跳擴(kuò)散模型下亞式期權(quán)定價(jià)的柳樹法研究

姚 怡，李帥芳，許 威

(同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200092)

本文在Merton跳擴(kuò)散模型下，提出了基于柳樹結(jié)構(gòu)的定價(jià)亞式期權(quán)的方法.柳樹法[10]最初通過(guò)構(gòu)造離散的馬爾科夫過(guò)程來(lái)刻畫幾何布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)歐式期權(quán)定價(jià).圖1展示了一個(gè)柳樹結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單例子.該柳樹結(jié)構(gòu)從初始時(shí)刻0到T，有5個(gè)離散時(shí)刻，從第2個(gè)時(shí)刻起，每個(gè)時(shí)刻有5個(gè)可能的資產(chǎn)價(jià)格節(jié)點(diǎn).圖1為柳樹結(jié)構(gòu)示意圖，在實(shí)際應(yīng)用中每一時(shí)刻上的資產(chǎn)價(jià)格數(shù)可以根據(jù)模型具體情況任意指定，通常節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)設(shè)為30～50就能夠在期權(quán)定價(jià)問(wèn)題上保證較高的精度.柳樹結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是每個(gè)時(shí)刻上的資產(chǎn)價(jià)格數(shù)是常數(shù)，因此，隨著時(shí)間步數(shù)的增加，柳樹上節(jié)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是線性增長(zhǎng)的，而不是二叉樹中的平方增長(zhǎng)，提高了數(shù)值方法的效率.

圖1 包含5個(gè)時(shí)刻、5個(gè)資產(chǎn)價(jià)格節(jié)點(diǎn)的柳樹結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Graphical depiction of the willow tree lattice with 5 space nodes and 5 time nodes

在Merton跳擴(kuò)散模型下，本文提出的柳樹構(gòu)造主要分為兩部分：首先在計(jì)算對(duì)數(shù)資產(chǎn)價(jià)格四階矩的基礎(chǔ)上，通過(guò)Johnson曲線，將服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的離散節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換成服從跳擴(kuò)散模型的價(jià)格節(jié)點(diǎn)，得到了資產(chǎn)價(jià)格的估計(jì)；然后根據(jù)跳擴(kuò)散模型下資產(chǎn)價(jià)格滿足的條件概率，推導(dǎo)出每?jī)蓚€(gè)相鄰時(shí)刻間的轉(zhuǎn)移概率公式，并對(duì)轉(zhuǎn)移概率做了修正，從而保證資產(chǎn)價(jià)格滿足鞅的性質(zhì)，同時(shí)提高定價(jià)精度.在亞式期權(quán)定價(jià)過(guò)程中，平均價(jià)格依賴于價(jià)格變化的路徑.不同于文獻(xiàn)[11]中將所有精確的算術(shù)平均價(jià)格全部計(jì)算出來(lái)，本文預(yù)先計(jì)算出每個(gè)時(shí)刻平均價(jià)格的最大值和最小值，在此區(qū)間內(nèi)通過(guò)等差數(shù)列選取給定個(gè)數(shù)的平均價(jià)格，而對(duì)于沒(méi)有取到的平均價(jià)格節(jié)點(diǎn)，通過(guò)線性插值即可對(duì)其進(jìn)行定價(jià)，以起到減少計(jì)算量的作用，從而解決了亞式期權(quán)定價(jià)中的路徑依賴問(wèn)題.另外，本文分析了柳樹法的截?cái)嗾`差和插值誤差，證明了柳樹法的收斂性.最后，本文針對(duì)不同參數(shù)下的亞式期權(quán)進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，并將柳樹法結(jié)果與蒙特卡洛方法進(jìn)行比較，數(shù)值結(jié)果顯示柳樹法與蒙特卡洛方法有相同的計(jì)算精度.由于柳樹法存儲(chǔ)的平均價(jià)格節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)少于實(shí)際的平均價(jià)格路徑，從而使得運(yùn)行時(shí)間大大減少.

1 跳擴(kuò)散模型下亞式期權(quán)的柳樹法定價(jià)

在Merton跳擴(kuò)散模型下，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St滿足：

(1)

下文通過(guò)構(gòu)造在Merton跳擴(kuò)散模型下的柳樹結(jié)構(gòu)描述資產(chǎn)價(jià)格變化的隨機(jī)過(guò)程.構(gòu)造柳樹結(jié)構(gòu)包括兩部分：資產(chǎn)價(jià)格的估計(jì)和轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算.

