Narayana數(shù)相關(guān)恒等式的證明

修風(fēng)光

(沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110159)

在xoy平面上沿整數(shù)格點按一定步伐行走的路徑統(tǒng)稱為格路。Dyck路是格路的一種，由于在有序分拆、無序分拆、恒等式的組合證明、RNA第二結(jié)構(gòu)等研究中有廣泛的應(yīng)用，受到眾多研究者的重視，對各種有限制條件的格路計數(shù)一直是組合數(shù)學(xué)中一個熱門的研究課題。

本文在對Dyck路的研究過程中得到了如下一個跟Narayana數(shù)有關(guān)的新的恒等式：

接下來給出此恒等式的證明及推廣。

1 組合證明

同時令D表示所有半長為n的Dyck路的集合，p(?)表示一個半長為n的Dyck路?中所含峰的個數(shù)。定義集合[1,n]和D的卷積[1,n]×D={(m,?):m∈[1,n],?∈D}。

又因為|S|=|Τ|+|Τc|,

2 與Narayana數(shù)相關(guān)的發(fā)生函數(shù)

進(jìn)而有

3 結(jié)束語

本文以Dyck路中特殊的點(如峰點或谷點)的坐標(biāo)，運用數(shù)論知識，通過建立兩個集合之間的雙射，給出了與Narayana數(shù)有關(guān)的恒等式的組合證明及推廣。同時還得到了一些與 Narayana數(shù)有關(guān)的發(fā)生函數(shù)。