追溯二項式定理創(chuàng)新題的根源

■甘肅省通渭縣第二中學 田耀祖

創(chuàng)新一：常值變參型

特征與題根：該題型在(a+b)n的底數(shù)a，b 的位置引入?yún)⒆兞浚⑶髤⒆兞康闹?。在解答時，如果視參變量為常量，那么原問題化歸于二項式定理的基礎知識。列關于參變量的等式，解之即可。

例1已知二項式的展開式中含x3項的系數(shù)為160，則實數(shù)a 的值為____。

解析1：因為要使x2，兩項之積得到x3，則應給x2與分別分配3 次方，所以根據(jù)二項式定理展開式的通項公式得·160，解得a=-2。

正確答案為-2。

解析2：依題意得得r=3，所以解得a=-2。

正確答案為-2。

創(chuàng)新二：橫向拓展型

特征與題根：該題型是將二項式定理的通項公式、某項的系數(shù)、二項式系數(shù)、整除等知識點有機地融合在一起。在解答時，要分層處理，將原問題分解成若干個二項式定理的單一基本問題，并有序解答。

例2已知n 為滿足能被9整除的正數(shù)a 的最小值，則在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為( )。

A.第6項 B.第7項

C.第11項 D.第6項和第7項

解析：因為所以要使S 能被9整除，則a-2≥9，即a≥11。又 因 為a≥3，所 以n =11，從 而的展開式中系數(shù)與二項式系數(shù)只有符號差異，又中間兩項的二項式系數(shù)最大，中間兩項為第6項和第7項，且第6項的系數(shù)為負，所以第7項的系數(shù)最大。

正確答案為B。

創(chuàng)新三：縱向延伸型

1.三項式的展開式

特征與題根：形如(a+b+c)n(n∈N*)的式子稱為三項式。一般地，解答三項式展開式問題有三個視角：一是化三項式為二項式；二是二項式定理的展開式的通項公式兩次疊乘運用；三是運用組合數(shù)知識。

例3在的展開式中，x2的系數(shù)為( )。

A.10 B.30 C.45 D.120

解 析 1：因 為只出現(xiàn)在(1+x)10的展開式中，所以含x2的項為，即展開式中含x2的系數(shù)為

正確答案為C。

解析2其展開式的通項公式為因為r=0，1，2，…，10；t=0，1，2，…，10-r，所以t=2，r=0，所以x2的系數(shù)為=45。

正確答案為C。

解析3：可以看作是10的因式乘積，其展開式的每一項的系數(shù)是從每個因式或x 或中僅提取一個的組合數(shù)，即從10個中 提 取2 個x個1，所以。

正確答案為C。

2.二項式積的展開式

特征與題根：形如(a+b)m(c+d)n(m∈N*，n∈N*)的式子稱為二項式積，事實上，此類問題是二項式定理展開式與乘法分配律的結(jié)合運用。

例4的展開式的常數(shù)項是( )。

A.94 B.34 C.-34 D.-42

解析：因為的通項為Tr+1=所以3x2與展開式中的含x-2的項的乘積為常數(shù)，即得r =1；-2 與展開式中的常數(shù)項的乘積為常數(shù)項，即得r=5。所以的展開式中的常數(shù)項為(-2)5×(-2)=34。

正確答案為B。

創(chuàng)新四：外知融合型

特征與題根：該題型是將二項式定理與其他知識有機地結(jié)合在一起，在知識間對接，在思維處融合。解題需剖析二項式定理與其他知識間的內(nèi)在聯(lián)系、主次關系、層次脈絡，從而探求解題的突破口。

例5已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值為( )。

A.39B.310C.311D.312

解析：對比所求中的a1+3a3+5a5+7a7+9a9，2a2+4a4+6a6+8a8與已知條件中的a0+a1x+a2x2+…+a9x9，不難想到，對(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9兩邊同時求導，即9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+9a9x8，令x=1，得a1+2a2+3a3+…+9a9=310，令x=-1，得a1-2a2+3a3-…+9a9=32。所以(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+…+9a9)(a1-2a2+…+9a9)=312。

正確答案為D。

由于二項式定理具有優(yōu)美的結(jié)構、豐富的內(nèi)容、親和的情懷等特征，它才有了深廣的創(chuàng)造點和開發(fā)面。然而，無論如何創(chuàng)新，只要抓住一個題根——二項式定理展開式，以及二大法寶——數(shù)學方法和數(shù)學思想，解答每一個二項式定理問題，均能打開一扇思維的門，沿通暢的思路到達終極目標。