隨機(jī)利率下條件蒙特卡羅綜合加速方法及應(yīng)用

趙 丹，徐承龍

(1.同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200092； 2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 200433)

隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，期權(quán)作為金融風(fēng)險(xiǎn)管理、套利等工具變得越來(lái)越重要，而其定價(jià)及Greeks計(jì)算問(wèn)題也成為現(xiàn)代金融理論的一個(gè)極其重要的研究領(lǐng)域.在當(dāng)今國(guó)內(nèi)外的金融市場(chǎng)上，一方面，由于市場(chǎng)的日益復(fù)雜，標(biāo)的資產(chǎn)(如股票)、匯率及浮動(dòng)利率等的變化過(guò)程也變得越來(lái)越復(fù)雜，因此想要更加準(zhǔn)確地刻畫(huà)這些特征，就需要提出比幾何布朗運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜的模型來(lái)進(jìn)行描述，例如隨機(jī)利率、隨機(jī)波動(dòng)率模型、由Levy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的模型等.Robert Merton[1]最早考慮了隨機(jī)利率下的期權(quán)定價(jià)，后來(lái)又出現(xiàn)了Vasieck和CIR(cox-ingersoll-ross) 隨機(jī)利率模型，Barndorff- Nielsen 和 Shephard[2]提出了Levy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的多因子模型.另一方面，為了滿足客戶對(duì)各類金融產(chǎn)品的個(gè)性化需求，期權(quán)的類型變得越來(lái)越復(fù)雜，如美式期權(quán)、與路徑有關(guān)的亞式期權(quán)、提前實(shí)施條款等.金融市場(chǎng)也出現(xiàn)了一些具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的高維期權(quán).

除了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格以外，金融衍生品價(jià)格還取決于其他多個(gè)參數(shù)：市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率，產(chǎn)品期限等.而衍生產(chǎn)品對(duì)這些因素的變化率統(tǒng)稱為敏感度，即為Greeks.Greeks值被廣泛用于風(fēng)險(xiǎn)度量與風(fēng)險(xiǎn)控制中，因此準(zhǔn)確地計(jì)算出Greeks值是一個(gè)非常有實(shí)際意義的問(wèn)題，對(duì)于金融機(jī)構(gòu)及保險(xiǎn)公司構(gòu)建對(duì)沖投資組合、進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理非常重要.由于期權(quán)價(jià)格本身能在市場(chǎng)上觀察得到，Greeks卻不能，因此準(zhǔn)確地計(jì)算Greeks甚至比計(jì)算期權(quán)價(jià)格本身更重要，難度也會(huì)更高.

根據(jù)現(xiàn)有的金融資產(chǎn)定價(jià)理論，很少一部分期權(quán)能通過(guò)偏微分理論求得解析解，因此往往需要借助于數(shù)值方法求解.金融衍生品定價(jià)數(shù)值方法大致分為：二叉樹(shù)方法、有限差分與有限元方法、蒙特卡羅方法.其中，二叉樹(shù)、有限差分方法對(duì)于低維模型能夠快速有效地得到結(jié)果，但是存儲(chǔ)量和計(jì)算量隨著維數(shù)的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)，對(duì)于3維以上的問(wèn)題基本無(wú)法解決.而蒙特卡羅方法的存儲(chǔ)量和計(jì)算量隨著維數(shù)的增加大體呈線性增長(zhǎng)，且其收斂速度與維數(shù)無(wú)關(guān)，所以成為求解高維期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的重要方法.

