二維Hamilton系統(tǒng)教學(xué)的Maple輔助

江波

摘? ? 要：二維Hamilton系統(tǒng)是非線性微分方程教學(xué)的重要組成部分。嘗試用Maple軟件輔助二維Hamilton系統(tǒng)教學(xué)的過程，將抽象、深奧的教學(xué)內(nèi)容直觀、感性地呈現(xiàn)給學(xué)生，以達(dá)到更好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞： 二維Hamilton系統(tǒng);Maple;微分方程定性理論

中圖分類號：O245;G642? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-7394（2019）04-0083-04

常微分方程作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一，是理論聯(lián)系實際最為緊密的課程，也是后續(xù)課程的基礎(chǔ)[1-2]。 非線性微分方程理論是該課程的主要講授內(nèi)容，而其中源自于經(jīng)典力學(xué)的有限維的Hamilton理論則是非線性微分方程教學(xué)中的重點與難點。 該部分內(nèi)容的教學(xué)因其抽象性強，使得學(xué)生難以理解和接受[3]。 Maple作為目前世界上最為通用的數(shù)學(xué)軟件之一，在教學(xué)與科研中得到了廣泛應(yīng)用[4-5]。 利用Maple強大的圖形動畫功能輔助各類教學(xué)，已經(jīng)有一些學(xué)者做出了探索[6-8]。

為了提高常微分課程中有關(guān)二維Hamilton理論的教學(xué)質(zhì)量和效率，使學(xué)生能通過可視化的演示來直觀地理解其相關(guān)概念與結(jié)論，本文對如何在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中應(yīng)用Maple軟件的編程畫圖功能輔助教學(xué)作一點初步的探討。

1? ? 預(yù)備知識

回顧二維Hamilton系統(tǒng)的相關(guān)概念及結(jié)論。

二維自治微分方程

定義了平面自治動力系統(tǒng)。

定義1? 若平面自治動力系統(tǒng)（1）可表示成

則稱（1）為二維Hamilton方程，其中二次可微函數(shù)[H（x1，x2）]稱為Hamilton函數(shù)。 在應(yīng)用數(shù)學(xué)或力學(xué)中，也稱（1）為1個自由度的Hamilton系統(tǒng)（或平面Hamilton系統(tǒng)），[x1]和[x2]分別稱為廣義坐標(biāo)和廣義動量，[（x1，x2）]稱為相平面，[H]稱為能量函數(shù)。

從有限維Hamilton系統(tǒng)到無窮維Hamilton系統(tǒng)的拓展主要基于（4）。

定義2? 若不恒為常數(shù)的可微函數(shù)[K（x）]對所有[x∈?n]，滿足[K（x）f（x）=0]，即對微分方程[x=f（x）]的任一解[x（t）]滿足[K（x（t））]為常數(shù)，則稱[K（x）]為微分方程[x=f（x）]的首次積分。

3? ? 結(jié)論

對于二維Hamilton系統(tǒng)中晦澀難懂的概念和定理，為了提高教學(xué)直觀性與生動性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和潛力，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新能力，我們在如何利用Maple輔助其教學(xué)上做了初步的探索。

參考文獻(xiàn)：

[1] 丁同仁，李承治. 常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

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[3] GUCKENHEIMER J， HOLMES P. Nonlinear Oscillations， Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields [M]. New York：Springer-Verlag， 1983.

[4] 張曉丹， 堵秀鳳， 李祥林，等. Maple 的圖形動畫技術(shù)[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2005.

[5] 馬春庭，高萍，吳開騰，等.掌握和精通Maple[M].北京：機械工業(yè)出版社，2000.

[6] 李靜， 騰興虎. Maple軟件在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30（S1）：95-97.

[7] 李姝敏. 數(shù)學(xué)軟件Maple在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用[J].陰山學(xué)刊，2013，27（4）： 55-57.

[8] 孔祥強. Maple在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索[J].欽州學(xué)院學(xué)報，2016，31（1）： 54-57.

Abstract： Two dimensional Hamilton system is an important part of nonlinear differential equation teaching. This paper expounds the process of using Maple software to assist the teaching of two-dimensional Hamilton system， presenting the abstract and profound teaching content to the students intuitively and perceptually， which can achieve better teaching effect.

Key? words： two-dimensional Hamilton system; Maple software

責(zé)任編輯? ? 祁秀春