1.1 資產(chǎn)價(jià)格估計(jì)

在Merton跳擴(kuò)散模型下，基于方程(1)，令X=ln(St/S0)，則時(shí)刻t的資產(chǎn)價(jià)格St即為St=S0·eX，且滿足

根據(jù)Ballotta和Kyriakou[12]的推導(dǎo)，可以得到X的期望μ，方差υ，偏度κ3和峰度κ4分別為

(2)

本文在Merton跳擴(kuò)散模型下，利用Johnson曲線轉(zhuǎn)換公式的逆變換，將一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成一個(gè)滿足式(2)中X的四階矩的隨機(jī)變量，從而估計(jì)資產(chǎn)價(jià)格的分布.

Johnson提出的方法[13]可以將任意連續(xù)隨機(jī)變量X轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布的隨機(jī)變量Z.其主要原理是通過(guò)計(jì)算已知變量的四階矩，然后代入統(tǒng)一的公式中估計(jì)該變量的離散值.該模型可以靈活地匹配任意變量的期望、方差、偏度和峰度，并且根據(jù)偏度和峰度便可唯一確定模型中所需函數(shù)的具體類型.Johnson曲線公式如下：

基于Hill提出的算法[14]，參數(shù)a、b、c、d和函數(shù)g(·)的類型都可以根據(jù)對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的四階矩求得.而根據(jù)Johnson曲線的逆變換，則可以將一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量Z轉(zhuǎn)換成給定的分布X，即

(3)

由此，可以利用Johnson曲線的逆變換，得到基于Merton跳擴(kuò)散模型(1)的資產(chǎn)價(jià)格柳樹.該算法總結(jié)如下：對(duì)于一個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)，給定其初始價(jià)格S0，將時(shí)間區(qū)間[0,T]劃分為N個(gè)時(shí)間步數(shù)，在每個(gè)時(shí)刻t有m個(gè)可能的資產(chǎn)價(jià)格，表示為St，且滿足公式(1).時(shí)刻t的m個(gè)離散值可通過(guò)以下步驟得到：

步驟1 定義資產(chǎn)回報(bào)X=ln(St/S0)，通過(guò)式(2)計(jì)算X的期望、方差、偏度和峰度.

1.2 轉(zhuǎn)移概率計(jì)算

在獲得資產(chǎn)價(jià)格的估計(jì)后，本節(jié)構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣來(lái)刻畫資產(chǎn)價(jià)格的變化.假設(shè)時(shí)刻t的資產(chǎn)價(jià)格St已知，則在時(shí)刻t+Δt，給定lnSt下的lnSt+Δt的概率密度函數(shù)為

μd=lnSt+(r-ρ-λk-0.5σ2)Δt+dαJ

則對(duì)應(yīng)的累積分布函數(shù)為

PJ(lnSt+Δt≤A|lnSt)=

其中，N(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù).

i=1,2,…,m,j=1,2,…,m

由此，x的表達(dá)式如下：

完成以上修正后，即可得到t到t+Δt時(shí)刻的轉(zhuǎn)移概率矩陣.

通過(guò)資產(chǎn)價(jià)格的估計(jì)和轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算，構(gòu)造了一棵完整的跳擴(kuò)散模型下的柳樹.

1.3 定價(jià)跳擴(kuò)散模型下亞式期權(quán)的柳樹法

對(duì)于平均價(jià)格路徑較多的問(wèn)題，本文利用插值技術(shù)減少計(jì)算量，推導(dǎo)亞式期權(quán)定價(jià)過(guò)程，解決了路徑依賴問(wèn)題.

