在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透宏觀型數(shù)學(xué)思想方法的探究

甘肅省隴南市武都區(qū)外納初級中學(xué)(746042) 張紅永

教學(xué)最本質(zhì)的東西就是傳授知識,提高素質(zhì),培養(yǎng)能力.那么,數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)又是什么呢?學(xué)界一致認(rèn)為是數(shù)學(xué)思想方法的滲透.而數(shù)學(xué)思想方法又是什么呢?其實(shí)它包括兩個方面,即思想和方法.所謂數(shù)學(xué)思想,是指人們對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識,是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中歸納、概括并上升到理論高度的數(shù)學(xué)觀點(diǎn),它在認(rèn)知活動中被反復(fù)應(yīng)用,帶有普遍的指導(dǎo)意義,是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的理論依據(jù),它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動.所謂數(shù)學(xué)方法,則是在數(shù)學(xué)提出問題、解決問題過程中,所采用的各種手段、方式、途徑等.它具有層次性、過程性和可操作性等特點(diǎn).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂,數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段,而宏觀型數(shù)學(xué)思想是其核心、精髓,人們把它們合稱為數(shù)學(xué)思想方法.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師除了實(shí)現(xiàn)知識與技能目標(biāo)外,還要重視過程與方法的滲透,注重對學(xué)生情感與價值目標(biāo)的培養(yǎng),從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)的三維一體目標(biāo);這對學(xué)生以后的學(xué)業(yè)發(fā)展和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用將產(chǎn)生巨大的影響,使學(xué)生受益一生.

一、數(shù)學(xué)思想方法的重要性

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)最本質(zhì)、最具價值的內(nèi)容,因?yàn)樗乾F(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映到人腦中,經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的對數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)的認(rèn)識.如:代數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、分類思想、集合思想、整體思想、和極限思想等.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中,老師應(yīng)刻意挖掘和提煉知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中所蘊(yùn)涵的思想方法[1].九年義務(wù)教育新人教版(部編)數(shù)學(xué)教材將數(shù)學(xué)知識分學(xué)段、分層次編排,從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的階段性螺旋認(rèn)知,教材中處處彰顯知識和思維的有機(jī)結(jié)合.由于學(xué)生認(rèn)知能力及思維發(fā)展的局限,教師往往在教學(xué)中只注重數(shù)學(xué)知識的傳授,而忽略了支撐這些知識的觀點(diǎn)和思想方法,故而在教學(xué)中不能追溯數(shù)學(xué)概念、定理中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想;然而在數(shù)學(xué)推理與問題解決中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法,不但可以開啟解題思路、提升解題效率,而且還可以強(qiáng)化方法意識,使學(xué)生的思維方式得到升華;因此,數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)既要有知識的學(xué)習(xí),又要有思想方法的滲透,在教學(xué)中探究數(shù)學(xué)思想方法的終極目標(biāo)就是提高學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng),實(shí)現(xiàn)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的教學(xué)三維目標(biāo).另外,從教育學(xué)的角度來看,數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識更為重要,這是因?yàn)?數(shù)學(xué)知識是定型的,靜態(tài)的,而思想方法則是發(fā)展的,動態(tài)的,知識的記憶是暫時的,思想方法的掌握是永久的;知識只能使學(xué)生受益于一時,思想方法將使學(xué)生受益于終生.故增強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)比知識的傳授更為重要,數(shù)學(xué)思想方法的掌握對任何實(shí)際問題的解決都是有利的[2].“師者,傳道授業(yè)解惑也”,我想“傳道”在前的意義就在于此.因此,數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

二、初中宏觀型數(shù)學(xué)思想的滲透策略

如果說數(shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法,那么數(shù)學(xué)思想方法就是指現(xiàn)實(shí)世界的圖形空間和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中,經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)晶,它是對數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)事實(shí)的本質(zhì)認(rèn)識.數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)知識中奠基性成分,是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)能力必不可少的.“小升初”后初中生面臨三大挑戰(zhàn):從算術(shù)到代數(shù),從代數(shù)到幾何,從常量到變量,螺旋上升,層層積淀;代數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程和函數(shù)思想、分類思想等數(shù)學(xué)思想更是步步緊逼.

