考慮飽和的開關(guān)磁阻電機(jī)徑向電磁力解析建模

左曙光, 鄭玉平, 胡勝龍, 毛 鈺

(同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海 201804)

開關(guān)磁阻電機(jī)因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無需稀土材料、調(diào)速性好，是電動(dòng)汽車驅(qū)動(dòng)電機(jī)的優(yōu)選方案之一.然而其突出的振動(dòng)噪聲問題限制了其廣泛應(yīng)用[1].目前，振動(dòng)噪聲抑制研究一直是開關(guān)磁阻電機(jī)研究的重要問題.作用于定子齒的徑向電磁力波動(dòng)是引起開關(guān)磁阻電機(jī)振動(dòng)的主要因素[2]，而建立電磁力模型是研究電磁力的基礎(chǔ).

目前開關(guān)磁阻電機(jī)電磁力模型建立主要為有限元方法和解析方法.有限元方法是一種成熟且可信度高的計(jì)算電磁力手段.Anwar等通過有限元方法計(jì)算了開關(guān)磁阻電機(jī)定子齒上電磁力，雖然該方法準(zhǔn)確性好，但模型搭建繁瑣，計(jì)算效率不高[3-4].解析計(jì)算模型計(jì)算速度快，參數(shù)調(diào)整簡(jiǎn)單直接，且解析模型中參數(shù)意義明確，有利于電機(jī)前期開發(fā)的快速驗(yàn)證；模型能夠反映電磁力及諧波產(chǎn)生機(jī)理，能夠輔助分析電磁力激勵(lì)來源，有利于振動(dòng)噪聲抑制研究，對(duì)于低噪聲開關(guān)磁阻電機(jī)的開發(fā)及優(yōu)化有直接的指導(dǎo)價(jià)值.永磁同步電機(jī)、爪極電機(jī)等的氣隙磁場(chǎng)和電磁力解析模型已經(jīng)比較成熟[5-6].與上述電機(jī)不同，開關(guān)磁阻電機(jī)具有雙凸極結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，且運(yùn)行過程中有嚴(yán)重的飽和效應(yīng)，使得建立具有高精度的解析模型較為困難.目前開關(guān)磁阻電機(jī)徑向電磁力模型大多計(jì)算電機(jī)定子齒上的徑向集中力[7-10]，考慮分布電磁力的解析建模鮮有研究.將電機(jī)整個(gè)齒上電磁力作為集中力處理，既不符合電磁力實(shí)際分布情況，也無法獲取電磁力具體的時(shí)空分布信息.圖1為開關(guān)磁阻電機(jī)運(yùn)行時(shí)的電磁力分布情況，采用作用于定子中心的集中力等效會(huì)產(chǎn)生較大誤差.文獻(xiàn)[11]將電磁力以集中力和分布力形式分別加載計(jì)算噪聲，證實(shí)考慮力分布特征的方法計(jì)算結(jié)果更為準(zhǔn)確.

開關(guān)磁阻電機(jī)工作在局部飽和十分嚴(yán)重的條件下，建立較為準(zhǔn)確的徑向力模型需要考慮飽和的影響.文獻(xiàn)[12-14]建立了開關(guān)磁阻電機(jī)徑向力模型，根據(jù)有限元結(jié)果，通過飽和修正公式考慮了飽和的影響，但僅能計(jì)算作用于整個(gè)齒的集中力.文獻(xiàn)[15]使用等效磁路法研究了雙凸極電機(jī)的氣隙磁導(dǎo)，通過飽和產(chǎn)生的磁導(dǎo)率降落量來反映飽和對(duì)雙凸極電機(jī)的影響，但并未進(jìn)一步計(jì)算電磁力，且等效磁路法無法考慮電磁力的分布特征.

