借助多種情境感悟兩積之和的模型

胡曉仙

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版五年級第二單元。

【課前思考】

模型思想是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)思想與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立模型思想有助于學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與應(yīng)用意識。對于“兩積之和”這一學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以借助幾何圖形讓學(xué)生直觀感知各個量之間的關(guān)系，同時借助多種情境進(jìn)行感知。讓學(xué)生通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)：情境在變，數(shù)量關(guān)系在變，但數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不變，找到“兩積之和”的基本模型“a×b+c×d=f”，并用這個模型解決生活實際問題。同時學(xué)生也學(xué)會用不同的代數(shù)式表示同一個量，為列方程做準(zhǔn)備。

【教學(xué)過程】

一、開門見山，直接導(dǎo)入

（直接呈現(xiàn)一個長方形）

師：說說長方形的面積怎么計算？需要什么條件？

（給出一個數(shù)據(jù)：10，a）

【設(shè)計意圖：本課導(dǎo)入開門見山，直指數(shù)學(xué)本質(zhì)，避免不必要的干擾?！?/p>

二、新授

1.借助幾何直觀情境，初步建立兩積之和的模型。

（1）根據(jù)已有數(shù)學(xué)信息，用代數(shù)式表示兩個長方形的面積，說說代數(shù)式的含義。

師：你能表示綠長方形的面積嗎？你是怎么理解10a 的？

生：綠長方形的長是10，寬是a，面積為10×a，簡寫作：10a。

師：你能表示紅長方形的面積嗎？20a，你是怎么理解的？

生：紅長方形的長是20，寬是a，面積為20×a，簡寫作：20a。

（2）借助想象，初步建立兩積之和的幾何直觀模型。

師：剛才同學(xué)們把兩個長方形的面積都用代數(shù)式表示出來了。如果我把兩個長方形通過平移會得到一個什么圖形？

生：綠長方形通過平移后與紅長方形拼成一個“L”型的圖形。

師：你能用一個代數(shù)式表示這個圖形的面積嗎？

生：20a+10a，20a 表 示 紅 長方形的面積，10a 表示綠長方形的面積，合起來就是這個圖形的面積。

師：如果我讓這個綠長方形旋轉(zhuǎn)后，拼在一起會是什么圖形？

生：綠長方形旋轉(zhuǎn)后與紅長方形拼成一個大長方形。

師：你能用代數(shù)式表示這個圖形的面積嗎？

生：20a+10a，表示紅長方形和綠長方形的面積。

生：（20+10）×a，（20+10）表示大長方形的長，a 表示寬。

師：這兩個代數(shù)式看似不同，但它們都表示總面積，所以用等號連接。除了結(jié)合長方形的圖來解釋（20+10）×a=20a+10a，你還能怎么解釋？

生：10 個a 加20 個a 等于（20+10）個a。

師：其實這就是乘法分配律。無論怎么拼，總面積不變。

【設(shè)計意圖：通過想象兩個不同的長方形拼成的圖形，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。同一個圖形用兩種不同的代數(shù)式表示，在幾何直觀圖中溝通兩者的聯(lián)系，又用乘法的意義來解釋，為后續(xù)乘法分配律的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)?！?/p>

2.借助行程問題及單價、數(shù)量、總價的問題情境，再次感悟兩積之和的模型。

（1）根據(jù)已有的數(shù)學(xué)信息，用代數(shù)式表示出全程，并說說代數(shù)式的含義。

出示題目：狗和兔子從甲乙兩地相向而行，兔子的奔跑速度為10 米/秒，狗的奔跑速度為20 米/秒，經(jīng)過a 秒后，兔子和狗相遇，你能表示出甲乙兩地的距離嗎？

生：10a+20a，10a 表示 兔 子跑的路程，20a 表示狗跑的路程，合起來就是兔子和狗相遇時跑的總路程。

（2）借助線段圖的直觀演示，幫助學(xué)生理解速度和的概念。

師：還能怎么表示甲乙兩地的距離？

生：（10+20）a，（10+20）表示狗和兔子一秒鐘跑的路程，奔跑a 秒，乘以a 就是總路程。

【設(shè)計意圖：速度和的概念對于部分學(xué)生來說還是比較陌生的。如何理解（10+20）表示的是兔子和狗一秒鐘跑的路程呢？僅靠學(xué)生或教師的口頭描述是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因此，借助多媒體用線段圖直觀的演示，一秒鐘后兔子和狗分別相向跑10 米和20 米，實際靠近30 米。】

