的等效質(zhì)量,所以圖7(b)中的第一階帶隙的截止頻率有小幅度降低。

進(jìn)一步利用能量法分析振幅放大機(jī)制對(duì)振動(dòng)傳遞率的影響,為了在有限周期情況下更加準(zhǔn)確地表征吸振器的振動(dòng)衰減效果,選取120 m長的鋼軌進(jìn)行分析,提取距離激振點(diǎn)10跨處位置的響應(yīng),計(jì)算得到按周期規(guī)律布置兩種不同吸振器時(shí)鋼軌結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳輸特性曲線結(jié)果,如圖8所示。

圖8 布置兩種不同吸振器時(shí)鋼軌的振動(dòng)傳輸特性曲線Fig.8 Characteristic curves of vibration transmission in the rail with arrangement of two different vibration absorbers

從圖8可以看出,在吸振器相關(guān)參數(shù)一致的情況下,相較于常規(guī)吸振器,振幅放大型吸振器不僅能明顯地拓寬振動(dòng)衰減范圍,還能有效地提高衰減量,如圖8所示,以引入吸振器后新產(chǎn)生的局域共振帶隙(即第二階帶隙)為例,常規(guī)吸振器的最大衰減量為24.5 dB,振幅放大型吸振器的最大衰減量則達(dá)到了67.2 dB。且對(duì)比3.1節(jié)中周期性布置振幅放大型吸振器鋼軌的禁帶范圍的計(jì)算結(jié)果,傳輸特性曲線中的振動(dòng)衰減域范圍明顯得到了拓寬,這是由于振幅放大機(jī)制有效地增大了阻尼耗散,而阻尼對(duì)帶隙的影響主要表現(xiàn)在它能有效拓寬傳輸特性曲線中的彈性波衰減域的范圍[18-19]。因此,振幅放大型吸振器不僅顯著拓寬了鋼軌中彈性波傳播的衰減域,還增強(qiáng)了域內(nèi)的衰減效果。

3.2 位移導(dǎo)納及振動(dòng)加速度級(jí)分析

比較布置兩種不同吸振器時(shí)鋼軌振動(dòng)的位移導(dǎo)納和振動(dòng)加速度級(jí)的結(jié)果,以分析不同吸振器的減振效果,為使結(jié)果更加精確,鋼軌的長度取300 m,在中間單元的跨中位置處施加一個(gè)垂向的單位簡諧荷載,計(jì)算得到未布置吸振器和布置兩種不同吸振器時(shí)激振點(diǎn)處的位移導(dǎo)納曲線和1/3倍頻程振動(dòng)加速度級(jí)頻譜曲線,分別如圖9(a)、圖9(b)所示。同時(shí),為了進(jìn)一步反映輪軌激振處附近的振動(dòng)衰減情況,在鋼軌上以激振點(diǎn)為中心往線路兩端方向每隔0.6 m選取一個(gè)測點(diǎn),共選取9個(gè)測點(diǎn)的均方根振級(jí)來對(duì)激振點(diǎn)附近一定范圍內(nèi)的振動(dòng)衰減效果進(jìn)行綜合評(píng)價(jià),計(jì)算得到未布置吸振器和布置兩種不同吸振器時(shí)鋼軌測點(diǎn)處的均方根振級(jí)曲線,如圖9(c)所示。

圖9 鋼軌的位移導(dǎo)納和振動(dòng)加速度級(jí)Fig.9 Displacement admittance and vibration acceleration stage of the rail

從圖9(a)可以看出,未布置吸振器時(shí)鋼軌在一階Pinned-Pinned振動(dòng)頻率附近的垂向振動(dòng)導(dǎo)納峰值為1.24×10-9m/N,而兩種吸振器均能在設(shè)計(jì)的頻率處有效地降低鋼軌振動(dòng)的位移,其中安裝常規(guī)型吸振器后位移導(dǎo)納降低為0.39×10-9m/N,而安裝振幅放大型吸振器后則降低為0.26×10-9m/N,同時(shí),在設(shè)計(jì)的減振頻率附近,有效減振頻率范圍也由常規(guī)型吸振器的935～1 335 Hz拓寬為860～1 425 Hz(見圖9(a)中的陰影部分);從圖9(b)和圖9(c)可以看出,相較于未布置吸振器時(shí)的情形,常規(guī)型吸振器使鋼軌振級(jí)降低了2.8 dB,均方根振級(jí)降低了6.4 dB,而振幅放大型吸振器則使鋼軌振級(jí)降低了8.5 dB,均方根振級(jí)降低了14.3 dB,吸振器的有效減振頻率范圍也從873～1 453 Hz和809～1 483 Hz分別擴(kuò)大至816～1 516 Hz(見圖9(b)中的陰影部分)和630～1 571 Hz(見圖9(c)中的陰影部分)。綜上分析可知,本文提出的振幅放大型鋼軌吸振器減振效果要明顯優(yōu)于常規(guī)型吸振器。