綜上所述，目前對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)考慮徑向電磁力分布特征的解析模型鮮有研究.本文首先考慮電機(jī)運(yùn)行時(shí)磁力線的分布情況，推導(dǎo)定子勵(lì)磁磁動(dòng)勢(shì)和等效氣隙磁導(dǎo)，建立不考慮飽和時(shí)氣隙磁場(chǎng)解析模型；進(jìn)而根據(jù)有限元結(jié)果分析了飽和對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響特點(diǎn)，基于上述模型提出考慮飽和的氣隙磁場(chǎng)模型；最后基于麥克斯韋張量法得到徑向電磁分布力模型，并通過有限元驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性.

圖1 定子徑向電磁力分布Fig.1 Distribution of radial electromagnetic force

1 不考慮飽和的氣隙磁場(chǎng)解析模型

開關(guān)磁阻電機(jī)具有典型的雙凸極結(jié)構(gòu)，定轉(zhuǎn)子上均無永磁體，轉(zhuǎn)子上也沒有繞組，由定子上的集中繞組勵(lì)磁.本文采用磁勢(shì)乘磁導(dǎo)的方法求取氣隙磁場(chǎng)，建?？紤]定子齒側(cè)面勵(lì)磁建立磁動(dòng)勢(shì)，且將磁力線近似看作圓弧及直線來模擬磁力線在氣隙中的路徑，求取氣隙的磁導(dǎo)[16].

對(duì)于Ns/Nr極電機(jī)，Ns為定子齒數(shù)，Nr為轉(zhuǎn)子齒數(shù)，P=Ns/2為相數(shù)，θs、βs分別為定子極距角度與極弧角度，θr、βr分別為轉(zhuǎn)子極距角度與極弧角度，Rs為定子內(nèi)徑，Rr為轉(zhuǎn)子外徑.為了方便分析，做如下簡(jiǎn)化：① 鐵芯的導(dǎo)磁率為無窮大；② 磁場(chǎng)沿軸向均勻分布，忽略電機(jī)端部的影響，忽略漏磁通；③ 第一部分暫不考慮定轉(zhuǎn)子飽和的影響.

1.1 定子勵(lì)磁磁動(dòng)勢(shì)

根據(jù)開關(guān)磁阻電機(jī)定子的結(jié)構(gòu)，將其沿周向展開，單相勵(lì)磁的磁動(dòng)勢(shì)在圓周空間中的分布情況如圖2所示，則單相勵(lì)磁磁動(dòng)勢(shì)在一個(gè)周期內(nèi)可表達(dá)為(以A相為例，B相、C相以此類推)

(1)

式中：FA為A相磁動(dòng)勢(shì)；N為繞組匝數(shù)；IA為A相電流；θ為電機(jī)圓周空間機(jī)械角度.

圖2 定子繞組磁動(dòng)勢(shì)在圓周空間中的分布Fig.2 Magnetomotive force of stator coil

對(duì)定子勵(lì)磁磁動(dòng)勢(shì)圓周空間分布進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分解，得A相定子勵(lì)磁磁動(dòng)勢(shì)如式(2)所示，其中，fa、fb均為與電機(jī)結(jié)構(gòu)有關(guān)的系數(shù)，如式(3)所示.

(2)

(3)

則B、C相磁動(dòng)勢(shì)分別為

(4)

開關(guān)磁阻電機(jī)驅(qū)動(dòng)電流一般為與轉(zhuǎn)子位置角有關(guān)的非正弦電流，各相電流表示為

(5)

式中：I0為電流常量部分；I為系數(shù)；ω為電機(jī)轉(zhuǎn)頻；t為時(shí)間.

電機(jī)定子繞組各相合成磁動(dòng)勢(shì)為

F(θ,t)=FA(θ,t)+FB(θ,t)+FC(θ,t)

(6)

1.2 氣隙磁導(dǎo)

應(yīng)用磁通管法的思想，把定子到轉(zhuǎn)子磁力線的長(zhǎng)度作為等效氣隙長(zhǎng)度，以此推導(dǎo)出氣隙磁導(dǎo)的公式.如圖3所示，氣隙區(qū)域可以分為3個(gè)部分：定子區(qū)域、第一氣隙和轉(zhuǎn)子區(qū)域.則氣隙磁導(dǎo)為

(7)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；g0為第一氣隙長(zhǎng)度;gs、gr分別為定子及轉(zhuǎn)子部分的等效氣隙長(zhǎng)度.

