感悟數(shù)學(xué)思想 探索解題方法 建立數(shù)學(xué)模型
——植樹問題教學(xué)反思

甘肅省合水縣西華池小學(xué) 湯潤會

問題：“同學(xué)們在全長100 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？” 這是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊數(shù)學(xué)廣角——植樹問題中的例題1。植樹問題一般是指沿著一定的路線植樹，路線可能是直的線段,也可能是封閉的曲線。一般來說，問題中的植樹路線的總長度被平均分成若干段（間隔），根據(jù)路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的關(guān)系也有變化，解題方法就不同。在現(xiàn)實生活中，這一類型的題目還有很多種，如在公路兩旁安裝路燈、給花壇四周擺花、把一段木頭鋸成若干段、公交站臺設(shè)立站口、敲鐘、上下樓梯等?？偟膩碚f，要正確解決此類問題，必須理清題目中“植樹棵數(shù)和間隔數(shù)(段數(shù))之間的數(shù)量關(guān)系”這一關(guān)鍵點,也就是植樹的要求。由于實際生活中這類問題很多，因此，掌握植樹問題的數(shù)學(xué)模型至關(guān)重要。而例題1 是解決這類問題的基礎(chǔ)，只有把例題1 中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型理解透徹，學(xué)生才能對實際生活中其他類型的植樹問題迎刃而解。教學(xué)例題1 時，我是這樣做的：

一、問題導(dǎo)入，激發(fā)猜想

教學(xué)時先讓學(xué)生根據(jù)例題1 中的數(shù)學(xué)信息，思考后說出答案?；谝郧八鶎W(xué)的數(shù)學(xué)知識，看到題目，后多數(shù)學(xué)生不假思索地說出算式：100÷5=20（棵）。造成這樣解答的原因是題目中有“每隔5 米栽一棵”這一條件，學(xué)生想到了列除法算式中的“包含除”這一方法。100 米的小路里有20 個5 米的間隔，所以學(xué)生想到這一計算方法，即栽樹的棵數(shù)等于間隔數(shù)。這時我對學(xué)生的答案不急于判定其正確與否，而是適時強調(diào)“兩端都要栽”這一條件，引發(fā)了學(xué)生思維的沖突，激起了學(xué)生強烈的探究欲望。

反思：英國著名哲學(xué)家培根說過：“數(shù)學(xué)是思維的體操。”由此可見，思維能力的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性?！皟啥硕家浴边@一條件一石激起千層浪，使學(xué)生迫切需要借助數(shù)學(xué)素材進行思維活動，極大地引發(fā)了學(xué)生思維的積極性。

二、化繁為簡，探究規(guī)律

為了檢驗“100÷5=20（棵）”這一結(jié)果正確與否，我讓學(xué)生畫線段圖進行分析。由于100 米太長，就讓學(xué)生先畫20 米、25 米的情況，并從中發(fā)現(xiàn)它們共同的規(guī)律：栽樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1。接下來讓學(xué)生運用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想30 米和35 米的情況，并通過畫線段圖加以驗證，經(jīng)過驗證得出“栽樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1”這一結(jié)論是正確的。最后用這一結(jié)論推測大數(shù)據(jù)100 米的情況，學(xué)生知道100 米的小路，每隔5 米栽一棵，共有20 個間隔，兩端都要栽，栽的棵數(shù)比間隔數(shù)多1，所以一共要栽21 棵。

反思：化繁為簡是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，也稱為化歸思想，它是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常采用的方法之一，具有解決問題的普遍意義?；瘹w思想也叫轉(zhuǎn)化法，簡而言之，它是指人們在面對數(shù)學(xué)問題時，如果應(yīng)用已積累的知識不能解決該問題或解決該問題時遇到“瓶頸”，這時就得把要解決的問題轉(zhuǎn)化成能夠解決或比較容易解決的問題。例如在教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)人教版五年級上冊第六單元多邊形的面積時，要經(jīng)常用到這一方法。化歸思想的本質(zhì)是化復(fù)雜為簡單，化未知為已知，化抽象為具體，它是分析解決各種復(fù)雜問題的基本策略和思想方法。