4 參數(shù)分析

4.1 振幅放大機(jī)理分析

振幅放大機(jī)制能夠提升動(dòng)力吸振器減振性能的根本原因在于有效地增大了吸振器的等效質(zhì)量、剛度和阻尼。對(duì)于圖3所示的常規(guī)型吸振器,其動(dòng)能以及考慮阻尼效應(yīng)的彈簧應(yīng)變能分別表示為

(12)

式中,u為振子的垂向位移。而對(duì)于圖1(b)所示的振幅放大型吸振器,由于利用杠桿機(jī)構(gòu)對(duì)鋼軌跨中的振幅進(jìn)行了放大,杠桿另一端與彈簧的連接點(diǎn)處以及質(zhì)量塊的垂向位移分別變更為σ·w(0)和σ·u。此時(shí),振子的動(dòng)能以及考慮阻尼效應(yīng)的彈簧應(yīng)變能分別表示為

(13)

圖10 振幅放大機(jī)理分析對(duì)比圖Fig.10 Comparison diagram of amplitude magnification mechanism analysis

從圖10可以看出,保持吸振器參數(shù)不變,調(diào)節(jié)振幅放大倍數(shù)為3與按照9倍同比例增大系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼相比,兩者對(duì)應(yīng)的頻散曲線以及振動(dòng)傳輸特性曲線完全一致,證明了振幅每放大σ倍,系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼都同步增大σ2倍,進(jìn)而將吸振器的減振性能提升了σ2倍。

4.2 振幅放大倍數(shù)對(duì)減振效果的影響分析

通過機(jī)理分析可以發(fā)現(xiàn),振幅放大的倍數(shù)會(huì)影響吸振器的減振效果,進(jìn)一步分析不同振幅放大倍數(shù)對(duì)減振效果的影響。吸振器系統(tǒng)中質(zhì)量塊的質(zhì)量m取4 kg,剛度k取1.8×108N/m,阻尼損耗因子c取0.2,比較布置常規(guī)型吸振器和放大倍數(shù)σ分別取2,3,4,5的振幅放大型吸振器時(shí),鋼軌的振動(dòng)傳遞率、激振點(diǎn)處位移導(dǎo)納、激振點(diǎn)處1/3倍頻程振動(dòng)加速度級(jí)和激振點(diǎn)附近1/3倍頻程均方根振動(dòng)加速度級(jí),計(jì)算結(jié)果如圖11所示。

圖11 振幅放大倍數(shù)對(duì)振動(dòng)傳輸衰減能力的影響Fig.11 Effect of amplitude magnification times on the ability of vibration transmission attenuation

從圖11可以看出,隨著振幅放大倍數(shù)的增加,相應(yīng)的減振頻率范圍呈現(xiàn)不斷擴(kuò)寬的趨勢,振動(dòng)的衰減效果也不斷增強(qiáng)。因此,可以通過增加振幅放大型吸振器的振幅放大倍數(shù)提升其減振性能,但由于過大的倍數(shù)可能導(dǎo)致杠桿的設(shè)計(jì)長度過度增加,從而占用更多軌道上的空間,因此,應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置合理的振幅放大倍數(shù)。

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于振幅放大機(jī)制的鋼軌動(dòng)力吸振器,以周期性布置振幅放大型吸振器的鋼軌為例,利用能量法對(duì)其帶隙進(jìn)行了計(jì)算和分析,建立有限元模型來驗(yàn)證其能帶結(jié)構(gòu),并從位移導(dǎo)納和振動(dòng)加速度級(jí)的角度分析其減振效果,得出以下結(jié)論:

(1) 當(dāng)相關(guān)參數(shù)一致時(shí),振幅放大型吸振器與常規(guī)型吸振器相比擁有更加優(yōu)良的減振性能,這是由于吸振器的等效質(zhì)量、剛度和阻尼都同比得到了放大。

(2) 振幅放大型吸振器對(duì)鋼軌減振頻率段的拓寬效應(yīng)表現(xiàn)在其能明顯地增大第二、第三階帶隙的寬度,對(duì)第一階帶隙影響不大。

(3) 由于同比增加了阻尼損耗,振幅放大型吸振器不僅拓寬了帶隙的范圍,還增強(qiáng)了振動(dòng)波在帶隙內(nèi)的衰減效果。

(4) 可以適當(dāng)?shù)赝ㄟ^增加放大倍數(shù)來穩(wěn)定提升振幅放大型吸振器的減振性能,但如果杠桿過長可能會(huì)侵占線路上的空間,所以應(yīng)根據(jù)實(shí)際工程中的情況合理調(diào)整振幅放大倍數(shù)。

附錄A

1. 質(zhì)量矩陣

2. 剛度矩陣

附錄B

替換后的剛度矩陣

附錄C

1. 疊加求和后的質(zhì)量矩陣

2. 疊加求和后的剛度矩陣

式中:xn(n=1,2,…,N)為接入振子的位置點(diǎn);O1為n×1的零矩陣;O2為1×n的零矩陣。

附錄D

替換后的剛度矩陣

式中:xn(n=1,2,…,N)為接入振子的位置點(diǎn);O1為n×1的零矩陣;O2為1×n的零矩陣。