保E*關(guān)系且方向保序嚴格部分一一變換半群的秩

龍偉鋒， 徐 波， 龍偉芳， 李 湘

(1. 廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 廈門 361005; 2. 貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 貴州 貴陽 550001; 3. 凱里學(xué)院理學(xué)院， 貴州 凱里 556011; 4. 遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院， 貴州 遵義 563002)

0 引言

變換半群的秩一直是變換半群研究的一個重要課題， 國內(nèi)外許多學(xué)者對此進行了深入廣泛的研究[1-9]. 設(shè)X為有限集合,E為X上的等價關(guān)系且IX為X上的對稱逆半群. 令I(lǐng)E*(X)={f∈IX:對任意x,y∈domf, (x,y)∈E當且僅當(f(x),f(y))∈E}. 則IE*(X)為IX的逆半子群， 稱為保E*關(guān)系部分一一變換半群.文獻討論了它的Green關(guān)系與秩.

令X為有限集合，E為X上的等價關(guān)系且IE*(X)為X上的保E*關(guān)系部分一一變換半群. 設(shè)f∈IE*(X)且dom(f)={a1,a2, …,ar}， 其中a1f(ai+1)， 則稱f為(X上的)保E*關(guān)系且方向保序部分一一變換.

設(shè)X(X=n)為有限集合,E為X上的等價關(guān)系,IX是X上的對稱逆半群且Sn是X上的n次對稱群, 令SOPIE*(X)為X上的所有保E*關(guān)系且方向保序嚴格部分一一變換之集, 即SOPIE*(X)={f∈IXSn:f為保E*關(guān)系且方向保序部分一一變換}. 則易驗證SOPIE*(X)是IE*(X)(IX)的逆子半群, 稱為保E*關(guān)系且方向保序嚴格部分一一變換半群.

任取x,y∈X, 若x≤y, 定義[x,y]={z∈X:x≤z≤y}. 對于一般情形, 即對任意的有限全序集X和X上的任意等價關(guān)系, 很難描述半群SOPIE*(X)的秩. 因此, 先考慮一種特殊情形. 本研究總是假設(shè)X={1, 2, …,nm}{n≥3,m≥2}為全序集,E為X上的等價關(guān)系, 滿足E=(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am)， 其中：Ai=[(i-1)n+1,in]，i=1, 2, …,m. 本研究在上述全集與等價關(guān)系下， 討論了SOPIE*(X)的秩.

1 預(yù)備知識

設(shè)f∈SOPIE*(X), 用dom(f)表示f的原象集， im(f)表示f的象集. 為了敘述方便本研究在SOPIE*(X)上引入下面的二元關(guān)系, 對任意的f,g∈ SOPIE*(X), 定義

則LΔ,RΔ,JΔ都是SOPIE*(X)上的等價關(guān)系， 易見LΔ?JΔ,RΔ?JΔ. 對0≤r≤nm-1， 記

Kr={f∈:SOPIE*(X)im(f)=r}

Vr={f∈:SOPIE*(X)im(f)≤r}

則K0,K1, …,Knm-1恰好是SOPIE*(X)的nm個K類， 其中K0是由空變換組成， 而V0,V1, …,Vnm-1是由SOPIE*(X)的nm個理想構(gòu)成的理想鏈， 并且SOPIE*(X)=Vnm-1.

下面說明本研究用到的符號與概念.任取f∈SOPIE*(X),Ai∈X/E， 若Ai∩dom(f)≠?(i∈{1, 2, …,m})， 為了方便記f(Ai)=f(Ai∩dom(f)).任取f∈SOPIE*(X),Ai∈X/E, 若Ai∩dom(f)≠?， 不妨設(shè)Ai∩dom(f)={a1,a2, …,ar}且a1

本研究未說明的符號與概念請參見文獻[10].

2 主要結(jié)果與證明

定理1Kr?Kr+1Kr+1(r≤nm-2).

任取f∈Kr， 其中0

情形1Ap∩dom(f)=n-1

不妨設(shè)

其中:a1

a1

f(a1)

以下分三種情況討論.

1)i=j. 令

則

令η(x)=x,x∈im(f)∪c. 顯然η,ξ∈Kr+1，ηξ=f. 從而f∈Kr+1Kr+1.