下面我就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際,談?wù)勛约簩Τ踔袛?shù)學(xué)中的主要的五種宏觀型數(shù)學(xué)思想方法的滲透策略,與業(yè)內(nèi)同仁共勉.

(一)代數(shù)思想的關(guān)鍵是從算術(shù)到代數(shù)的符號化轉(zhuǎn)換,是一種思維形式的轉(zhuǎn)變:其關(guān)鍵一是符號表示,二是符號變換,三是意義建構(gòu);代數(shù)的思想是一種基于規(guī)則的推理,是一種數(shù)學(xué)建?；顒?新人教版初中七年級數(shù)學(xué)第一章引進(jìn)負(fù)數(shù),數(shù)域擴(kuò)大到有理數(shù)范圍后,第二章是整式的加減,開啟了學(xué)生“代數(shù)生涯”,教學(xué)中學(xué)生難以理解,但教材的安排并不唐突,在小學(xué)數(shù)學(xué)我們已經(jīng)開始接觸用字母、符號或圖片表示特定的數(shù)和式;例如:小學(xué)低年級學(xué)習(xí)10以內(nèi)的加減法時學(xué)生解答過類似這樣的習(xí)題:3+□=9,學(xué)習(xí)表內(nèi)乘除法時,6×□=42,3×a=21,在學(xué)習(xí)了四則運(yùn)算后還有一些稍復(fù)雜的,如5×△+24÷3=23,(5+?)×7=63;小學(xué)高年級用字母表示交換律,結(jié)合律、分配律并引導(dǎo)學(xué)生用字母表示相關(guān)的運(yùn)算定律,用s=ah表示平行四邊形的面積,用s=ah/2表示三角形的面積公式,以及圓的面積,圓柱、圓錐的體積等等都用字母表示,這些運(yùn)算定律及公式的探索過程,本身就是幫助學(xué)生建立數(shù)感與符號意識的重要過程,滲透了代數(shù)思想和方程思想等重要數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生在學(xué)習(xí)和認(rèn)識上有了一步步飛躍.故在初中教學(xué)中代數(shù)思想的滲透依然要遵循循序漸進(jìn)、螺旋上升的原則,如文火煎藥.

(二)數(shù)形結(jié)合思想主要是指將數(shù)(量)與(圖)形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究、解決問題的一種思維策略.由數(shù)融形、形融數(shù)、數(shù)形結(jié)合來解決具體數(shù)學(xué)問題.

在學(xué)生“小升初”后,七年級數(shù)學(xué)上冊第一章中就引入“數(shù)軸”這一感念,表示生活中具有“相反意義的量”,通過數(shù)軸了解相反數(shù),絕對值的幾何意義,比較有理數(shù)的大小,理解有理數(shù)加法、乘法的意義,掌握運(yùn)算法則等;八年級引入無理數(shù),數(shù)域擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍后,建立了平面直角坐標(biāo)系,我們在教學(xué)中要以數(shù)軸為基點(diǎn),創(chuàng)設(shè)情境,進(jìn)一步加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識,如在教學(xué)“平面直角坐標(biāo)系”這一節(jié)知識內(nèi)容時,教師可針對性地進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè),引導(dǎo)學(xué)生分析并思考問題,鼓勵學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題.在教學(xué)之前,教師可要求學(xué)生提前準(zhǔn)備三面不同顏色的小彩旗、數(shù)字卡片和紅線,我們可以將每個學(xué)生看成是一個點(diǎn),教室看成一個平面,在教室里建立起活靈活現(xiàn)的平面直角坐標(biāo)系,讓學(xué)生找自己具體位置,并引導(dǎo)學(xué)生思考“能夠采用什么方法表示自己的準(zhǔn)確位置?”,進(jìn)而引出有序數(shù)對,結(jié)合點(diǎn)動成線,線動成面理論,培養(yǎng)學(xué)生完成課本知識內(nèi)容的同時,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想.

