多法并舉求三角函數(shù)的最值問題

■任海濤1 吳 禎2

三角函數(shù)的最值問題是每年高考的?？純?nèi)容。下面歸納總結(jié)不同題型的解決方法，以幫助同學(xué)們提高對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力。

題型一：y=Asin（ωx+φ）型的函數(shù)最值問題

例1求函數(shù)y=sinx+在區(qū)間上的最大值和最小值。

解：y=

評(píng)析：對(duì)于形如y=asinωx+bcosωx+c（a＞0）的函數(shù)可利用輔助角公式化為y=的形式求最值。

題型二：化為二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題

例2求函數(shù)y=cos2x-2mcosx的最小值。

解：y=cos2x-2mcosx=（cosx-m）2-m2。①當(dāng)m＜-1時(shí)，則當(dāng)cosx=-1時(shí)，ymin=1+2m；②當(dāng)m＞1時(shí)，則當(dāng)cosx=1時(shí)，ymin=1-2m；③當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，則當(dāng)cosx=m 時(shí)，ymin=-m2。

評(píng)析：對(duì)于形如y=asin2ωx+bsinωx+c（a＞0）或 y=acos2ωx+bcosωx+c（a＞0）的函數(shù)的最值問題，可通過配方轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題求解。

題型三：換元法求三角函數(shù)的最值問題

例3已知函數(shù)fx（）=sinx+cosx+sinxcosx，求函數(shù)fx（）的最大值。

解：令t=sinx+cosx=則所以函數(shù)y=故當(dāng)即+2kπ，k∈Z時(shí)

評(píng)析：對(duì)于形如sinx±cosx與sinxcosx的最值問題，可以通過換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題求解，但要注意新變量的取值范圍。

題型四：利用三角函數(shù)的有界性求最值問題

例4求函數(shù)的最小值。

解：（法1）由可得sinx=因?yàn)?1≤sinx＜1，所以≤1，可得故原函數(shù)的最小值為

評(píng)析：對(duì)于形如或的最值問題，可先反解出sinx或cosx，再利用三角函數(shù)的有界性求解。或者，先分離常數(shù)，然后利用不等式的性質(zhì)求解。