圖3 氣隙區(qū)域示意圖Fig.3 Sketch map of air-gap area

1.2.1定子部分的等效氣隙長(zhǎng)度

如圖4所示，定子部分定子齒頂?shù)牡刃庀堕L(zhǎng)度為0，齒側(cè)部分等效氣隙長(zhǎng)度為與圓周空間角度有關(guān)的同心圓弧長(zhǎng).由于分析時(shí)將定轉(zhuǎn)子沿周向展開，且使用直線及圓弧代替實(shí)際的磁力線，從而引入了誤差修正系數(shù)β1、β2進(jìn)行修正[17]

(8)

式中：αrs為定轉(zhuǎn)子齒軸線之間的夾角.

定子等效氣隙長(zhǎng)度是與電機(jī)周向空間位置有關(guān)的函數(shù)，由幾何關(guān)系可得，在一個(gè)定子齒距范圍內(nèi)等效氣隙長(zhǎng)度為

(9)

圖4 定轉(zhuǎn)子等效氣隙Fig.4 Equivalent air-gap of stator and rotor

對(duì)等效氣隙空間分布進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分解

sbsin(mNsθ)]

(10)

其中s0、sa、sb均為與定子結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)

(11)

1.2.2轉(zhuǎn)子部分的等效氣隙長(zhǎng)度

轉(zhuǎn)子等效氣隙是關(guān)于時(shí)間和空間的函數(shù).如圖5所示，在一個(gè)轉(zhuǎn)子齒距范圍內(nèi)，等效氣隙長(zhǎng)度為

(12)

對(duì)等效氣隙圓周空間分布進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分解

rbsin(nNr(θ-ωt))]

(13)

(14)

(15)

式中:hr為轉(zhuǎn)子齒高.

1.3 氣隙磁場(chǎng)和電磁力

在定轉(zhuǎn)子鐵芯磁導(dǎo)無窮大的假設(shè)下，磁動(dòng)勢(shì)降落全發(fā)生在氣隙空間處，氣隙磁場(chǎng)可由磁動(dòng)勢(shì)與氣隙磁導(dǎo)相乘得到，如式(16)所示.開關(guān)磁阻電機(jī)氣隙磁場(chǎng)是關(guān)于電機(jī)周向空間位置和時(shí)間(決定轉(zhuǎn)子位置)兩個(gè)變量的函數(shù).切向磁密幅值不到徑向磁密的1/10，則根據(jù)麥克斯韋張量法，定子表面徑向電磁力波為：

(17)

為驗(yàn)證該模型的準(zhǔn)確性，本文通過有限元方法進(jìn)行驗(yàn)證，有限元模型定轉(zhuǎn)子材料定義為理想材料，即該材料磁化曲線為線性，如圖5曲線B所示.樣機(jī)為6/4極電機(jī)，主要參數(shù)如表1所示，結(jié)構(gòu)如圖6所示.在電流20 A、轉(zhuǎn)子位置角23°情況下，電機(jī)空間磁場(chǎng)分布解析結(jié)果和有限元仿真結(jié)果對(duì)比如圖7所示.從對(duì)比結(jié)果看，氣隙磁密吻合較好.

圖8a為轉(zhuǎn)子位置角為25°時(shí)電磁力空間分布及諧波階次對(duì)比，前20階空間諧波誤差最大為3.62%，其中空間2階誤差僅為2.65%；圖8b為定子中間位置處電磁力時(shí)間變化及諧波階次對(duì)比，前5 000 Hz最大誤差為3.87%.結(jié)果表明，該解析模型具有良好的精度.有限元和解析解在不對(duì)齊區(qū)域齒尖部位存在誤差，這是因解析模型未考慮齒尖部位的磁導(dǎo)突變所致.

然而，實(shí)際鐵心材料磁化曲線如圖5曲線A，隨著磁化強(qiáng)度H的增大，磁通密度并不隨磁場(chǎng)強(qiáng)度線性增大，即產(chǎn)生磁飽和.開關(guān)磁阻電機(jī)運(yùn)行過程中存在嚴(yán)重的局部磁飽和，為了提高解析模型的準(zhǔn)確性，需要考慮飽和的影響.