最早使用蒙特卡羅方法進(jìn)行金融資產(chǎn)定價(jià)的是Boyle[3]，對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)為單一資產(chǎn)的歐式股票期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，而后Tilley[4]首先應(yīng)用蒙特卡羅方法對(duì)可支付紅利的美式看跌期權(quán)進(jìn)行了估值, Baldi和Caramellino[5]利用蒙特卡羅方法對(duì)一般的障礙期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)分析.近些年蒙特卡羅方法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用越加廣泛，但其收斂速度慢，所以相繼出現(xiàn)了一些對(duì)其進(jìn)行加速的方法.本文所用的條件蒙特卡羅方法和控制變量法就是通過(guò)方差減小技術(shù)而達(dá)到加速效果的方法.此方法不僅適用于歐式期權(quán)定價(jià)，而且對(duì)亞式期權(quán)、一籃子期權(quán)和高維期權(quán)也同樣具有顯著效果.比較著名的例子是Kemma和Vorst利用幾何平均的看漲和看跌期權(quán)都有解析解的特性，分別選擇了幾何平均亞式期權(quán)作為控制變量，為算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià).Shin和Svenstrup[6]使用控制變量技巧研究了LIBOR市場(chǎng)模型的百慕大互換的定價(jià)問(wèn)題.Glasserman也指出條件蒙特卡羅方法可以減小模擬誤差，但是缺少統(tǒng)一的實(shí)施方法.詹慧蓉和程乾生在蒙特卡羅模擬亞式期權(quán)定價(jià)過(guò)程中提出一個(gè)新的多元控制變量，得到了不錯(cuò)的結(jié)果.彭斌采用控制變量蒙特卡羅方法研究了兩資產(chǎn)亞式彩虹期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.梁義娟和徐承龍[7]使用條件蒙特卡羅方法及鞅方法研究了一般的兩因子隨機(jī)模型下歐式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，但是存在計(jì)算量較大的缺點(diǎn).

目前計(jì)算Greeks大致有3大類方法：有限差分方法、基于軌道模擬的蒙特卡羅方法和基于似然的蒙特卡羅模擬方法.有限差分方法很容易理解，計(jì)算簡(jiǎn)單快捷，但其誤差較大，為此Giles提出了多層蒙特卡羅方法用于提高計(jì)算速度.孫健蘭[8]證明了多層蒙特卡羅算法的有效性，而這種方法近期只能針對(duì)幾何布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行計(jì)算.基于軌道模擬的蒙特卡羅方法算法簡(jiǎn)單且通用性強(qiáng).沿著此思路以及后續(xù)提出的 IPA(infinitesimal perturbation analysis)方法，許多著名學(xué)者研究了其在運(yùn)籌、優(yōu)化及金融中的應(yīng)用.第3種方法不出現(xiàn)對(duì)收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，避免了收益函數(shù)僅為李-氏連續(xù)或者不連續(xù)的情形，但需已知其概率密度函數(shù)，而這對(duì)大部分復(fù)雜模型而言并不易求得.例如在金融中的應(yīng)用見(jiàn)文獻(xiàn)[9]等.以上3種方法各有優(yōu)缺點(diǎn).本文將在第2種方法基礎(chǔ)上提出一種利用條件蒙特卡羅方法的求解思路，可以改進(jìn)第2類方法的缺陷，同時(shí)具有減小方差的作用，特別是可以計(jì)算Γ值.與其他兩種方法相比，利用條件蒙特卡羅方法計(jì)算Greeks值，提高了模擬效率.

本文主要以隨機(jī)利率滿足CIR模型下的歐式看漲期權(quán)為例，研究定價(jià)及Greeks值計(jì)算問(wèn)題.首先建立了期權(quán)的條件期望表達(dá)式，以提高模擬效率.然后利用控制變量法對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步加速.接著運(yùn)用本文所提出的條件期望表達(dá)式對(duì)Greeks值進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而通過(guò)比較說(shuō)明本文所提出計(jì)算方法的優(yōu)越性和有效性.最后討論了本文方法可推廣到其他適用的情形.

1 隨機(jī)利率模型下期權(quán)定價(jià)

對(duì)CIR隨機(jī)利率模型下歐式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，由文獻(xiàn)[10]可知此時(shí)無(wú)解析表達(dá)公式.本節(jié)結(jié)合條件期望表達(dá)式以及控制變量加速技巧對(duì)蒙特卡羅模擬進(jìn)行加速處理.

