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    基于Allee效應(yīng)的麥蚜種群捕食-食餌模型的分析與控制

    2019-01-10 08:46:08趙曉月趙立純劉靜娜
    鞍山師范學(xué)院學(xué)報 2018年6期
    關(guān)鍵詞:麥蚜食餌平衡點

    趙曉月,趙立純,,劉靜娜,王 歡

    (1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116029;2.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

    群居有利于物種的生長和存活,但過分稀疏和過分擁擠都可阻礙其生長,從而對物種的生長繁殖產(chǎn)生副作用,每一物種都有自己最適宜的密度,這就是所謂的Allee效應(yīng)[1].植物、哺乳動物、海洋無脊椎動物等產(chǎn)生Allee效應(yīng)現(xiàn)象,該現(xiàn)象一直是生態(tài)學(xué)和保護(hù)生物學(xué)的一個研究熱點.近年來,具有Allee效應(yīng)的物種捕食模型被廣泛研究.魏雪瑩等人研究了麥蚜種群模型的突變控制,利用控制器使麥蚜種群的數(shù)量下降[2].李文霞、許洪建等人建立了食餌含Allee效應(yīng)的最優(yōu)捕獲模型,利用Pontryain最大值原理確定了最優(yōu)捕獲策略[3].付曉閱、劉超等人建立了具有Allee效應(yīng)的食餌-捕食模型,分析了各平衡點的局部漸近穩(wěn)定性,通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)分析了平衡點的全局漸近穩(wěn)定性[4].上述文章從理論上對具有Allee效應(yīng)的捕食-食餌模型進(jìn)行分析和研究,而在麥蚜生態(tài)系統(tǒng)的應(yīng)用很少見.因此本文將具有Allee效應(yīng)的麥蚜種群作為食餌得到麥蚜種群的捕食模型,借助微分方程定性理論和Hopf分岔理論[5,6],對平衡點的穩(wěn)定性進(jìn)行分析,然后通過狀態(tài)反饋控制消除Hopf分岔抑制了麥蚜種群的突變現(xiàn)象.

    1 模型建立

    考慮具有Allee效應(yīng)的logistic模型[7]

    (1)

    其中,x為種群密度,r為種群的內(nèi)稟增長率,K為其環(huán)境容納量,A為其閾值密度.

    (2)

    其中,0

    食餌-捕食模型中,食餌種群可能受自身繁殖或被捕食者的影響而具有Allee效應(yīng).當(dāng)食餌種群具有Allee效應(yīng)時,食餌-捕食模型可能失去穩(wěn)定性而產(chǎn)生突變現(xiàn)象.由于麥蚜種群會產(chǎn)生突變現(xiàn)象從而可以用Allee效應(yīng)刻畫麥蚜種群的增長.在logistic模型[8]的基礎(chǔ)上得到模型如下:

    (3)

    設(shè)y(t)表示t時刻麥蚜天敵種群的密度,d為麥蚜天敵種群的死亡率,結(jié)合模型(3)得麥蚜種群食餌-捕食模型

    (4)

    其中,b是天敵種群的捕食率,c是轉(zhuǎn)化系數(shù),a,b,c,d均為正數(shù).

    轉(zhuǎn)化系數(shù)c在麥蚜種群中起著重要作用,因此視其為模型(4)中Hopf分岔分析的主要參數(shù).隨后對模型(4)進(jìn)行定性分析.

    2 模型分析

    為了方便起見,令

    f(x,y)=x[a(k-x)(x-k0)]-bxy,g(x,y)=cxy-dy,

    則模型(4)變?yōu)?/p>

    (5)

    下面討論各個平衡點的穩(wěn)定性:

    相應(yīng)的特征方程為

    特征根為

    3 控制器設(shè)計

    (6)

    對模型(6),如果自然界中的天敵種群不能達(dá)到調(diào)節(jié)麥蚜種群密度的目的,可以通過人工捕獲麥蚜的方式控制麥蚜種群密度.相應(yīng)的控制模型如下:

    (7)

    其中,k1是人工捕獲麥蚜種群的捕獲效率.

    相應(yīng)的特征根為

    根據(jù)Hopf分岔理論,得如下定理1.

    從而可得

    (8)

    根據(jù)式(8)可知,隨著捕食效率k1的增大,模型(7)的轉(zhuǎn)化數(shù)c將增大,即Hopf分岔的臨界點將延后,由于轉(zhuǎn)化系數(shù)c的改變使得麥蚜種群的增長速度漸緩,即使有Hopf分岔引起的突變現(xiàn)象發(fā)生,但其發(fā)生的時間延遲.綜合上述得如下定理2.

    定理2對模型(7),如果控制

    4 數(shù)值仿真

    對定理1,取k0=100,k=2 900,a=0.000 01,b=7,c=0.000 1,d=0.15,得狀態(tài)反饋控制增益k1=0.8,其時間響應(yīng)圖見圖1.

    圖1 定理1 中模型控制前后時間響應(yīng)圖

    比較圖1中的兩圖可以看出,通過人工捕獲不僅消除麥蚜的突變現(xiàn)象,而且使麥蚜生態(tài)系統(tǒng)中的麥蚜種群數(shù)量保持在不損害作物的水平.

    對定理2,取k0=100,k=2 900,a=0.000 01,b=5,c=0.000 2,d=0.3,得狀態(tài)反饋控制增益k1=7.2,其相應(yīng)的時間響應(yīng)圖見圖2,圖3.

    圖3 定理2中模型控制后時間響應(yīng)圖

    比較圖2和圖3的局部圖,對于控制前的麥蚜生態(tài)系統(tǒng),在t≈5時蚜蟲種群開始出現(xiàn)Hopf分岔導(dǎo)致的突變現(xiàn)象;對于控制后的麥蚜生態(tài)系統(tǒng),在t≈10時蚜蟲種群開始出現(xiàn)Hopf分岔導(dǎo)致的突變現(xiàn)象.這說明通過人工捕獲可以使突變現(xiàn)象發(fā)生延遲,這對于處在灌漿期的麥田生態(tài)系統(tǒng)有著重要的意義.

    本文采用兩種控制方法,使麥蚜種群的突變現(xiàn)象消失.由仿真結(jié)果可知定理1的控制效果比定理2的控制效果好,但是在具體實施的過程中外界因素可能會對控制產(chǎn)生影響,所以要根據(jù)具體情況采用不同的方法進(jìn)行控制.

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