(三)化歸與轉(zhuǎn)化的思想.化歸是指在解決問題的過程中,對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使之成為簡單、熟知問題的基本解題模式,它是使一種數(shù)學(xué)對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對象的思想和方法.[3]常采用化“未知”為“已知”、化“復(fù)雜”為“簡單”的解題思路,其核心就是將等待解決的問題轉(zhuǎn)化為已有明確解決程序的問題,以便利用已有的知識、技術(shù)來加以處理,從而培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展的、運(yùn)動的、聯(lián)系的眼光認(rèn)識事物、看待問題.如在初中方程解法的學(xué)習(xí)中,我們就是利用消元、化歸的方法,從繁雜到簡單,化二元為一元、降冪、化分式為整式完成方程解法的學(xué)習(xí),實(shí)現(xiàn)知識的穩(wěn)步遷移和螺旋上升.

(四)方程及函數(shù)思想.從實(shí)際問題入手,審題分析數(shù)量關(guān)系,設(shè)元,找等量關(guān)系,把實(shí)際問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系,轉(zhuǎn)化為方程(方程組)和函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,從而使問題得到解決的思維方法,這就是方程及函數(shù)思想.如七年級數(shù)學(xué)上冊第三章一元一次方程,在行程問題、工程問題的教學(xué)中,由于學(xué)生已經(jīng)熟知算術(shù)方法,所以學(xué)生更容易理解接受用算術(shù)方法解決實(shí)際問題,反而對方程方法比較排斥.例如:一項(xiàng)工程甲工程隊單獨(dú)干,8天完成,乙工程隊單獨(dú)干4天完成,甲工程隊先干了5天,為了趕工期,甲乙合作再干幾天能完成?此題用算術(shù)方法:(1-5/8)÷(1/8+1/4)=1(天),一目了然,學(xué)生當(dāng)然不會選擇方程,所以我們在選題時就應(yīng)注意,選取的問題必須是利用已知量無法求解或很難求解,這時我們在引入未知量參與計算,列出方程,從而讓學(xué)生感受到方程的魅力.方程及函數(shù)思想解題的關(guān)鍵就是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程(組)和函數(shù)模型.這種思想在代數(shù)、幾何及生活實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用.函數(shù)的引入,將方程(組)、不等式和函數(shù)圖像有機(jī)結(jié)合,成為了數(shù)形結(jié)合的完美詮釋,尤其是最值的引入,實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的三維一體目標(biāo),體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科的屬性.

(五)分類的思想.分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),將數(shù)學(xué)研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,有些問題會有多種情況,需要加以分類,逐類求解,然后綜合得出結(jié)論,這就要應(yīng)用分類討論法.分類討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時也是一種重要的解題策略,它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.如在直線與圓的位置關(guān)系中,我們可以利用多媒體演示日出的動畫過程,讓學(xué)生真切感受到太陽與地平線從有交點(diǎn)到?jīng)]交點(diǎn),并根據(jù)交點(diǎn)的個數(shù)進(jìn)行分類,來定義相交和相切;再如圓與圓的位置關(guān)系教學(xué)中我們可以利用“天狗吃月”的故事引出課題,再利用多媒體播放月食過程的動畫慢鏡頭回放,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓與圓的位置關(guān)系,即外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含,然后在根據(jù)交點(diǎn)的個數(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,將其分為相離、相切、相交.分類的原則是分類中的每一部分是相互獨(dú)立的;分類必須統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn);分類討論應(yīng)逐級進(jìn)行.正確的分類既不重復(fù)、也不遺漏.

總之,數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識,是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略.數(shù)學(xué)思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質(zhì),是溝通基礎(chǔ)知識與能力的橋梁,是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括,它貫穿在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的每一個階段.抓住數(shù)學(xué)思想方法,善于迅速調(diào)用數(shù)學(xué)思想方法,更是提高解題能力根本之所在.

因此,在學(xué)習(xí)過程中要注意體會教材中選取的例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識[4];在教學(xué)實(shí)踐中一要遵循循序漸進(jìn)原則,二要注重螺旋上升,三要反復(fù)滲透;在教學(xué)中要根據(jù)學(xué)情設(shè)計教學(xué)方案,合理制作、利用短小精悍教學(xué)課件,將枯燥的數(shù)學(xué)課堂氛圍變得豐富多彩,將抽象的數(shù)學(xué)思想變得觸手可及,調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,不能讓學(xué)生感到高深莫測,從而望而生畏.