說(shuō)說(shuō)高考對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的考查

徐 舟

高考的主要目的是為高校選拔合格的新生，因此必須測(cè)試考生必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．知識(shí)的積累和技能的掌握是最重要的學(xué)習(xí)目標(biāo)，是解決一切問(wèn)題的基礎(chǔ)．高考的目的和性質(zhì)決定了它不僅要對(duì)考生的學(xué)科知識(shí)和具體技能進(jìn)行考核，而且要對(duì)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、學(xué)科的基本規(guī)律及方法的理解程度和應(yīng)用程度進(jìn)行考查．

因此高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不僅要重視解題訓(xùn)練，而且要通過(guò)課本閱讀、解題反思等方法，進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)．根深才能葉茂．

生甲：一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，則其最小內(nèi)角的正弦值為_(kāi)_______．

解答設(shè)最小內(nèi)角為θ，則另一個(gè)銳角為由正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，有因此有成等比數(shù)列，所以有化簡(jiǎn)得cos2θ=sinθ，所以sin2θ+sinθ-1=0，解得sinθ=又因?yàn)棣葹殇J角，故

生乙：他的解題過(guò)程比較詳細(xì)，但是遺漏了θ為最小銳角的取值范圍．由于0，所以我認(rèn)為這樣更嚴(yán)謹(jǐn)．

師：講得好！此題以直角三角形為背景，考查的基礎(chǔ)知識(shí)有正弦函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系和等比數(shù)列的概念等，是在知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)命題的．三角形中三角函數(shù)的本質(zhì)是刻畫(huà)三角形中邊與角之間的內(nèi)在聯(lián)系，充滿著邊與角、邊與邊、角與角互相制約及互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系．因此，在平時(shí)的復(fù)習(xí)中，不能只局限于課本例題或習(xí)題，如單純地求值、化簡(jiǎn)、證明和解方程、不等式等，必須總結(jié)和體會(huì)三角函數(shù)的意義、相互關(guān)系，理解三角函數(shù)在知識(shí)內(nèi)容及解題方法上的綜合性．

生丙：已知函數(shù)f（x）=loga（2-ax）在［0，1］上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為_(kāi)_______．

解答題中的f（x）是由對(duì)數(shù)函數(shù)y=logau與一次函數(shù)u=2-ax復(fù)合而來(lái)的，由于a＞0且a≠1，可知內(nèi)函數(shù)u=2-ax是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，所以外函數(shù)y=logau是增函數(shù)，因此a＞1．

生乙：還應(yīng)該考慮對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量恒大于0，也就是一次函數(shù)的值恒大于0．由于u=2-ax是減函數(shù)，所以應(yīng)有2-a＞0，解得a＜2．因此1＜a＜2．

師：正確！復(fù)雜函數(shù)大多是由簡(jiǎn)單函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算或復(fù)合過(guò)程所得的，因此解決本題必須熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的基本概念和單調(diào)性．當(dāng)然，由簡(jiǎn)而繁地處理復(fù)雜函數(shù)，還需要有一定的邏輯推理能力和數(shù)量計(jì)算技能．可見(jiàn)高考數(shù)學(xué)試題對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查重在理解、掌握和靈活運(yùn)用，也即與對(duì)能力的考查緊密結(jié)合在一起，而不是在識(shí)記和套用的層次上．

生丁：已知函數(shù)那么f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=________．

我拿到此題后，就是逐一計(jì)算，發(fā)現(xiàn)計(jì)算量比較大．

師：本題主要考查觀察、計(jì)算、探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力．題目要求計(jì)算6個(gè)函數(shù)值的和，若逐個(gè)計(jì)算然后相加，則計(jì)算量比較大，也容易出錯(cuò)．因此應(yīng)當(dāng)細(xì)加觀察，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，總結(jié)規(guī)律，以便作出快速、準(zhǔn)確的推斷．要求的和式中，函數(shù)的自變量可分為三組，每組之和均為1，你們想到什么了？課本上有類似的問(wèn)題嗎？

生乙：等差數(shù)列求和，就是運(yùn)用首尾配對(duì)的方法．本題可以嘗試先求f（x）+f（1-x）的值，看看是否可以發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律．事實(shí)上，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有所以原式=3．

師：由此可以注意到，高考對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查是多角度、多層次的，涉及對(duì)課本知識(shí)和方法（如等差數(shù)列的配對(duì)求和）的深刻理解和靈活運(yùn)用，從而也就形成對(duì)能力的考查．尤其要注意推理和計(jì)算的密切結(jié)合，本題就是先推理后計(jì)算，利用推理簡(jiǎn)化計(jì)算．所以你們?cè)诮忸}時(shí)，應(yīng)力戒呆板、守舊和一味死算，要重視運(yùn)用基本方法和算理，合理簡(jiǎn)化運(yùn)算．

生甲：若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+8，則ab的取值范圍是______．

解答先利用消元法，從已知等式中解出并根據(jù)a＞0，b＞0，得出a＞1，因此再利用判別式法，求出ab≥16．

生丙：可令a-1=t＞0，所以因?yàn)楫?dāng)t＞0時(shí)，t+所以ab≥6+10=16，當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)等號(hào)成立．