定義歐式亞式期權(quán)的價(jià)值為關(guān)于S、A和t的函數(shù)，即Vc=Vc(S,A,t)，則在跳擴(kuò)散模型下Vc滿足下列積分-微分方程：

(4)

并且存在如下遞推公式：

(5)

假設(shè)時(shí)刻tn，每個(gè)價(jià)格節(jié)點(diǎn)處有ka個(gè)平均價(jià)格，取等差數(shù)列得到

(6)

(7)

(8)

i=1,2,…,m,k=1,2,…,ka

2 誤差分析

2.1 柳樹法的截?cái)嗾`差

在[tn,tn+1]時(shí)間內(nèi)，由于平均價(jià)格A不變，亞式期權(quán)價(jià)格V滿足如下微分方程：

(9)

式中：y服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；g(y)是y的概率密度函數(shù).令X=lnS，η=lny，則dy=eηdη，式(9)作變量代換變?yōu)?/p>

(10)

使用柳樹法定價(jià)時(shí)，在tn時(shí)刻，亞式期權(quán)的價(jià)格可以由倒推公式求得，即

(11)

定理1假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格S滿足Merton跳擴(kuò)散模型，由柳樹法定價(jià)公式(11)計(jì)算的期權(quán)價(jià)值與方程(10)的真實(shí)解之間的全局截?cái)嗾`差為O(Δt)+O(E[η5])，即全局截?cái)嗾`差的大小取決于跳擴(kuò)散中資產(chǎn)價(jià)格S的跳躍幅度lny的五階矩.

證明 在Merton跳擴(kuò)散模型下，時(shí)間區(qū)間[tn,tn+1]內(nèi)下式成立：

(r-σ2/2-λκ+λαJ)Δt

(r-σ2/2-λκ+λαJ)4Δt4

(12)

(13)

將式(12)、(13)代入式(11)中，簡(jiǎn)化之后可以得到

(14)

(15)

(16)

因此，將式(15)代入式(14)得

2.2 柳樹法的插值誤差

在柳樹法中，用線性插值所得期權(quán)價(jià)值為

(17)

所以

(18)

其中：N=T/Δt.若令ka=C·N，C為常數(shù)，則‖E0‖I≤O(Δt).因此，柳樹法的整體誤差為O(Δt)+O(E[η5])，即整體誤差的大小取決于跳擴(kuò)散中資產(chǎn)價(jià)格S的跳躍幅度lny的五階矩.

3 Merton跳擴(kuò)散模型下亞式期權(quán)定價(jià)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)

對(duì)不同參數(shù)的亞式期權(quán)進(jìn)行分析，比較柳樹法與蒙特卡洛方法的數(shù)值結(jié)果.所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)的程序均在操作系統(tǒng)為64位Windows 7旗艦版的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，內(nèi)存為4 GB，處理器為Intel(R) Core(TM) i5-5200U CPU@2.20GHz，使用的軟件版本為Matlab R2016a.

實(shí)驗(yàn)中，柳樹法中資產(chǎn)價(jià)格節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)m=50，平均價(jià)格個(gè)數(shù)ka=0.6N，離散時(shí)間步數(shù)N為初始時(shí)刻距離到期日的天數(shù)，蒙特卡洛方法的模擬路徑數(shù)為2×104.實(shí)驗(yàn)比較了不同參數(shù)σ、αJ、σJ、λ以及不同到期日T情況下柳樹法和蒙特卡洛方法的表現(xiàn).

首先，固定跳擴(kuò)散歐式亞式看漲期權(quán)的初始價(jià)格S0=100，敲定價(jià)格K=100，利率r=0.05，跳擴(kuò)散的頻率λ=1，到期日T為90 d.然后選取了不同的波動(dòng)率σ，Merton跳擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的期望αJ，標(biāo)準(zhǔn)差σJ.從表1可以看出，柳樹法的定價(jià)結(jié)果均落在蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內(nèi)，說(shuō)明了柳樹法定價(jià)期權(quán)的精確性.從計(jì)算時(shí)間上看，在給定資產(chǎn)價(jià)格節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)m和時(shí)間節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N時(shí)，其他參數(shù)的變化并沒(méi)有影響柳樹法的計(jì)算時(shí)間，跳擴(kuò)散模型的變化對(duì)其計(jì)算時(shí)間影響很小.但是，柳樹法的計(jì)算時(shí)間則遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于蒙特卡洛方法.