1.1 隨機(jī)利率下資產(chǎn)價(jià)格模型

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)St滿足波動(dòng)率為常數(shù)σs>0的隨機(jī)微分方程

(1)

其中瞬時(shí)利率rt滿足波動(dòng)率為常數(shù)σr>0的隨機(jī)方程

(2)

式中：α、θ為正常數(shù)；Wt和Zt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，且滿足cov(dWt,dZt)=ρdt；ρ為兩者之間的相關(guān)性系數(shù).Wt和Zt之間的關(guān)系也可以寫為

(3)

(4)

式(4)也可以寫成

(5)

其中

(6)

(7)

1.2 期權(quán)定價(jià)的模擬方法

1.2.1標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅模擬方法

給定敲定價(jià)格K在時(shí)刻t歐式看漲期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)中性價(jià)格Vt可以寫為

(8)

特別可得零時(shí)刻歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為

(9)

(10)

方程(9)中的期權(quán)價(jià)格可以用標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅方法模擬：選取適當(dāng)大的模擬次數(shù)M，用樣本均值代替期望值，就可以得到無(wú)偏估計(jì)值：

1.2.2條件蒙特卡羅方法

利用條件蒙特卡羅方法估計(jì)隨機(jī)利率滿足CIR模型下的歐式看漲期權(quán)價(jià)格.由條件期望公式

E[Y]=E[E[Y|X]]

(11)

又由條件方差公式

Var(Y)=Var(E[Y|X])+

E[Var(Y|X)]>Var(E[Y|X])

可以看出條件蒙特卡羅方法是一種有效的方差減小技術(shù).

(12)

(13)

k=0,1，…，N-1

1.2.3基于條件期望的蒙特卡羅控制變量法

V(b)=VBS-bT(X-E[X])

E[ξ]=1

設(shè)(X,VBS)的協(xié)方差矩陣為

則M次模擬情形下，二元控制變量下的估計(jì)值為

(14)

則使方差最小的最優(yōu)控制系數(shù)向量為

(15)

可用b模擬值近似計(jì)算，此時(shí)最小方差值為

2 數(shù)值結(jié)果

為比較本文中所提出方法的加速效果，選用標(biāo)準(zhǔn)誤差減小倍數(shù)來(lái)判斷加速效果

式中：stdMC和stdCMCC分別表示標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅方法的標(biāo)準(zhǔn)誤差和使用上節(jié)提出的基于條件期望的控制變量蒙特卡羅加速模擬后的標(biāo)準(zhǔn)誤差.顯然RCMCC越大，就表示加速效果越好，也說(shuō)明方法的計(jì)算精度越高.

如果考慮時(shí)間成本因素，以標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅方法為基準(zhǔn)，加速方法的加速比還可以定義為

式中：tMC、tCMCC分別表示固定模擬次數(shù)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅方法和加速后的方法計(jì)算所用時(shí)間.

給定離散時(shí)間點(diǎn)個(gè)數(shù)N=100，其他參數(shù)取值如下：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與敲定價(jià)格相等，S0=K=30，標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率σs=0.2，利率初值r0=0.05,利率的波動(dòng)率σr=0.2，利率的回復(fù)速度α=2,利率均值θ=0.05，到期時(shí)間T=1.

圖1 期權(quán)價(jià)格與模擬次數(shù)關(guān)系圖Fig.1 Option price change for different simulation times

進(jìn)一步地，圖2給出了模擬的標(biāo)準(zhǔn)誤差與模擬次數(shù)M的關(guān)系，為了將結(jié)果顯示更為直觀，此處橫縱坐標(biāo)分別為標(biāo)準(zhǔn)誤差和模擬次數(shù)的對(duì)數(shù).由圖2可以看出，結(jié)合二元控制變量的條件蒙特卡羅方法的誤差最小，而普通蒙特卡羅方法所得標(biāo)準(zhǔn)誤差最大.所以條件蒙特卡羅方法及控制變量法可以達(dá)到減小標(biāo)準(zhǔn)誤差的效果，從而提高蒙特卡羅模擬的效率.