三、肢體比劃，突破難點

通過畫線段圖進行分析，化抽象為具體，得出結(jié)論：“兩端都要栽，棵數(shù)比間隔數(shù)多1?！?這時還有一部分學(xué)生對這一數(shù)學(xué)模型理解得不透徹，我又順勢讓學(xué)生張開一只手觀察，并提問：“5 根手指每相鄰兩根之間有1 個間隔，一共有幾個間隔？” 顯而易見，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，5 根手指之間有4 個間隔，而每一根手指相當于一棵樹，這時學(xué)生又把手指與栽的樹對應(yīng)起來，進一步加深了對植樹問題中兩端都要栽解題策略的理解,還幫助學(xué)生建立了植樹問題的數(shù)學(xué)模型。

反思：數(shù)學(xué)語言有很多種，肢體語言也是其中的一類。課堂上合理運用肢體語言，可以便捷傳遞數(shù)學(xué)信息，使得抽象的數(shù)學(xué)知識變得更加形象直觀，有利于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

四、合作交流，遷移轉(zhuǎn)化

如前所述，植樹問題中“植樹”的路線一般包括兩種情況：一是線段型，二是封閉曲線型，如圓形或橢圓形。即使是一條線段上的植樹問題類型也很多，一般有三種情形：一是兩端都要栽；二是一端栽另一端不栽；三是兩端都不栽。而每種情形都可以衍生出許多與實際生活相關(guān)的植樹問題，所以植樹問題也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)廣角板塊中的難點與熱點。有了關(guān)于例題1 的解題思路，為了進一步加深學(xué)生的理解和掌握，我又及時提出了如下問題：“同學(xué)們在全長100 米的小路一邊栽樹，每隔5 米栽一棵,一端栽，一端不栽，一共要栽多少棵？如果兩端都不栽呢？” 這時我采用了分層教學(xué),學(xué)生可以畫線段圖分析，也可以進行推理,還可以小組合作交流討論。學(xué)生很快得出結(jié)論：兩端都要栽應(yīng)該栽21 棵，一端栽一端不栽應(yīng)該栽20 棵，兩端都不栽要栽19 棵。

反思：通過小組合作，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，尤其使學(xué)困生學(xué)會了如何學(xué)習(xí)，改進了學(xué)習(xí)方法，更有利于培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力，充分發(fā)揮了合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，提高了課堂教學(xué)的效率。通過知識的遷移，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，開拓了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，達到了觸類旁通、舉一反三的效果。

五、歸納概括，建立模型

有了例題1 的補充練習(xí)，適時讓學(xué)生總結(jié)關(guān)于植樹問題最基本的題型，一條線段上三種情況的解題策略：兩端都栽，棵數(shù)=間隔數(shù)（段數(shù)）＋1；一端栽一端不栽，棵數(shù)=間隔數(shù)（段數(shù)）；兩端都不栽，棵數(shù)=間隔數(shù)（段數(shù)）－1 。

反思：數(shù)學(xué)廣角欄目的編排目的是通過現(xiàn)實生活中一些常見的實際問題，讓學(xué)生體會一些解決問題的策略和方法，明確數(shù)學(xué)知識來源于生活又應(yīng)用于生活。植樹問題就是對新課標中這一理念的最好詮釋，通過總結(jié)這三個策略，為學(xué)生分析解決植樹問題提供了思想方法。

總之，在植樹問題的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了找出題目中的數(shù)學(xué)信息，通過分析思考，利用已有的知識儲備，對要解決的問題答案進行猜測，接著把題中的大數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了小數(shù)據(jù)，進行畫線段圖驗證、分析推理，得出一般性的方法和結(jié)論，最后在小組合作交流等探究活動的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出了植樹問題的解題策略，建立了數(shù)學(xué)模型。通過諸多的數(shù)學(xué)活動，使他們既學(xué)會了一些解決問題的一般方法，又形成了嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維方式，同時也使學(xué)生初步認識到轉(zhuǎn)化思想是解決問題的基本策略。