待定系數(shù)法的妙用

廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630)周建鋒

待定系數(shù)法是一種重要的數(shù)學(xué)方法,在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中都能看到它的“身影”.要利用好待定系數(shù)法,首先要明確代數(shù)式的基本模式,然后在不確定的系數(shù)位置設(shè)置參數(shù),再結(jié)合其它條件解出參數(shù),從而達(dá)到確定代數(shù)式的目的.待定系數(shù)法的最大好處在于不必事先知道相應(yīng)系數(shù)的值,只需要用參數(shù)代替,到合適的時(shí)機(jī)再求出參數(shù).代數(shù)式的基本模式有些是題目中已經(jīng)給出,比如題目中指明f(x)是一元二次函數(shù),則自然可以設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a /= 0),而更高層次的應(yīng)用則是要自己構(gòu)造、設(shè)定代數(shù)式的基本模式,其中涉及的技巧、能力要求就更高了.本文就針對(duì)這類(lèi)的問(wèn)題,探討一下如何構(gòu)造模式,利用待定系數(shù)法完美解決問(wèn)題.

一、待定系數(shù)法在均值不等式中的應(yīng)用

均值不等式廣泛運(yùn)用在證明不等式及求最值的問(wèn)題中,但在某些情形下如何配系數(shù)比較棘手,此時(shí)用待定系數(shù)法是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.

例1設(shè)a,b,c ∈R+,且2a+b=5,2a+c=8,求證：abc ≤18,等號(hào)何時(shí)成立?

分析注意到a,b,c 不是輪換對(duì)稱(chēng)的,所以直接用均值不等式不能成功.先做一個(gè)換元,abc=2a(5-2a)(4-a),此時(shí)既要保證三個(gè)乘積項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù),還要保證取等號(hào)時(shí)三項(xiàng)要相等,可設(shè)置兩個(gè)參數(shù)m,n(m,n ＞0),再根據(jù)需要的條件列出等式解出參數(shù).

證明設(shè)m,n ＞ 0,abc=2a(5 - 2a)(4 - a)=令m-n-2=0,ma=5-2a=4n-na,解得：a=1,m=3,n=1.所以abc ≤18,當(dāng)a=1,b=3,c=6 時(shí)等號(hào)成立.

例2設(shè)求證：

分析要用均值不等式把左邊放縮得到一個(gè)常數(shù),可利用sin2α+cos2α=1,因此分別對(duì)配兩項(xiàng),構(gòu)造出一個(gè)三項(xiàng)均值不等式,再由右端系數(shù)相等及等號(hào)成立的條件,可算出參數(shù)A,B.

證明設(shè)A,B ＞ 0,則解得：所以sin6α +

二、待定系數(shù)法在數(shù)列中的應(yīng)用

在遞推數(shù)列中,如何構(gòu)造新的數(shù)列,使得新數(shù)列即為等差或等比數(shù)列,問(wèn)題就迎刃而解.而如何構(gòu)造新數(shù)列,待定系數(shù)法可以大顯身手.

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=3an+5,求{an}的通項(xiàng)公式.

分析型如an+1=pan+ q(p /1)的數(shù)列,可設(shè)an+1-x=p(an-x),易得這樣將an-x 作為一個(gè)新數(shù)列,即為等比數(shù)列,求通項(xiàng)公式就很容易了.

解由已知所以為首項(xiàng),3 為公比的等比數(shù)列,所以即

例4(2005年高考山東卷理科)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=5,前n 項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n ∈N*).

(1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；(2)略.

分析型如an+1=pan+f(n)(p/1)的遞推數(shù)列,f(n)是關(guān)于n 的多項(xiàng)式.可設(shè)an+1+g(n+1)=p[an+g(n)],其中g(shù)(n)是與f(n)最高次數(shù)相同的多項(xiàng)式,再比較f(n)與pg(n)- g(n + 1)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)從而得出g(n)各項(xiàng)系數(shù).由Sn+1+ [p(n + 1)+ q]=2[Sn+(pn+q)] 可得Sn+1=2Sn+ pn + q - p,則pn + q - p ≡n +5,所以得出p=1,q =6.