圖2 標(biāo)準(zhǔn)誤差與模擬次數(shù)關(guān)系圖Fig.2 Standard deviation change for different simulation times

下面固定模擬次數(shù)M=100 000和其他參數(shù)，考慮相關(guān)系數(shù)ρ對(duì)計(jì)算效果的影響，結(jié)果見(jiàn)表1和表2，其中stdMC是普通蒙特卡羅方法得到的誤差；stdCMC和stdCMCC分別表示條件蒙特卡羅方法和結(jié)合控制變量的條件蒙特卡羅加速方法得到的誤差，RCMC和RCMCC表示其相對(duì)于普通蒙特卡羅方法的加速倍數(shù).

表1 不同方法模擬所得標(biāo)準(zhǔn)誤差結(jié)果及加速倍數(shù)Tab.1 Standard deviations and acceleration effects by different methods

綜合考慮算法的加速效果，用普通蒙特卡羅方法計(jì)算所花時(shí)間為3.068 5 s，用條件蒙特卡羅方法計(jì)算所花時(shí)間為1.732 1 s，結(jié)合控制變量法之后所花時(shí)間為1.738 8 s.以ρ=0.4為例，基于條件蒙特卡羅的控制變量法對(duì)普通蒙特卡羅方法的綜合加速倍數(shù)為

另外，本文還對(duì)結(jié)合常用控制變量與普通蒙特卡羅方法的情況進(jìn)行了模擬，此時(shí)控制變量利率為常數(shù)的標(biāo)的資產(chǎn)，改變參數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)其計(jì)算所得標(biāo)準(zhǔn)誤差與普通蒙特卡羅方法基本一致；所花費(fèi)的時(shí)間為3.084 3 s，與普通蒙特卡羅方法也基本一致；此時(shí)基于條件蒙特卡羅的控制變量法對(duì)其綜合加速倍數(shù)與對(duì)普通蒙特卡羅的綜合加速倍數(shù)基本一致.說(shuō)明本文所提出的新的控制變量與條件蒙特卡羅方法結(jié)合具有顯著的加速效果.

(A-K)+=(A-K)|G≥K+(A-K)|G

分解后的第1部分可求出期望公式，再用條件蒙特卡羅方法模擬，第2部分為小概率，可通過(guò)重要抽樣模擬高效求解.

3 Greeks計(jì)算

3.1 Greeks介紹

對(duì)于隨機(jī)利率模型和隨機(jī)波動(dòng)率模型等較復(fù)雜模型，由于期權(quán)價(jià)格沒(méi)有對(duì)應(yīng)的解析解，計(jì)算Greeks時(shí)需要借助數(shù)值方法.本文利用條件蒙特卡羅方法進(jìn)行計(jì)算，使得計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)便和穩(wěn)定, 也可以克服收益函數(shù)不能求二次導(dǎo)數(shù)的缺陷.

基于條件期望公式(12)，可得隨機(jī)利率模型下歐式看漲期權(quán)價(jià)格為

(16)

其中:

N(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).

從而由公式(16)，計(jì)算可得其相關(guān)參數(shù)的Greeks公式為

(17)

3.2 數(shù)值模擬

相關(guān)參數(shù)取值與第2章相同，模擬次數(shù)M=100 000.Greeks值的計(jì)算結(jié)果以及模擬標(biāo)準(zhǔn)誤差見(jiàn)表2.

表2 兩種方法模擬所得Greeks值Tab.2 Values of Greeks by using two different methods

表2中，CMC表示基于條件蒙特卡羅方法所求得的Greeks值，F(xiàn)D表示使用有限差分方法進(jìn)行計(jì)算.基于條件蒙特卡羅方法求Greeks值時(shí)，由于期權(quán)價(jià)格表示為一個(gè)光滑函數(shù)的期望值，因此可以將價(jià)格對(duì)參數(shù)的求導(dǎo)與期望過(guò)程相互交換，使得計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)便快速，所得標(biāo)準(zhǔn)誤差有明顯的減小.由此可見(jiàn)，本文所提出的方法在計(jì)算Greeks值時(shí)有良好的效果.