表1不同σ、αJ、σJ下，柳樹法和蒙特卡洛法定價(jià)Merton跳擴(kuò)散亞式期權(quán)的結(jié)果
Tab.1ResultsofwillowtreemethodandMonteCarlomothedatdifferentσ,αJandσJvalues

σαJσJ期權(quán)價(jià)值/元時(shí)間/s柳樹法99%置信區(qū)間下界上界柳樹法蒙特卡洛法0.20-0.02-0.05-0.100.052.716 72.581 12.720 11.413.20.102.855 52.761 12.910 81.312.70.153.020 92.881 33.048 61.313.10.203.208 63.089 93.299 41.412.80.052.761 62.659 02.798 31.312.70.102.890 92.763 12.900 11.413.30.153.050 42.992 43.160 31.412.30.203.230 23.122 53.317 31.412.80.052.905 52.786 72.930 61.313.30.103.007 22.884 93.032 21.313.20.153.135 93.010 83.169 81.412.50.203.292 13.180 33.359 51.413.50.25-0.02-0.05-0.100.053.280 13.176 73.347 91.413.30.103.400 03.280 63.463 31.413.70.153.569 73.393 53.590 31.412.10.203.755 03.576 43.805 81.312.80.053.320 83.198 33.373 01.312.70.103.431 03.303 93.482 01.413.30.153.578 93.455 93.651 21.312.90.203.758 83.612 93.830 71.312.80.053.442 83.297 73.475 61.313.50.103.527 03.351 03.530 31.313.20.153.564 93.410 93.598 61.412.80.203.815 53.631 93.841 31.413.60.30-0.02-0.05-0.100.053.849 73.679 63.884 81.513.20.103.960 83.754 03.964 31.513.70.154.109 23.982 14.212 91.513.10.204.276 04.153 44.407 51.412.90.053.886 03.708 33.912 31.413.70.103.920 63.733 53.943 51.413.50.154.121 34.016 34.244 11.412.90.204.297 34.101 34.348 01.413.80.053.991 63.848 24.058 41.413.90.104.077 13.895 74.109 41.313.70.154.194 24.041 34.261 71.513.80.204.341 84.157 44.392 81.514.2

接下來(lái)，討論跳擴(kuò)散模型下跳躍的頻率λ對(duì)數(shù)值結(jié)果的影響.令λ=1.5和λ=2.0，在固定σ=0.2,S=100,K=100,T=90 d的情況下，分別考慮不同取值的αJ與σJ，結(jié)果如表2所示.表2的結(jié)果表明，用柳樹法定價(jià)的結(jié)果完全落在了蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內(nèi)，λ的變化并不會(huì)影響柳樹法定價(jià)跳擴(kuò)散模型下亞式期權(quán)的準(zhǔn)確性.

表2不同λ下柳樹法和蒙特卡洛法定價(jià)Merton跳擴(kuò)散亞式期權(quán)的結(jié)果
Tab.2ResultsofwillowtreemethodandMonteCarlomothedatdifferentλvalues

σαJσJ期權(quán)價(jià)值/元時(shí)間/s柳樹法99%置信區(qū)間下界上界柳樹法蒙特卡洛法1.5-0.02-0.05-0.100.052.751 82.624 02.763 61.513.20.102.957 82.841 92.998 41.512.70.153.213 63.102 33.291 41.513.10.203.516 93.412 83.646 51.512.80.052.813 72.688 42.849 91.612.70.103.005 62.952 93.105 21.613.30.153.250 83.108 93.288 21.512.30.203.508 73.357 23.572 81.512.80.053.037 02.971 63.122 51.613.30.103.181 13.144 33.301 61.513.20.153.398 43.259 03.417 91.512.50.203.598 73.515 93.719 11.513.52.0-0.02-0.05-0.100.052.785 62.660 52.803 81.513.30.103.058 92.975 23.140 41.413.70.153.404 13.237 03.437 31.512.10.203.802 73.626 43.883 41.412.80.052.874 92.770 92.916 11.412.70.103.129 52.991 03.151 91.413.30.153.444 63.347 63.541 11.312.90.203.793 43.668 73.908 41.412.80.053.174 13.104 23.260 71.413.50.103.342 73.206 53.367 31.413.20.153.578 93.502 73.682 61.512.80.203.899 13.798 04.012 31.413.6

另外，當(dāng)S0=100時(shí)，考慮不同敲定價(jià)格對(duì)亞式期權(quán)定價(jià)的影響.針對(duì)敲定價(jià)格K=90,K=95,K=100和K=105的情形，選取了一組σ、λ、αJ、σJ，分別為λ=1，σ=0.2，αJ=-0.02，σJ=0.05.將對(duì)應(yīng)的期權(quán)定價(jià)結(jié)果和計(jì)算時(shí)間列于表3.結(jié)果說(shuō)明，敲定價(jià)格K的變化不影響柳樹法定價(jià)亞式期權(quán)的表現(xiàn).定價(jià)結(jié)果均落在蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內(nèi)，而且計(jì)算時(shí)間也明顯少于蒙特卡洛方法.