2)i

由ξ的定義， 顯然ξ∈Kr+1. 令

根據(jù)η的定義， 顯然η∈Kr+1.

下證ηξ=f. 由η,ξ的定義， 易驗證dom(ηξ)=dom(f)且

此外考慮當x∈dom(f)Ap時，ηξ(x)=η(f(x))=f(x). 故ηξ=f.

綜上所述，f∈Kr+1Kr+1.

3)i>j. 證明類似于2)的證明.

情形2Ap∩dom(f)≤n-2

設(shè)

其中:a1

由ξ的定義， 顯然ξ∈Kr+1.

設(shè)s是在1, 2, …,t中使得f(as)≠qn+s的最小整數(shù)， 則f(as)≥qn+s+1. 下面分三種情況一一討論.

Ⅰ)s

根據(jù)η1的定義， 顯然η1∈Kr+1. 令

按η2的定義， 顯然η2∈Kr+1

下證η2η1ξ=f. 由ξ,η1,η2的定義， 易驗證dom(η2η1ξ)=dom(f)且

此外考慮當x∈dom(f)Ap時，η2η1ξ(x)=η2η1(f(x))=f(x). 從而η2η1ξ=f，f∈Kr+1Kr+1.

Ⅱ)s=i+1. 令

根據(jù)η1的定義， 顯然η1∈Kr+1. 令

由η2的定義， 顯然η2∈Kr+1.

下證η2η1ξ=f. 由ξ,η1,η2的定義， 易驗證dom(η2η1ξ)=dom(f)且

此外考慮當x∈dom(f)Ap時，η2η1ξ(x)=η2η1(f(x))=f(x).從而η2η1ξ=f，f∈Kr+1Kr+1.

Ⅲ)s>i+1， 證明類似于Ⅱ)的證明.

綜上所述Kr?Kr+1Kr+1.

定理2V0?V1?…?Vnm-1=SOPIE*(X)為理想鏈， 每個Vr(r=0, 1, …,nm-1)都是SOPIE*(X)的逆子群， 且Vr=〈Kr〉(r≤nm-1).

證明 由定理1， 可得Vr=〈Kr〉(r≤nm-1).

在Knm-1中考慮元素g0,g1, …,gnm-1， 定義如下：

1)g0:X1→X{nm}

2)gi:X{nm-i+1}→X{nm-i}(i∈{1, 2, …,nm-1}).

若存在整數(shù)k(1≤k≤m)， 使得nm-i+1,nm-i∈Ak， 則不妨設(shè)nm-i=n(k-1)+s(1≤s≤n-1). 于是

若存在整數(shù)k(1≤k≤m)， 使得nm-i∈Ak，nm-i+1∈Ak+1， 則不妨設(shè)nm-i=nk,nm-i+1=nk+1. 于是

由g0,g1, …,gnm-1的定義， 易驗證im(gi)=dom(gi+1)(i={0, 1, …,nm-1})， im(gnm-1)=dom(g0).

定理3令A(yù)={g0,g1, …,gnm-1}， 則A是SOPIE*(X)的生成集.

證明 任取s∈Vnm-1.注意到dom(g0), dom(g1), …, dom(gnm-1)是集合{1, 2, …,nm}的所有勢為nm-1的子集， 則存在i,j∈{0, 1, …,n-1}， 使得dom(s)=dom(gi)，im(s)=dom(gj). 若i

定理4rankSOPIE*(X)=mn.

證明 設(shè)B是SOPIE*(X)的生成集.注意到定理3中的A也是SOPIE*(X)的生成集且A=nm， 則要證rankSOPIE*(X)=mn， 只要證B≥nm， 即證明對任意i∈{0, 1, …,nm-1}， 存在t∈B, 使得dom(t)=dom(gi). 由gi∈SOPIE*(X)且B為生成集， 知存在t1,t2, …,tk∈B(k∈N), 使得gi=t1t2…tk.注意到gi≠1， 則t1,t2, …,tk不全為恒等映射， 于是存在j∈{1, 2, …,k}， 使得tk=1(1≤k≤j-1)且tj≠1 . 從而dom(gi)=dom(tj). 因此B≥nm， rankSOPIE*(X)=mn.