圖5 磁化曲線Fig.5 B-H curve

Br(θ,t)=F(θ,t)·Λ(θ,t)=

(16)

圖6 6/4極開關(guān)磁阻電機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.6 Structure of 6/4 SRM

圖7 不考慮飽和的氣隙磁密電機(jī)空間磁場(chǎng)分布Fig.7 Air-gap flux density without considering saturation

表1 6/4極開關(guān)磁阻電機(jī)主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of 6/4 switched reluctance motor

2 考慮飽和的電機(jī)氣隙磁場(chǎng)建模

2.1 影響磁場(chǎng)飽和因素分析

本文以6/4極開關(guān)磁阻電機(jī)為對(duì)象，分析飽和對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響.電機(jī)磁力線分布如圖9所示，根據(jù)磁阻最小原理，磁力線主要從定轉(zhuǎn)子重合區(qū)域通過.如圖10所示，轉(zhuǎn)子不同位置角及不同電流時(shí)，考慮鐵芯飽和與否電機(jī)氣隙磁場(chǎng)沿空間分布情況.圖10a為轉(zhuǎn)子極與定子槽非對(duì)齊位置時(shí)考慮材料飽和與否的氣隙磁密對(duì)比，此時(shí)定轉(zhuǎn)子未重合，幾乎沒有飽和；圖10c、d為定轉(zhuǎn)子部分重合飽和對(duì)氣隙磁密影響對(duì)比，在定轉(zhuǎn)子重合的區(qū)域，飽和引起磁密下降十分嚴(yán)重，而不重合區(qū)域磁密基本一致.定轉(zhuǎn)子重合部分飽和程度比較大，氣隙磁密變化非常大，而不重合部分由于氣隙磁阻較大，飽和并不明顯.

a 電磁力空間分布

b 電磁力空間諧波階次

c 電磁力隨時(shí)間變化

d 電磁力隨時(shí)域諧波階次圖8 不考慮飽和的電磁力時(shí)間和空間分布Fig.8 Time and spatial distribution of electromagnetic force without considering situration effect

圖9 電機(jī)磁力線分布Fig.9 Distribution of flux line on the motor

a α=0°, I=5 Ab α=0°, I=20 A

c α=25°, I=5 Ad α=25°, I=20 A

經(jīng)研究總結(jié)出影響飽和的兩個(gè)主要因素：電流和轉(zhuǎn)子位置角.本文引入磁密降落量ΔB，即不飽和與飽和氣隙磁密之間的差值，使用有限元方法來研究各因素對(duì)飽和的影響.

2.1.1電流對(duì)飽和的影響

電流是影響電機(jī)磁飽和的最主要的因素.當(dāng)電流較小時(shí)，電機(jī)飽和程度較小，隨著電流增大，電機(jī)飽和程度越來越大.首先，不考慮轉(zhuǎn)子位置角的影響，分析對(duì)齊位置時(shí)，飽和引起的磁密降落量.圖11a表示定轉(zhuǎn)子重合區(qū)域電機(jī)不同圓周空間角度位置取樣點(diǎn)的磁密降落量隨繞組電流變化情況，可知重合區(qū)域不同圓周位置磁密降落量具有一致性.圖11b為其中1個(gè)取樣點(diǎn)磁密降落量隨電流變化情況，其曲線具有分段線性的特征.本文采用關(guān)于電流i的函數(shù)來擬合

(18)

式中：ΔB1為電流引起的磁密降落量；i為某相電流；aij(i,j=1, 2, 3)為擬合常數(shù).