生?。河脤?dǎo)數(shù)法（過(guò)程略）．

生乙：直接應(yīng)用基本不等式，由得所以得ab≥16，故ab的取值范圍是［16，+∞）．

師：在ab=a+b+8（a＞0，b＞0）這個(gè)條件下，求ab的取值范圍，既可以轉(zhuǎn)化為解不等式（如生乙），也可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（如生甲、生丙、生?。祟}在考查不等式的基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也突出了對(duì)基本數(shù)學(xué)思想方法（如消元、換元、基本不等式的運(yùn)用等）的考查，你們的求解策略都很好，不僅基礎(chǔ)知識(shí)掌握得較好，而且能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法．

生乙：設(shè)a≠b，解關(guān)于x的不等式a2x+b2（1-x）≥［ax+b（1-x）］2．

開(kāi)始看到此題，認(rèn)為比較繁瑣，肯定需要分類討論，于是就跳過(guò)去，先做后面的題，想著最后再做它．

其實(shí)，左邊可化為（a2-b2）x+b2，右邊可先將中括號(hào)內(nèi)的整理為（a-b）x+b，再將其平方展開(kāi)為（a-b）2x2+2b（a-b）x+b2，于是原不等式可化為（a-b）2x2+（a-b）（b-a）x≤0，即（a-b）2（x2-x）≤0．因?yàn)椋╝-b）2＞0（a≠b），所以x（x-1）≤0，解得0≤x≤1，即原不等式的解集為｛x|0≤x≤1｝．

對(duì)這道題我真的有“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的感覺(jué)．

師：你們?cè)谄綍r(shí)的解題中，不要被形式所嚇倒，要學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，本題就是一個(gè)很好的例子．本題主要考查一元二次不等式的求解以及字母式子的變形、運(yùn)算能力．所給的不等式中含字母參數(shù)a和b，起了一定的干擾作用，突出了對(duì)算理、算法的考查．解題的關(guān)鍵是進(jìn)行正確的同解變形．其程序?yàn)椋合纫祈?xiàng)，使不等式的一端變?yōu)?；再將另一端的代數(shù)式展開(kāi)整理，整理時(shí)，既可以按x的冪次整理同類項(xiàng)，也可以按a和b整理同類項(xiàng)，但切忌盲目或隨意變形．這些都是運(yùn)算的基本方法和技能．

生丙：已知數(shù)列｛an｝，其中an=2n+3n，且數(shù)列｛an+1+λan｝為等比數(shù)列，求常數(shù)λ的值．

解答我是采用從特殊到一般的策略求解的．首先寫(xiě)出等比數(shù)列的前三項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的概念建立關(guān)于λ的方程，然后求解．

有［22+32+λ（2+3）］［24+34+λ（23+33）］=［23+33+λ（22+32）］2，化簡(jiǎn)整理得（λ+2）（λ+3）=0，解得λ=-2或λ=-3．故λ=-2或λ=-3．

生乙：不合適吧，需要檢驗(yàn)．你的結(jié)果僅僅使得前面三項(xiàng)成等比數(shù)列，然而以后各項(xiàng)是否都成等比數(shù)列呢？所以最后需要檢驗(yàn)．事實(shí)上，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，可知你的結(jié)論是正確的．

我是運(yùn)用一般的方法解決的，直接利用等比數(shù)列的任意相鄰三項(xiàng)建立關(guān)于λ的方程，有（an+1+λan）2=（an+2+λan+1）（an+λan-1），即［（2n+1+3n+1）+λ（2n+3n）］2=［（2n+2+3n+2）+λ（2n+1+3n+1）］［（2n+3n）+λ（2n-1+3n-1）］，整理得解得λ=-2或λ=-3．

生?。褐苯訉?duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行變形，可得an+1+λan=（λ+2）2n+（λ+3）3n，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，知λ+2=0或λ+3=0，即λ=-2或λ=-3．

師：這題主要考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式等基本知識(shí)，以及待定系數(shù)法、方程思想等基本方法．你們?nèi)煌瑢W(xué)的思路都很好．只是生丁的求解過(guò)程欠妥，這樣推理不嚴(yán)謹(jǐn)，按照高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，是要扣分的．原因是課本中沒(méi)有這樣的結(jié)論，所以一定要回到最基本的原理或概念中去．

最后我們總結(jié)一下，高考對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的考查可以歸納為以下幾個(gè)方面：

1．基礎(chǔ)知識(shí)，即新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)課程所涉及的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等．因?yàn)閿?shù)學(xué)是有嚴(yán)密邏輯體系的知識(shí)系統(tǒng)，各部分內(nèi)容有機(jī)聯(lián)系組成一個(gè)整體結(jié)構(gòu)，所以基礎(chǔ)知識(shí)還應(yīng)該包括各個(gè)部分內(nèi)容之間的聯(lián)系與關(guān)系．

2．基本技能，包括按照一定的程序與步驟進(jìn)行畫(huà)圖、運(yùn)算、推理的技能．

3．基本思想方法．考查數(shù)學(xué)思想方法是高考中的一項(xiàng)基本要求，同時(shí)也是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的．高考中考查的數(shù)學(xué)方法主要有代入法、配方法、待定系數(shù)法、換元法、分析法（后一步是前一步的充分條件，推理形式為“要證……就要證……”）、綜合法（后一步是前一步的必要條件，推理形式為“因?yàn)椤浴保⒎醋C法、歸納法、窮舉法等，數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程，還有容易被忽略，其實(shí)極其重要的公理化思想（根據(jù)定義、公理、定理、公式、法則等推理）、算法思想（尋求通用的、按一定程序執(zhí)行的解法）等，這些都是基本的數(shù)學(xué)思想和方法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)發(fā)揮著重要的作用．