接下來(lái)，固定其他值，改變標(biāo)的資產(chǎn)的初始值S0，來(lái)觀察不同的S0值對(duì)Δ值及計(jì)算時(shí)產(chǎn)生的誤差的影響，結(jié)果分別見(jiàn)表3和表4.

表3 不同標(biāo)的資產(chǎn)的初始價(jià)格模擬出的Δ值Tab.3 Values of Delta for different initial prices of underlying asset

表4 不同方法模擬出Δ值的標(biāo)準(zhǔn)誤差Tab.4 Standard deviations of Delta by using different methods

由表3和表4可見(jiàn)，Δ值隨著標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格的增加而增加，而條件蒙特卡羅方法能更好地減小計(jì)算時(shí)產(chǎn)生的方差，從而產(chǎn)生加速效果，使得標(biāo)準(zhǔn)誤差更小.為了使結(jié)果更為直觀，圖3給出不同初始價(jià)格與標(biāo)準(zhǔn)誤差的關(guān)系，可很明顯看出條件蒙特卡羅法所得效果更好.

圖3 不同模擬方法下標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格與Δ值的標(biāo)準(zhǔn)誤差關(guān)系圖Fig.3 Comparison of standard deviations of Δ by using different methods

類似地，Γ的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5和表6.由表可知，Γ值隨著標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格的增加而減小，而條件蒙特卡羅方法計(jì)算時(shí)能更好地減小標(biāo)準(zhǔn)誤差. 為了使結(jié)果更為直觀，圖4給出不同初始價(jià)格與標(biāo)準(zhǔn)誤差的關(guān)系，由此看出條件蒙特卡羅方法計(jì)算所得結(jié)果誤差更小.

表5 不同標(biāo)的資產(chǎn)的初始價(jià)格模擬出的Γ值Tab.5 Values of Gamma for different initial prices of underlying asset

表6 不同方法模擬出Γ值的標(biāo)準(zhǔn)誤差Tab.6 Standard deviations of Delta by using different methods

圖4 不同模擬方法下標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格與Γ值的標(biāo)準(zhǔn)誤差關(guān)系圖Fig.4 Comparison of standard deviations of Γ by using different methods

4 結(jié)論

本文針對(duì)隨機(jī)利率滿足CIR模型的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，提出了一種基于條件期望的控制變量法進(jìn)行蒙特卡羅加速模擬.計(jì)算結(jié)果顯示，條件蒙特卡羅方法相對(duì)于普通蒙特卡羅方法而言能達(dá)到一定的方差減小效果，同時(shí)計(jì)算時(shí)間也更為節(jié)?。欢跅l件蒙特卡羅的基礎(chǔ)上再使用控制變量法，能使得模擬誤差進(jìn)一步減小，且運(yùn)行所需時(shí)間與條件蒙特卡羅方法基本一致，故能夠達(dá)到更好的加速效果.最后，將條件蒙特卡羅方法應(yīng)用于計(jì)算Greeks值，所得結(jié)果顯示其可以達(dá)到較好的計(jì)算效果，但本文所提出的控制變量對(duì)Greeks值的加速計(jì)算基本無(wú)效.最后一點(diǎn)值得指出的是本文雖然討論的問(wèn)題是單資產(chǎn)問(wèn)題，如果利用Green求積公式，固定利率的資產(chǎn)價(jià)格可以用公式表示出來(lái)，再用數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算，則同樣可以得到條件期望公式，從而條件蒙特卡羅方法同樣適用.進(jìn)一步地，該方法還可用于求解一籃子期權(quán)、離散取樣的亞式期權(quán)等高維問(wèn)題.