高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些應(yīng)對策略

安徽省合肥市肥東一中 杜先陽

本文針對高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)之一的概念教學(xué)，總結(jié)提出了一些在日常教學(xué)中行之有效的方法與策略。

概念是數(shù)學(xué)的基石，是數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑，是數(shù)學(xué)推理的依據(jù)，是理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)邏輯思維能力的起點(diǎn)，也是學(xué)生較難掌握的重難點(diǎn)內(nèi)容之一。為了更好地幫助學(xué)生順利渡過“概念”難關(guān)，在這些年的教學(xué)中，我積極探索實(shí)踐了一些方法，以下是我的一些總結(jié)，歡迎各位指正。

一、抓直觀或背景形成概念

數(shù)學(xué)概念具有高度的概括性和抽象性，讓學(xué)生通過對一些直觀實(shí)例（或?qū)嵨铮┑挠^察、分析，概括形成概念，要比直接告訴他們“是什么”更有利于學(xué)生理解和接受概念。如對于函數(shù)奇偶性概念的形成過程，由于奇偶性本質(zhì)上是對函數(shù)圖像的對稱性的代數(shù)描述，而關(guān)于對稱性，學(xué)生的知識基礎(chǔ)是初中平面幾何中的關(guān)于圖形的對稱性的幾何描述，這就需要教師在教學(xué)中在幾何描述的基礎(chǔ)上，逐步找到函數(shù)對稱性的代數(shù)描述，當(dāng)然不可以直接給出奇偶性的定義。因而我首先引導(dǎo)學(xué)生從圖像入手，抓住圖像的直觀對稱特征，提問：坐標(biāo)平面內(nèi)具有對稱性特征的函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)P（x，f（x））的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？這個點(diǎn)作為函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)又可以怎么表示？這樣引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn) f（-x）＝-f（x）（或 f（-x）＝ f（x）），從而引出奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，使學(xué)生在定義形成過程中理解到“為什么要這樣定義”，也就是既知其然，也知其所以然，真正理解此概念的本質(zhì)，還能在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)探究的意識和數(shù)學(xué)化的分析與表達(dá)能力，做到一舉多得，使數(shù)學(xué)概念教學(xué)與能力生成融為一體。

二、抓要點(diǎn)領(lǐng)會概念

概念教學(xué)是要指導(dǎo)學(xué)生弄清這個“概念”本身究竟是為了描述什么，是怎樣敘述的，這個“概念”分幾個層次，有哪些要點(diǎn)和關(guān)鍵詞，使學(xué)生能用自己的語言去剖析它，并能依據(jù)這個概念做出一些判斷或分析。例如，在函數(shù)的周期性的概念教學(xué)中，我抓住這個概念的幾個要點(diǎn)：（1）存在一個非零常數(shù)T；（2）x是函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的定義域D中任意一個值；（3）x+T∈D；（4）f（x+T）＝f（x）對D中任意的x總是成立的。

具備以上四點(diǎn)，才能稱函數(shù)y＝f（x）（x∈D）為周期函數(shù)，并稱T是它的周期。在指出以上要點(diǎn)之后，為了糾正學(xué)生對周期性的理解可能產(chǎn)生的錯誤，我給出問題：下列函數(shù)是周期函數(shù)嗎？

（1）f（x）=3x，x∈ R;

（2）f（x）=sinx，x∈ R，x≠ 0;

（3）f（x）=sinx，x∈ R，x≠ 2kπ，k ∈ Z。

在完成以上題組后，我又提出以下問題考查學(xué)生的概念掌握與運(yùn)用情況：當(dāng)T為周期時，2T（k∈Z，k≠0）也是周期嗎？3T呢？-T呢？

以上問題由于抓住了概念的要點(diǎn)和關(guān)鍵詞，使學(xué)生對概念的記憶和理解更加深刻，更能抓住周期性概念的本質(zhì)。

三、抓特征區(qū)分概念

有些數(shù)學(xué)概念有一定的相似性，學(xué)生容易發(fā)生混淆，這時在教學(xué)中適時加以區(qū)分，指出差異，可有效避免學(xué)生概念認(rèn)識不清情況的發(fā)生。

如在數(shù)列概念的教學(xué)中，學(xué)生常常不能理解數(shù)列的項(xiàng)的有序性與可重復(fù)性，我首先讓學(xué)生辨析數(shù)列：1，2，3，4，5與集合｛1，2，3，4，5｝的差異，指出數(shù)列中的“項(xiàng)”的順序性與集合中“元素”的無順序性的差異，其次，我讓學(xué)生辨析數(shù)列：1，2，2，3，4，4，5，5，與集合｛1，2，3，4，5｝的差異，指出數(shù)列中各“項(xiàng)”的值可重復(fù)與集合中各元素不可重復(fù)的差異，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解數(shù)列的項(xiàng)的有序性與各項(xiàng)取值的可重復(fù)性。

又如，在立體幾何教學(xué)中，在二面角的概念教學(xué)完成后，及時對異面直線所成的角、線面角、二面角三者進(jìn)行異同點(diǎn)的辨析，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)三者在概念建立方面的思想方法的一致性，即把三維空間中的角度問題轉(zhuǎn)化為二維平面上的線線角問題，著重幫助學(xué)生快速理解三者的區(qū)別，這樣更好地促進(jìn)這些概念在學(xué)生腦海中扎根。

四、抓反例辨析概念

學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和由此引發(fā)的性質(zhì)理解不透徹、不準(zhǔn)確時，極易發(fā)生誤判誤用，如“以偏代全”“只及其一，不及其余”“偷梁換柱”等錯誤，而運(yùn)用反例是糾正概念理解偏差的很好的教學(xué)手段。

如函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中，對于增函數(shù)概念中強(qiáng)調(diào)定義域D中任取兩個不同的變量x1和x2，都有f（x1）＜f（x2），學(xué)生往往不夠重視x1和x2具有任意性這一點(diǎn)，而往往將這種“任取”的兩個值替換為“特取”的兩個值，進(jìn)而以此來判斷單調(diào)性，從而造成錯誤。在教學(xué)中，我讓學(xué)生在點(diǎn)A（x1，f（x1））和點(diǎn)B（x2，f（x2））（滿足f（x1）＜f（x2））之間任作一段函數(shù)圖像，且盡可能作出不同種形態(tài)的圖像，結(jié)果有的同學(xué)作出了先增后減或先減后增的圖像，即在區(qū)間（x1，x2）上，f（x）不是單調(diào)遞增的，從而對特取x1和x2的指的錯誤方法進(jìn)行自我否定，進(jìn)而理解和接受概念中的x1和x2需要“任取”這一關(guān)鍵點(diǎn)。

五、抓及時訓(xùn)練鞏固概念

課后訓(xùn)練當(dāng)然是必需的，而且要及時合理地安排，這樣才能達(dá)到事半功倍的效果。針對概念的疑難點(diǎn)和易錯點(diǎn)，我設(shè)計(jì)一些針對性強(qiáng)的練習(xí)題來幫助學(xué)生理解和運(yùn)用概念。如二面角的平面角的概念，由于其中要點(diǎn)較多，必須及時鞏固，故我通常安排當(dāng)堂練習(xí)相關(guān)題目，這樣，學(xué)生的主體作用和教師的引導(dǎo)作用均能很好地發(fā)揮出來，取得了良好的教學(xué)效果。

總之，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是教學(xué)中的一個重點(diǎn)，很值得研究，有待于在課堂實(shí)踐中進(jìn)一步探索和總結(jié)。