深度追問，凸顯知識價(jià)值

○趙紅婷

教學(xué)“平面圖形的周長和面積”一課時(shí)，教材上有這樣一道練習(xí)題：

有兩個邊長都是6厘米的正方形，在其中一個正方形里畫一個最大的圓，另一個正方形里畫4個相等的盡量大的圓。（1）圓的半徑是多少厘米？（2）兩個正方形里圓的面積各是多少？各占正方形面積的百分之幾？

教學(xué)時(shí)，我依次出示圖形，引導(dǎo)學(xué)生嘗試計(jì)算圓面積和正方形面積，并分別計(jì)算出圓占正方形的百分率。學(xué)生很容易得出：大圓的面積是3.14×3×3=28.26（平方厘米），正方形的面積是6×6=36（平方厘米），所占百分比為28.26÷36=78.5%。4個小圓的面積是3.14×1.5×1.5×4=28.26（平方厘米），所占百分比是28.26÷36=78.5%。

求出答案后，我并未就此罷手，而是引導(dǎo)學(xué)生提問題。有的學(xué)生問：“為什么結(jié)果都是78.5%？”這正是我想追問的。面對這樣的問題，學(xué)生都陷入了沉思。思考過后大家進(jìn)行了討論，有學(xué)生這樣解釋：假設(shè)大圓的半徑是x厘米，它的面積就是π×x2，而小圓的半徑是厘米，它的面積是，4個小圓的面積就是π×x2。另一學(xué)生這樣解釋：大圓的面積是9π，4個小圓的面積也是9π。他們都通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，一個大圓的面積正好等于四個小圓的面積，所以它們占正方形的百分比是相同的。學(xué)生用具體數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋，無疑是合理的。

接著，我繼續(xù)追問：“如果正方形里面畫滿9個同樣大的小圓時(shí)，九個小圓所占的百分比又是多少呢？”學(xué)生脫口而出：“百分率還是78.5%?！彼麄冞€進(jìn)行了驗(yàn)證，得出了具體算式：9個小圓的面積是3.14×1×1×9=28.26（平方厘米），所占百分比為28.26÷36=78.5%。我繼續(xù)追問：“通過這樣的計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生都一致認(rèn)為，如果里面畫16個小圓、甚至是25個小圓……圓所占正方形的百分率還是78.5%。對這些結(jié)論，他們都能用計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。

研究至此，大家仍然意猶未盡，我再次拋出問題：“為什么圓的個數(shù)變了，但所占的百分率卻不變呢？”學(xué)生能從計(jì)算角度分析了，但從圖形上是否能解釋呢？我繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生畫圖探索。最后，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不管是幾個圓，都可以看成是相應(yīng)正方形的內(nèi)切圓。在正方形里畫同樣大的四個小圓，每個小圓就是它所在的小正方形的內(nèi)切圓，而所有正方形的內(nèi)切圓所占比率都是相同的。當(dāng)學(xué)生從另一角度發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律存在原因時(shí)，他們都欣喜不已。

數(shù)學(xué)家波利亞說過：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著。”學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識，必然包含著“具體化”的過程。針對知識的存在特質(zhì)，教師應(yīng)適時(shí)進(jìn)行深度追問，啟發(fā)學(xué)生思考數(shù)學(xué)規(guī)律或現(xiàn)象的存在原因，便能凸顯數(shù)學(xué)知識的價(jià)值。經(jīng)歷了這樣的數(shù)學(xué)思考，學(xué)生才可能感受到數(shù)學(xué)的神奇和美妙，同時(shí)，他們的思維也將走向更深處。