（3）直接呈現(xiàn)單價、數(shù)量、總價的問題情境，用代數(shù)式表示總價。

例：小明去水果店買了單價為10 元/千克的蘋果和單價為20 元/千克的冬棗，各a 千克。請問小明買水果共花了多少元？

3.比較三個不同的情境及代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)不同點與相同點。

（1）小組合組。（5 分鐘）

合作目標(biāo)：比較三個情境中的相同點與不同點。

合作要求：

①先獨立思考2 分鐘，把你的想法寫下來。

②小組交流，匯總想法。

③全班交流匯報。

（2）全班匯報交流。（5 分鐘）

環(huán)節(jié)一：抽象分析。

師：剛才我們研究長方形的面積、速度時間路程以及單價數(shù)量總價的問題，現(xiàn)在請你比較這三道題有什么相同點和不同點？

生：數(shù)字相同，未知數(shù)一樣。

生：計算方法一樣。

生：都是先算積，再算和。說明它們的數(shù)學(xué)模型一樣，都是a×b+c×d=f 這樣的形式。

師：那有什么不同呢？

生：數(shù)量關(guān)系不同。

師：怎么不同？

生：第一題是長方形的面積=長×寬，第二題是路程=速度×?xí)r間，第三題是總價=單價×數(shù)量。

環(huán)節(jié)二：進(jìn)一步把兩個具體情境回到幾何圖形中尋找它的意義。

師：其實這兩個問題跟長方形有很大的聯(lián)系，我們一起來找一找。兔子的速度10 米/秒表示綠長方形的長。你能像我這樣找一找，說一說嗎？

生：狗的速度20 米/秒，表示紅長方形的長。

生：a 秒表示長方形的寬。

生：20a——狗跑的路程相當(dāng)于大長方形的面積，10a——兔子跑的路程相當(dāng)于小長方形的面積。

師：你能從這個圖形中找到第三題對應(yīng)的數(shù)據(jù)嗎？紅長方形的長20 相當(dāng)于？請你和同桌說說。

小結(jié)：這三道題有的講長方形的面積，有的講速度時間路程的故事，有的講單價數(shù)量總價的故事，但是經(jīng)過我們的研究比較發(fā)現(xiàn)，其實它們的模型是一樣的，都是兩積之和的模型。

【設(shè)計意圖：建模的前提是充分感知模型關(guān)注的對象，由許多具有共同特征的一類事物中，抽象出這類事物的特征或內(nèi)在聯(lián)系，積累表象經(jīng)驗。因此，設(shè)計三個不同的情境為學(xué)生提供豐富的感性材料。學(xué)生通過比較、觀察，發(fā)現(xiàn)：三道題的情境在變化，數(shù)量關(guān)系在變化，但計算方法不變，都是先求積，再求兩部分的和，從而得出“兩積之和”的模型“a×b+c×d=f”。幾何直觀主要指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。所以又讓學(xué)生將下面兩種情境的數(shù)據(jù)對應(yīng)到幾何圖中或者從幾何圖中找到情境中的數(shù)據(jù)，借助圖形的直觀性特點將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形有機(jī)結(jié)合，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，充分展示問題的本質(zhì)，再次體會兩積之和的結(jié)構(gòu)模型。這樣的設(shè)計，幫助學(xué)生有效的突破難點和重點。】

三、拓展延伸

第一關(guān)：李師傅和徒弟合作加工一批零件，師傅每分鐘做16個，做了a 分鐘，徒弟每分鐘做12 個，做了b 分鐘。問：一共做了幾個零件？

第二關(guān)：學(xué)校買進(jìn)一批科技書和故事書，故事書有a 本，每本18 元，科技書有78 本，每本c元。問：學(xué)校采購這批書一共花了多少錢？

比較：有人說這組代數(shù)式和上一組代數(shù)式相同，也有人說不同？你是怎么思考的？請你把你的想法寫在作業(yè)紙上。

生：我覺得相同，都是兩積之和的模型。

生：我覺得不同，上一組是同一個字母，下面一組是不同的字母。

小結(jié)：上一組其實是兩積之和的特殊模型，有一個因數(shù)相同；下一組是兩積之和的一般模型。

【設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)設(shè)置兩個不同的情境同時將上一組題的數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，變成沒有一個因數(shù)是相同的，以列兩積之和的代數(shù)式。再次將兩個題組進(jìn)行觀察、比較，發(fā)現(xiàn)不變的是兩積之和的結(jié)構(gòu)，只不過是上面題組中有個因數(shù)是相同的，是兩積之和的特殊結(jié)構(gòu)，而下面題組是兩積之和的一般結(jié)構(gòu)a×b+c×d=f，再次感知兩積之和建立的過程?！?/p>