最后，考慮期權(quán)到期日時(shí)間的不同對(duì)柳樹法定價(jià)的影響.以上的數(shù)值實(shí)驗(yàn)都基于期權(quán)的到期日為90 d，表4給出了到期日為180 d和365 d的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.結(jié)果表明，到期日T的變化不影響柳樹法定價(jià)亞式期權(quán)的表現(xiàn).定價(jià)結(jié)果均包含在蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內(nèi)，而且計(jì)算時(shí)間也明顯少于蒙特卡洛方法.因此，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了柳樹法在定價(jià)跳擴(kuò)散模型下的亞式期權(quán)具有更明顯的優(yōu)勢(shì).

表3不同K下，柳樹法和蒙特卡洛法定價(jià)Merton跳擴(kuò)散亞式期權(quán)的結(jié)果
Tab.3ResultsofwillowtreemethodandMonteCarlomothedatdifferentKvalues

K期權(quán)價(jià)值/元時(shí)間/s柳樹法99%置信區(qū)間下界上界柳樹法蒙特卡洛法9010.571 210.482 510.694 41.313.5956.096 25.970 56.159 21.314.11002.716 72.581 12.720 11.413.21050.877 40.810 60.889 01.313.8

表4 不同到期日下，柳樹法和蒙特卡洛法定價(jià)Merton跳擴(kuò)散亞式期權(quán)的結(jié)果Tab.4 Results of willow tree method and Monte Carlo mothed at different T values

4 總結(jié)

亞式期權(quán)作為目前金融市場(chǎng)上較活躍的新型期權(quán)之一，由于其路徑依賴關(guān)系，定價(jià)公式求解復(fù)雜，因此亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題一直受到眾多研究學(xué)者的關(guān)注.本文基于Merton的跳擴(kuò)散模型，運(yùn)用柳樹法對(duì)亞式看漲期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)研究.首先，本文介紹了柳樹的構(gòu)造過(guò)程，主要分為兩步：一是利用Johnson曲線轉(zhuǎn)換公式的逆變換，通過(guò)計(jì)算隨機(jī)變量的四階矩，將一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成一個(gè)服從跳擴(kuò)散過(guò)程的連續(xù)隨機(jī)變量，得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的估計(jì)；二是根據(jù)跳擴(kuò)散模型滿足的條件概率函數(shù)，推導(dǎo)出了相鄰兩個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)間的轉(zhuǎn)移概率矩陣，計(jì)算得到相鄰時(shí)刻間的轉(zhuǎn)移概率.在亞式期權(quán)定價(jià)過(guò)程中，引入了插值技術(shù)解決平均價(jià)格路徑較多的問(wèn)題，僅存儲(chǔ)了一定數(shù)量的平均價(jià)格節(jié)點(diǎn)，大大減少了計(jì)算時(shí)間，并給出了一種計(jì)算復(fù)雜度為O(N2)的柳樹法.另外，本文還對(duì)該算法的截?cái)嗾`差和插值誤差分別進(jìn)行了誤差分析，證明了柳樹法的整體誤差為O(Δt)+O(E[η5]).最后，本文用柳樹法定價(jià)Merton跳擴(kuò)散模型下亞式期權(quán)的結(jié)果與蒙特卡洛方法比較，數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，柳樹法不僅能達(dá)到蒙特卡洛方法的計(jì)算精度，而且在運(yùn)行時(shí)間上明顯少于蒙特卡洛方法，從而說(shuō)明了柳樹法在亞式期權(quán)定價(jià)中的優(yōu)勢(shì).本文中研究的Merton跳擴(kuò)散模型只是Levy過(guò)程中的一種，除此之外的Levy過(guò)程[15]還有Kou提出的雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型，NIG模型和VG模型等，較之Merton跳擴(kuò)散模型，這些過(guò)程的條件概率的密度函數(shù)不存在顯示的表達(dá)式，將柳樹法推廣到這些模型，是我們未來(lái)的研究方向之一.