2.1.2轉(zhuǎn)子位置角對(duì)飽和的影響

當(dāng)繞組電流相同、轉(zhuǎn)子位置角(定轉(zhuǎn)子重合角)不同時(shí)，飽和程度不同，產(chǎn)生的磁密降落量也不同.圖12a表示電流不變時(shí)，不同周向空間取樣點(diǎn)隨轉(zhuǎn)子位置角變化時(shí)磁密降落量變化情況.可以看出，當(dāng)取樣點(diǎn)未處于定轉(zhuǎn)子重合區(qū)域時(shí)，磁密降落量基本為0，當(dāng)進(jìn)入到重合區(qū)域時(shí)，磁密降落量迅速增大到一定值；之后隨著重合角度繼續(xù)增大，磁密降落量繼續(xù)線性緩慢增大.如圖12b所示，同一空間位置點(diǎn)相對(duì)磁密降落量隨電流增大具有近似拋物線特征.考慮轉(zhuǎn)子位置角對(duì)飽和的影響后，磁密降落量可以表示為

a 定子區(qū)域不同采樣點(diǎn)

b 其中1個(gè)采樣點(diǎn)圖11 磁密降落量隨電流變化Fig.11 Flux density drop with current changes

a 相同電流齒區(qū)域不同空間位置

b 電流和轉(zhuǎn)子位置角的綜合影響圖12 磁密降落隨轉(zhuǎn)子位置角變化Fig.12 Flux density drop with rotor position angle changes

ΔB=b(α,i)ΔB1=(b1α+b2i2+b3i+b4)ΔB1

(19)

式中：b(α,i)是隨轉(zhuǎn)子位置角和電流線性變化的系數(shù)，其值小于1；b1、b2、b3均為擬合常數(shù).

2.2 考慮飽和的磁密解析模型

本文在線性解析模型的基礎(chǔ)上，引入磁導(dǎo)降落系數(shù)來反映飽和的影響.A相磁導(dǎo)降落量λdA與磁密降落量ΔB的關(guān)系如下(B、C相類似)：

b4)ΔB1]

(20)

磁導(dǎo)降落量只作用于定轉(zhuǎn)子重合區(qū)域，對(duì)其沿周向進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分解，則A相的磁導(dǎo)降落量沿圓周空間分布為磁導(dǎo)降落系數(shù)公式如下：

febcos(2uθ))

(21)

式中：λFe A為磁導(dǎo)降落系數(shù)；fe0、fea、feb為傅里葉分解產(chǎn)生的常數(shù)，如公式(22)所示；其中Δα為定轉(zhuǎn)子重合角，如式(23)所示.

(22)

(23)

故三相電機(jī)磁導(dǎo)降落系數(shù)可表示為

λFe=λFe A+λFe B+λFe C=

(24)

式中:λFe為電機(jī)磁導(dǎo)降落系數(shù);Du為傅里葉分解產(chǎn)生的與飽和有關(guān)的常數(shù).結(jié)合不考慮飽和的模型(16)與飽和磁導(dǎo)修正式(24)，考慮飽和的氣隙磁場(chǎng)模型可以表示為

Br(θ,t)=F(θ,t)·Λ(θ,t)·(1-λFe)=

(25)

3 徑向電磁力建模及有限元驗(yàn)證

3.1 徑向電磁力解析模型

根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力張量法，法向電磁力的公式如式(17)所示.則開關(guān)磁阻電機(jī)徑向電磁分布力波可表示為

(26)