解(1)由已知Sn+1+(n+1)+6=2(Sn+n+6),S1+1+6=a1+7=12,所以{Sn+n+6}是以12 為首項(xiàng),2 為公比的等比數(shù)列,所以Sn+n+6=12·2n-1,所以Sn=3·2n+1-n-6.n ≥2 時(shí),an=Sn-Sn-1=3·2n-1,n=1 時(shí),a1=5 符合上式,所以n ∈N*時(shí),an=3·2n-1,所以an+1=3·2n,即{an+1}是以6 為首項(xiàng),2 為公比的等比數(shù)列.類(lèi)似的,an+1=pan+q·αn(αp)的遞推數(shù)列,可設(shè)an+1-λ·αn+1=p(an-λ·αn),易得

例5已知數(shù)列{xn} 滿足求{xn}的通項(xiàng)公式.

分析型如an+2=pan+1+qan的遞推數(shù)列,其中p、q為常數(shù).可設(shè)an+2-αan+1=β(an+1-αan),則α+β =p,αβ =-q,即為方程x2=px+q 的兩個(gè)根.由解得或1,所以則同理可得：綜上得：

三、待定系數(shù)法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的時(shí)候,經(jīng)常會(huì)用到構(gòu)造的技巧,比如構(gòu)造函數(shù)值大于零(或小于零)的點(diǎn),證明不等式中構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)等.在這些情形下,結(jié)合題目的具體要求,設(shè)計(jì)出一個(gè)代數(shù)模式,加入?yún)?shù),到一定的時(shí)機(jī)求出參數(shù)的值,往往能收到意想不到的效果.

例6已知函數(shù)對(duì)任意的x ∈(0,+∞),滿足其中a,b 為常數(shù).當(dāng)f(x)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),求a 的取值范圍.

分析在求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),要先劃分單調(diào)區(qū)間,在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上觀察有無(wú)使函數(shù)值異號(hào)的x 值,而尋找x 值的過(guò)程中就有一個(gè)構(gòu)造的技巧.本題中,易知a=b,通過(guò)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),易得時(shí),導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1＜1 ＜x2),f(x)在(0,x1)上遞減,(x1,x2)上遞增,(x2,+∞)上遞減,而f(1)=0,所以f(x1)＜0=f(1)＜f(x2),只需在(0,x1)上找一個(gè)使f(x)＞0 的x 值,由則是另一個(gè)(x2,+∞)上符合要求的點(diǎn).接下來(lái)的問(wèn)題就是：如何在(0,1)上尋找函數(shù)值大于0 的點(diǎn)?

(1)構(gòu)造x=e-ma(m ＞0),f(e-ma)= -ma -ae-ma+ aema=a(ema-e-ma-m),注意到當(dāng)a →0時(shí),不能保證大于0.

(2)構(gòu)造x=am(m ＞0),g(a)=f(am)=m ln a-取m=2,則 分 子 即為則g′(a)＜ 0,取m=3,滿足綜上,f(a2)＞0,f(a3)＞0.

解在中,取x=1,得f(1)=0,又f(1)=ln 1-a+b=-a+b,所以b=a.從而f(x)=

①當(dāng)a ≤0 時(shí),在(0,+∞)上,f′(x)＞0,f(x)遞增,所以,f(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意；

綜上所述,當(dāng)f(x)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a 的取值范圍是

例7設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax,其中a 為實(shí)數(shù).若試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.

分析在本題中,最難的一點(diǎn)是時(shí),f(x)在上遞減,要找一個(gè)函數(shù)值小于零的x 值,可設(shè)計(jì)設(shè)取λ=2,則

解(I)當(dāng)a=0 時(shí),所以f(x)在x ∈(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),因?yàn)閒(1)=0,所以f(x)存在唯一零點(diǎn).

例8設(shè)函數(shù)f(x)=aex-x ln x,其中a ∈R,e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若證明：f(x)＞0.

分析只需證x ＞ 1,時(shí),f(x)＞ 0,即2ex-2- x ln x ＞0 ?2ex-2＞x ln x.設(shè)想λ ＞0,使得2ex-2≥λx2(x ＞1),即設(shè)所以1 ＜x ＜2 時(shí),g′(x)＜0；x ＞2時(shí),g′(x)＞0.所以所以只需證：

證先證設(shè)所以1 ＜x ＜2 時(shí),g′(x)＜0；x ＞2時(shí),g′(x)＞0.所以所以