3.2 有限元驗(yàn)證

為驗(yàn)證解析模型準(zhǔn)確性，本文將解析計(jì)算與有限元仿真結(jié)果對(duì)比分析.電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，樣機(jī)材料定義為牌號(hào)DW360-50硅鋼.圖13為電流25 A、轉(zhuǎn)子位置角19°時(shí)電機(jī)徑向磁密的解析和有限元結(jié)果對(duì)比，考慮飽和的解析模型計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合良好.圖14為樣機(jī)在額定轉(zhuǎn)速4 000 r·min-1運(yùn)行時(shí)的對(duì)比結(jié)果，圖14a表示A相轉(zhuǎn)子位置角30°時(shí)電磁力空間分布情況及其諧波空間階次對(duì)比，而圖14b表示A相定子齒中間位置的電磁力隨時(shí)間變化情況及諧波時(shí)間階次對(duì)比.結(jié)果顯示，解析計(jì)算結(jié)果和有限元結(jié)果吻合程度較好，電機(jī)電磁力諧波時(shí)空階次解析與有限元解具有良好的一致性.其中，空間階次前18階幅值誤差均在5%以下；時(shí)間階次前2 000 Hz最大誤差為7.2%，前5 000 Hz最大誤差為16.8%，高次諧波精度稍差，但總體趨勢(shì)一致.結(jié)果說明，此模型能夠較為準(zhǔn)確地反映電機(jī)電磁力諧波的時(shí)空特性，有助于電機(jī)振動(dòng)噪聲研究.同時(shí)由圖13及圖14可以看出，在定轉(zhuǎn)子齒槽邊緣，解析結(jié)果和有限元結(jié)果存在一定誤差，這是由于建模時(shí)對(duì)磁力線的等效以及研究飽和時(shí)的參數(shù)修正做了簡(jiǎn)化處理引起的.此外，對(duì)于本文樣機(jī)，采用該解析方法僅需有限元20%的計(jì)算時(shí)間便可得到相當(dāng)精度的結(jié)果.

圖13 I=25A，α=19°時(shí)徑向氣隙磁密Fig.13 Radial magnetic flux density

a 電磁力空間分布

b 電磁力空間諧波階次

c 電磁力隨時(shí)間變化

d 電磁力隨時(shí)域諧波階次圖14 4 000 r·min-1時(shí)電磁力時(shí)間和空間分布Fig.14 Time and spatial distribution of electromagnetic force at 4 000 r·min-1

為了說明本文提出方法的有效性和普適性，本文建立了另一款常用的12/8極開關(guān)磁阻電機(jī)考慮飽和的徑向電磁力解析模型.12/8極電機(jī)的基本參數(shù)如表2所示.其中不考慮飽和、考慮飽和以及有限元仿真的電機(jī)徑向電磁力空間分布如圖15所示.可以看出，對(duì)于該電機(jī)本文方法仍有較高的準(zhǔn)確性，說明本文提出的方法對(duì)于其他開關(guān)磁阻電機(jī)也具有較強(qiáng)的適用性.

表2 12/8極開關(guān)磁阻電機(jī)主要參數(shù)Tab.2 Main parameters of 12/8 switched reluctance motor

圖15 12/8極SRM 3 000 r·min-1時(shí)電磁力空間分布Fig.15 Spatial distribution of electromagnetic force of 12/8 SRM at 3 000 r·min-1

4 結(jié)論

本文通過建立磁動(dòng)勢(shì)和等效氣隙磁導(dǎo)模型，建立了開關(guān)磁阻電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的解析計(jì)算模型；引入磁導(dǎo)降落系數(shù)，建立了考慮飽和的氣隙磁場(chǎng)解析計(jì)算模型；并基于麥克斯韋張量法建立了考慮磁飽和的徑向分布電磁力計(jì)算模型，通過有限元方法驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，并且得到如下結(jié)論：

(1) 本文分析了電流、轉(zhuǎn)子位置角對(duì)磁飽和的影響，并對(duì)通過參數(shù)擬合對(duì)解析模型進(jìn)行修正，建立的電磁力解析計(jì)算模型能夠較為準(zhǔn)確地計(jì)算電機(jī)氣隙磁場(chǎng)和徑向電磁力.

(2) 相比有限元方法，本文提出的徑向電磁力解析計(jì)算方法更適合氣隙磁場(chǎng)和電磁力的快速計(jì)算；模型給出了電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)和電磁力的關(guān)系，模型中參數(shù)物理意義明確，有利于電機(jī)設(shè)計(jì)時(shí)快速驗(yàn)證.

(3) 本文提出的模型能夠計(jì)算電機(jī)分布電磁力，相比集中力，分布電磁力包含更為詳細(xì)的電磁力波隨時(shí)間的波動(dòng)特征以及沿電機(jī)一周的空間分布特征信息，更有利于開關(guān)磁阻電機(jī)旋轉(zhuǎn)電磁力特性研究和電機(jī)減振降噪研究.